Electromagnetismo

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1.10. Reglas de Kirchhoff para los circuitos ramificados *)

Para simplificar los cálculos de circuitos eléctricos complejos, que contienen sectores heterogéneos, se usan las reglas de Kirchhoff, las cuales son una generalización de la ley de Ohm para el caso de los circuitos bifurcados.

En los circuitos bifurcados existen los puntos de unión (uniones), en las cuales se unen no menos de tres conductores (fig. 1.10.1). Las corrientes que fluyen hacia la unión se consideran positivas y las que fluyen desde la unión se consideran negativas.

Figura 1.10.1.
Uniones de un circuito eléctrico. I1, I2 > 0; I3, I4 < 0

En las uniones de un circuito de corriente continua no puede haber acumulación de carga. En consecuencia surge la primera regla de Kirchhoff:

La suma algebráica de las correintes para cada unión en un circuito bifurcado es igual a cero:
I1 + I2 + I3 + ... + In = 0.

La primera regla de Kirchhoff es consecuencia de la ley de la conservación de la carga eléctrica.

En un circuito bifurcado siempre se puede separar cierta cantidad de caminos cerrados, los cuales se componen de sectores homogéneos y heterogéneos. Estos caminos cerrados se denominan espiras. En diferentes sectores de cierta espira pueden fluir diferentes corrientes. En la figura 1.10.2 se presenta un ejemplo simple de un circuito bifurcado. El circuito tiene dos uniones a y d, en las cuales fluyen corrientes iguales; por eso solamente una de las uniones se considera independiente (a ó d).

Figura 1.10.2.
Ejemplo de un circuito eléctrico bifurcado. El circuito contiene una unión independiente (a ó d) y dos espiras independientes (por ejemplo, abcd y adef).

En este circuito se pueden obtener tres espiras abcd, adef y abcdef. De ellas, solamente dos son independientes (por ejemplo, abcd y adef), ya que la tercera no contiene nuevos sectores.

La segunda regla de Kirchhoff es una consecuencia de la ley genralizada de Ohm.

Escribamos la ley generalizada de Ohm para los sectores que componen una de las espiras del circuito que se ilustra en la figura 1.10.2, por ejemplo abcd. Para ello, en cada sector hay que determinar la dirección positiva de la corriente y la dirección positiva de circulación de la espira. Al escribir la ley generalizada de Ohm para cada uno de los sectores, hay que tener en cuenta ciertas "reglas de signos", las cuales se ilustran en la fig. 1.10.3.

Figura 1.10.3.
«Reglas de signos».

Para los sectores de la espira abcd la ley genralizada de Ohm se escribe de la forma:

Para el sector bc: I1R1 = Dfbc – Eds1.

Para el sector da: I2R2 = Dfda – Eds2.

Sumando las partes derechas e izquierdas de estas dos igualdades y teneiendo en cuenta que Djbc = – Djda , obtenemos:
I1R1 + I2R2 = Djbc + Djda – Eds1 + Eds2 = –Eds1 – Eds2.

De la misma manera se puede escribir para la espira adef:
– I2R2 + I3R3 = Eds2 + Eds3.

La segunda regla de Kirchhoff se puede formular así: la suma algebráica de los productos de la resistencia de cada uno de los sectores de cualquier espira cerrada de un circuito bifurcado, por la corriente en ese sector es igual a la suma algebráica de las FEM a lo largo de dicha espira.

La primera y la segunda reglas de Kirchhoff, expresadas para todas las uniones y espiras independientes de un circuito bifurcado, nos dan en conjunto el número necesario y suficiente de ecuaciones algebráicas para el cálculo del circuito eléctrico. Para el circuito ilustrado en la figura  1.10.2, el sistema de ecuaciones para determinar las tres corrientes incógnitas I1, I2 y I3 tiene la forma:
I1R1 + I2R2 = – Eds1 – Eds2,

– I2R2 + I3R3 = Eds2 + Eds3,

– I1 + I2 + I3 = 0.

De esta manera, las reglas de Kirchhoff conllevan el cálculo de un circuito eléctrico bifurcado a la solución de un sistema algebráico de ecuaciones lineales. La solución de este sistema no representa mayor dificultad, sin embargo se presentan casos de expresiones matemáticas muy grandes en el caso de circuitos suficientemente simples. Si se presenta el caso de que la corriente en cierto sector sea negativa, esto significa que la corriente en este sector va en sentido contrario a la dirección tomada inicialmente como positiva.

Ejemplo 1:

En el esquema del dibujo halle la corriente I3, que fluye por el resistor R3, y la resistencia equivalente del circuito Rab. Eds = 13 V, R1 = R2 = R3 = R4 = 10 ohm, R5 = 20 ohm.

Solución

Este circuito no puede ser representado en forma de un conjunto de resistores conectados en serie o en paralelo. El calculo de este tipo de circuitos se lleva a cabo con las reglas de Kirchhoff.

Por los resistores R1 – R5 fluyen cinco corrientes diferentes. Elijamos la dirección positiva para estas corrientes.

La corriente general I del circuito (corriente de la batería) es igual a la suma I1 + I2, como se ve de la primera regla de Kirchhoff para la unión a. Aplicando la primera regla de Kirchhoff para las uniones c y d, obtenemos:
I4 = I1 – I3,   I5 = I2 + I3.

El circuito tiene tres espiras cerradas independientes, por ejemplo las espiras (1) adbefa, (2) acda y (3) acbefa. Las direcciones positivas de circulación elegidas para estas espiras están ilustradas en la figura.

Aplicamos la segunda regla de Kirchhoff a las tres espiras independientes.
I2R2 + (I2 + I3)R5 = Eds, (1)

I1R1 + I3R3 – I2R2 = 0, (2)

I1R1 + (I1 – I3)R4 = Eds. (3)

Obtenemos un sistema de tres ecuaciones para determinar las tres corrientes incógnitas. En nuestro caso la solución de este sistema se simplifica notablemente si tenemos en cuenta las relaciones entre los parámetros del ejercicio dadas en las condiciones iniciales: R1 = R2 = R3 = R4 = R = 10 ohm, R5 = 2R = 20 ohm.

De la ecuación (2) se obtiene: I2 = I1 + I3. Despejando de la ecuación (1) la corriente I2, obtenemos un sistema de dos ecuaciones para determinar las corrientes I1 y I3:
3I1 + 5I3 = Eds / R,

2I1 – I3 = Eds / R.

De estas ecuaciones sigue que: ,  I3 = 2I1 – Eds / R = –0,1 A. El valor negativo obtenido de la corriente I3 significa que esta corriente fluye en dirección contraria a la dirección elegida como positiva.

Ahora fácilmente podemos hallar las demás corrientes:
I2 = I1 + I3 = 0,5 A,   I4 = I1 – I3 = 0,7 A,   I5 = I2 + I3 = 0,4 A.

La corriente total es I = I1 + I2 = 1,1 A.

La resistencia equivalente es

 

Ejemplo 2:

Un generador de corriente contínua G con FEM Eds1 = 12 V y resistencia interna r1 = 0,2 ohm está cargando una batería A con FEM Eds2 = 10 V y resistecia eléctrica r2 = 0,6 ohm. Paralelamente a la batería está conectada una lámpara L, cuya resitencia es R = 3 ohm. Determine la corrinete de carga I2 de la batería.

Solución

Al cargar la batería, la corriente a través de ella fluye en dirección contraria a la corriente de descarga. El circuito se representa en la figura:

El circuito contiene dos espiras independientes (por ejemplo, abcdefa (1) y bcdeb (2)) y una unión.

La primera regla de Kirchhoff para la unión b ( ó e) no dará:
I1 = I2 + I3.

Tomamos como dirección positiva de circulación de las espiras, la dirección de rotación de las manecillas del reloj. La segunda regla de Kirchhoff nos lleva a las siguientes ecuaciones para las corrientes:
I1r1 + I3R = Eds1, (1)

I3R – I2r2 = Eds2. (2)

Eliminando en estas ecuaciones las corrientes I1 e I3, obtenemos

 

MODELOS INTERACTIVOS:

Circuito de corriente contínua:

Con este modelo computacional se pueden crear en la pantalla diferentes circuitos ramificados de corriente continua, los cuales se componen de fuentes de corriente continua, resistores, amperímetros y voltímetros. Se puede variar en determinado rango la FEM de las fuentes, y la resistencia de los resistores. Para activar el elemento correspondiente es necesario seleccionar el botón de flecha y luego hacer click con el ratón en el elemento deseado del esquema (la fuente o el resistor). Luego de dar los valores deseados a los resistores o fuentes, y de haber termiando el esquema, se oprime el botón "calculate" y el programa por medio de la ley de Ohm o de las reglas de Kirchhoff (para los circuitos ramificados) calcula la corriente y el voltaje en diferentes sectores del circuito.