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Partícula en un pozo potencial

Descripción:

En física cuántica, una partícula que se mueve en el espacio libre puede tener cualquier energía. Su espectro energético es continuo. Una partícula que se mueve en un campo de fuerza que la mantiene en una región limitada del espacio tiene un espectro discreto de valores propios de energía. Un ejemplo es el movimiento finito (es decir, limitado) de un electrón en el campo de Coulomb del núcleo de un átomo de hidrógeno. La discreción de los niveles de energía de las partículas atrapadas en una región limitada se deriva de la naturaleza dual de las partículas y es una diferencia fundamental entre la física cuántica y la física clásica.

Un modelo físico simple de movimiento finito puede ser el movimiento de una partícula en un "pozo potencial" unidimensional con paredes infinitamente altas. Una partícula no puede salir de un área de tamaño L. Se mueve en esta área, experimentando múltiples rebotes de las paredes. Desde el punto de vista de las ondas, dos ondas de De Broglie se mueven en direcciones opuestas entre las paredes. Esto se asemeja a una imagen de dos ondas opuestas que viajan a lo largo de una cuerda con extremos fijos. Como en el caso de una cuerda, los estados estacionarios corresponden a ondas estacionarias, que se forman bajo la condición de que un número entero de medias ondas encajen en la longitud L:

L = n · (λ / 2)   (n = 1, 2, 3, ...)

Por lo tanto, los estados estacionarios de una partícula atrapada en un pozo potencial corresponden a un conjunto discreto de longitudes de onda. Dado que en el caso de la mecánica cuántica, la longitud de onda λ está relacionada de forma única con el momento de la partícula: λ = h/p, y el momento de la partícula determina la energía de su movimiento: E = p2 / (2m) (aproximación no relativista), entonces la energía de la partícula también se cuantifica. Un cálculo mecánico-cuántico conduce a la siguiente expresión:

En =n2h2/(8mL2) = n2E1

Aquí m es la masa de la partícula, h es la constante de Planck, E1 = h2/(8mL2) es la energía del estado fundamental. Cabe señalar que una partícula de mecánica cuántica, a diferencia de una clásica, no puede reposar en el fondo de un pozo de potencial, es decir, tener energía E1 = 0. Esto contradeciría la relación de incertidumbre

Δpx · Δx  ≥ h

De hecho, el momento de una partícula en reposo es estrictamente cero, por lo tanto, Δpx = 0. Al mismo tiempo, la incertidumbre de la coordenada de la partícula es Δx ≈ L. Por lo tanto, el producto Δx · Δpx para una partícula que se encuentra en la parte inferior del pozo de potencial debe ser cero.

La relación de incertidumbre permite estimar la energía mínima E1 de una partícula. Si asumimos que en un estado con energía mínima px ≈ Δpx, entonces para la energía mínima E1 obtenemos la expresión

E1 = px2/2m ≈ Δpx2/2m  ≥ h2/2mL2

Esta estimación aproximada da el orden correcto de valor de magnitud para E1.

Las ondas estacionarias de De Broglie, formadas cuando una partícula se mueve en un pozo potencial, son funciones de onda o psi con la ayuda de las cuales la mecánica cuántica describe los estados estacionarios de los microobjetos. El módulo al cuadrado |Ψ|2 de la función de onda se define como la probabilidad de encontrar una partícula en diferentes puntos del espacio.

En un modelo de computadora, se puede cambiar el ancho L del pozo potencial, así como la masa m de la partícula atrapada en él. La ventana izquierda muestra imágenes gráficas de funciones de onda Ψ(x) o cuadrados de sus módulos |Ψ|2 para varios estados estacionarios (n = 1–5). La ventana de la derecha muestra el espectro de energía de la partícula, es decir, el espectro de posibles valores de su energía. Tenga en cuenta que los niveles de energía disminuyen a medida que aumenta el ancho L del pozo potencial y la masa m de la partícula atrapada en él.

En un modelo de computadora, la masa de las partículas se expresa en masas de protones mp = 1.67 · 10-27 kg. En consecuencia, se modelan los estados de partículas comparativamente pesadas (núcleos de átomos pesados), que se encuentran en un pozo de potencial con un ancho del orden del tamaño de los átomos.