Electromagnetismo

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1.10.1. Corrientes cuasiestacionarias (circuitos resistencia-capacitor, RC)

Hasta el momento se han estudiado las corrientes constantes, las cuales son tratadas matemáticamente con las leyes de Ohm y las reglas de Kirchhoff. Estas leyes son válidas solamente para este tipo de corrientes. Sin embargo, cuando la corriente cambia en el tiempo de una manera relativamente no muy rápida, también se pueden utilizar las leyes ya estudiadas. Las corrientes que cambian lentamente en el tiempo de tal manera que en un intervalo de tiempo muy pequeno el cambio se puede considerar como constante, se denominan corrientes cuasiestacionarias.

Las corrientes cuasiestacionarias se pueden analizar utilizando las leyes ya estudiadas para la corriente constante, es decir, los valores instantáneos de estas corrientes y de las FEM se someten a las leyes para las corrientes continuas.

Hay que recalcar que en la práctica, la rapidez con que se obtiene el equilibrio es muy grande y por eso por corrientes cuasiestacionarias en muchos casos se entienden procesos muy rápidos. Todas las corrientes alternas son cuasiestacionarias. Inclusive oscilaciones eléctricas muy rápidas, que tienen frecuencias muy grandes del orden de los millones de oscilaciones por segundo también son tratadas como cuasiestacionarias.

Veamos un ejemplo de un circuito como el que se muestra en la figura.

El circuito  consta de una FEM, un resistor con resistencia R, un capacitor con capacitancia C y un interruptor. El interruptor permite conectar el sistema resistor-capacitor con la FEM a través de la posición 1 para cargar el capacitor.  Una vez el capacitor se carga completamente (este proceso no es instantáneo) se obtiene el equilibrio eléctrico y la corriente por el circuito deja de fluir. Luego, para llevar a cabo la descarga del capacitor se conecta el interruptor a través de la posición 2. El problema se reduce entonces a hallar la corriente, la carga y la diferencia de potencial del capacitor (todas estas magnitudes en función del tiempo) tanto para el proceso de carga como para el proceso de descarga del capacitor. 

Proceso de carga del capacitor:

Empecemos por la carga del capacitor. Conectamos el interruptor en la posición 1. Tomamos como dirección positiva de circulación la indicada en el dibujo. Utilizando la segunda regla de Kirchhoff para el primer circuito obtenemos:

donde I es la corriente en el circuito,  la FEM de la fuente, U la tensión entre las placas del capacitor. Pero,

,  ó

donde q es la carga del capacitor. Obtenemos entonces un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas U, q, I:

De estas tres ecuaciones podemos excluir cualesquiera dos incógnitas y obtener una ecuación para una incógnita. Por ejemplo eliminando I y q obtenemos:

.

Esta ecuación para U es una ecuación diferencial de primer orden con coeficientes constantes. Para resolverla, tomamos una nueva variable Z = U - e. Entonces

.

Para resolver esta ecuación separamos las variables:

Integramos,

,

,

donde A y B son constantes, e es el número de Euler. La constante de integración B depende de las condiciones iniciales. Supongamos que el conteo del tiempo empieza en el momento de conexión del interruptor. Entonces las condiciones iniciales son:

.

Reemplazando estos valores para t = 0 en la expresión para Z obtenemos:

,

sustituyendo este valor en nuestra ecuación y regresando a la variable inicial U encontramos finalmente la expresión para la tensión en las placas del capacitor:

.

Cuando t = 0 esta expresión nos da U = 0 en concordancia con las condiciones iniciales del ejercicio. Con el aumento del tiempo t la tensión U continuamente va aumentando  y se va aproximando exponencialmente a la FEM de la fuente.

Haciendo el mismo procedimiento para hallar la carga del capacitor en función del tiempo resulta:

La expresión para la corriente se puede encontrar utilizando las fórmulas ya obtenidas:

.

La corriente tiene su mayor valor en el momento inicial y exponencialmente tiende a cero en el proceso de carga del capacitor.

Proceso de descarga del capacitor:

En el caso de la descarga el interruptor se pasa a la posición 2. Las ecuaciones para este caso son:

El signo menos en la expresión de la corriente está presente ya que la dirección de circulación elegida corresponde a la disminución de la carga del capacitor. Excluyendo I y q obtenemos:

de donde

,

donde D es la constante de integración que despejamos utilizando las condiciones iniciales, las cuales en este caso nos dan U=e cuando t = 0, Entonces D=e. Y finalmente,

De una manera similar se obtienen las expresiones para I y q:

,

donde  es la carga inicial del capacitor, es decir cuando t = 0.

Los resultados obtenidos muestran que los procesos de carga y descarga del capacitor (hasta obtener el equilibrio) no suceden instantáneamente sino con una rapidez finita. Para el análisis del circuito que contiene resistor y capacitor, la rapidez de alcance del equilibrio depende del producto

el cual tiene unidades de tiempo y se denomina constante de tiempo del circuito dado o tiempo de relajación. Esta constante muestra dentro de qué tiempo, después de desconectar la FEM, la tensión (y por consiguiente el campo dentro del capacitor) se disminuye en e=2,71 veces.

Capacitores en los circuitos de corriente contínua:

En el estado estacionario a través de un capacitor conectado en un circuito de corriente continua no pasa corriente. Además la diferencia de potencial en el capacitor es igual a la diferencia de potencial en el sector paralelo al capacitor. Al principio, al conectar el sistema, en el circuito empieza un proceso de transición de carga de los capacitores. El tiempo de este proceso depende de la resistencia del circuito y de la capacitancia de los capacitores.

En este modelo se pueden crear en la pantalla diferentes circuitos, los cuales constan de baterías, capacitores y lámparas utilizadas como resistores. Al oprimir el boton "Run" se puede cualitativamente observar el proceso de transición, que surge después de conectar el interruptor. Para una mayor visualización, la velocidad del proceso de trancisión está disminuida notablemente.

Construye por ejemplo un circuito como el de la figura mostrada en el texto tomando solamente la espira superior. Conectando el amperímetro en serie en cualquier parte del circuito, y el voltímetro en paralelo con el capacitor, podrás observar como funcionan las fórmulas arriba descritas. El voltímetro mide la tensión U entre las placas del capacitor, el amperímetro mide la corriente en el circuito, y el valor que aparece en el capacitor corresponde a la carga del mismo. Como puedes ver, estas magnitudes dependen del tiempo hasta que no se alcance el equilibrio eléctrico.