Electromagnetismo

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1.17. Ley de Biot - Savart. Teorema sobre circulación

El campo magnético de las corrientes contínuas de diferente configuración fue estudiado experimentalmente por los científicos franceses J. Biot y F. Savart (1820 ). Ellos llegaron a la conclusión de que la inducción del campo magnético de las corrientes que fluyen en el interior de un conductor se determina por la acción conjunta de todos los sectores individuales del conductor. El campo magnético se somete al principio de superposición:

Si el campo magnético es creado por varios conductores con corriente, entonces la inducción del campo resultante es la suma vectorial de las inducciones de los campos creadas por cada uno de los conductores por separado.

La inducción   del conductor con corriente se puede representar como una suma vectorial de inducciones elementales creadas por elementos separados del conductor. En la práctica es imposible hacer un elemento separado de un conductor con corriente, ya que las corrientes contínuas siempre son cerradas. Se puede medir solamente la inducción total del campo magnético creado por todos los elementos de corriente. La Ley de Biot - Savart determina el aporte que hace un elemento pequeno Dl del conductor con corriente I a la inducción magnética del campo magnético resultante.

Aquí r es la distancia desde el elemento Dl hasta el punto de observación, a es el ángulo entre la dirección hacia el punto de observación y la dirección de la corriente en dicho elemento, m0 es la constante magnética. La dirección del vactor se determina por la regla del sacacorchos: ella coincide con la dirección de rotación de la manilla cuando el sacacorchos hace un movimiento de traslación en la dirección de la corriente. El dibujo 1.17.1 ilustra la ley de Biot - Savart con un ejemplo del campo magnético de un conductor rectilíneo con corriente. Si sumamos (integramos) todos los aportes al campo magnético por parte de cada uno de los elementos del conductor con corriente, obtendremos la fórmula para la inducción magnética del campo de la corriente rectilínea:
la cual ya se dedujo anteriormente en  1.16.

Dibujo 1.17.1.
Ilustración de la ley de Biot-Savart.

La ley de Biot-Savart permite calcular el campo magnético de corrientes de diferente configuración. No es dificil por ejemplo calcular el campo magnético en el centro de una espira con corriente. Estos cálculos nos llevan a la fórmula
donde R es el radio del conductor circular. Para determinar la dirección del vector también podemos usar la regla del sacacorchos, solamente que ahora su manilla se debe rotar en la dirección de la corriente circular y el desplazamiento de traslación determina la dirección del vector del campo magnético.

Los cálculos del campo magnético se pueden simplificar a veces teniendo en cuenta la simetría en la configuración de las corrientes que crean el campo. En este caso los cálculos se pueden hacer con ayuda del teorema sobre la circulación del vector de inducción magnética, el cual, en la teoría del campo magnético juega el mismo papel que el teorema de Gauss en la electrostática.

Aclaremos el concepto de circulación del vector Supongamos que en el espacio donde se forma un campo magnético se elige cierto circuito cerrado condicional (no obligatoriamente plano) y además se elige una dirección positiva de recorrido del circuito. En cada elemento Dl de ese circuito se puede determinar la componente tangencial del vector en ese lugar, es decir determinar la proyección del vector en la dirección tangente a dicho elemento del circuito (ver dibujo 1.17.2).

Dibujo 1.17.2.
Circuito cerrado (L) con dirección determianda de recorrido. Se muestran las corrientes I1, I2 e I3, que crean el campo magnético.

Circulación del vector se llama a la suma de los productos Dl, tomada a lo largo de todo el circuito L:

Algunas corrietes que crean campo magnético pueden cruzar el circuito L así como otras pueden pasar a los lados del misno.

El teorema sobre circulación afirma que la circulación del vector del campo magnético de corrientes contínuas a lo largo del cualquier circuito L siempre es igual al producto de la constante magnética m0 por la suma de todas las corrientes que cruzan el circuito:

Como ejemplo, en el dibujo  1.17.2 se ilustran varios conductores con corriente que generan campo magnético. Las corrientes I2 e I3 cruzan el circuito L en direcciones contrarias, por lo tanto a ellas se les debe asignar signos contrarios: positivas se toman las corrientes que están relacionadas con la dirección elegida de recorrido del circuito por medio de la regla del sacacorchos (regla de la mano derecha). Por consiguiente I3 > 0, e I2 < 0. La corriente I1 no cruza el circuito L.

Entonces el teorema sobre circulación en este ejemplo se expresa por la relación:

El teorema sobre circulación en general se deduce de la ley de Biot-Savart y del principio de superposición.

El ejemplo más sencillo de aplicación de este teorema consiste en el cálculo del campo magnético de un conductor rectilíneo con corriente. Teniendo en cuenta la simetría en dicho problema, el circuito L se elige en forma de círculo de cierto radio R, localizado en el plano perpendicular al conductor. El centro de la circunferencia está en cierto punto del conductor. Debido a la simetría, el vector tiene dirección de la tangente ( ), y su módulo es igual en todos los puntos de la circunferencia. La aplicación del teorema sobre circulación nos lleva a la relación:
de donde se deduce la fórmula para el módulo de la inducción magnética del campo del conductor rectilíneo con corriente, de la cual ya se había hablado.

Este ejemplo muestra, que el teorema sobre circulación del vector de la inducción magnética puede ser usado para el cálculo de campos magnéticos creados por distribuciones simétricas de correintes, cuando desde el punto de vista de simetría se puede "adivinar" la estructura genreal del campo.

Hay muchos ejemplos importantes prácticos del cálculo del campo magnético por medio del teorema sobre circulación. Uno de ellos consiste en el calculo del campo de una bobina toroidal (dibujo 1.17.3).

Dibujo 1.17.3.
Aplicación del teorema sobre circulación a una bobina toroidal.

Se supone que la bobina es densa, es decir está enrollada de tal manera que las espiras están una junto a la otra alrededor de un núcleo no magnético toroidal. En dicha bobina las líneas de inducción magnética se cierran dentro de la bobina y son circulos concéntricos. Ellas están direccionadas de tal manera que mirando a lo largo de ellas, veríamos la corriente en las espiras circulando en dirección de olas manecillas del reloj. Una de esas líneas de cierto radio r1 L r < r2 se ilustra en el dibujo 1.17.3. Apliquemos el teorema sobre circulación al circuito L en forma de círculo que coincide con la línea de inducción como la que se muestra en el dibujo 1.17.3. Desde el punto de vista de simetría es claro que el módulo del vector es el mismo a lo largo de toda esta línea. Siguiendo el teorema sobre circulación, se puede escribir:
B  2pr = m0IN,
donde N es el número total de espiras, I es la corriente que flute por las espiras de la bobina. Por consiguiente,

De esta manera el módulo del vector de inducción magnética en una bobina toroidal depende del radio r. Si el núcleo de la bobina es delgado, es decir r2  r1 << r, entonces el campo magnético dentro de la bobina es prácticamente homogéneo. La magnitud n = N / 2pr representa el número de espiras por unidad de longitud de la bobina. En este caso
B = m0In.

En esta expresión no entra el radio del toro, por eso ella se cumple también en el caso límite r . Pero en el límite, cada parte de la bobina toroidal se puede analizar como una bobina larga rectilínea. A este tipo de bobinas se les denomina solenoides. Lejos de los costados del solenoide el campo magnético se expresa por medio de la misma realción que en el caso de la bobina toroidal.

En el dibujo  1.17.4 se muestra el campo magnético de una bobina de longitud finita. Hay que tener en cuenta que en la parte central de la bobina el campo magnético práctcamente es homogéneo y mucho más fuerte que fuera de la bobina. Por ello se dibujan las líneas de campo mucho más densas. En el caso límite de un solenoide de longitud infinita, el campo magnético homogéneo está totalmente concetrando dentro del colenoide.

Dibujo 1.17.4.
Campo magnético de una bobina de longitud finita. En el centro del solenoide el campo magnético prácticamente es homogéneo y en módulo es mucho mayor que el campo fuera de la bobina.

En el caso de un solenoide de longitud infinita la expresión para el módulo de la inducción magnética se puede obtener directamente por medio del teorema sobre circulación aplicandolo a un circuito rectangular, como el que se muestra en la figura  1.17.5.

figura 1.17.5.
Aplicación del teorema sobre circulación par ale cálculo del campo magnético de un solenoide de longitud infinita.

El vector de inducción magnética tiene diferente de cero la proyección sobre la dirección de recorrido del circuito abcd solamente en el lado ab. Por consiguiente la circulación del vector a lo largo del circuito es Bl, donde l es la longitud del lado ab. El número de espiras del solenoide que atraviezan el circuito abcd, es igual a n  l, donde n es el número de espiras por unidad del longitud del solenoide, y la corriente total que atraviza el circuito es igual a Inl. De acuerdo al teorema sobre circulación,
Bl = m0Inl,
de donde
B = m0In.

Esta expresión coincide con la fórmula obtenida antes para el campo magnético de la bobina toroidal delgada.

Ejemplo 1

Por una espira circular de radio R = 5 cm fluye una corriente I = 4 A. Hallar el campo magnético sobre el eje de la espira a una distancia x = R de su centro. Hallar también el campo magnético en el centro de la espira.

Solución

Este ejercicio se resuelve con la ley de Biot-Savart. Para ello dividimos la espira con corriente en elementos infinitesimales (ver fugura).

El elemento crea en el punto P un campo magnético El módulo del vector , de acuerdo a la ley de Biot-Savart, es igual a
donde m0 es la constante magnética, r la distancia desde el elemento hasta el punto P, a el ángulo entre los vectores y . En este caso a = 90. La dirección del vector se determina por la regla del sacacorchos: ella coincide con la dirección de rotación de la manilla del sacacorchos, cuando éste se mueve a lo largo y en dirección de la corriente.

El vector se puede descomponer en dos componentes:

La componente es perpendicular al eje de la espira, y la componente perpendicular a dicho eje. Al calcular el campo magnético resusltante creado por todos los elementos de la espira con corriente, las componentes de los diferentes elementos, en virtud a la simentría de ejercicio, se autoeliminan. Las componentes creados por los diferentes elementos de la espira con corriente se suman y dan el campo magnético resultante

En el paso al límite cuando Dl tiende a cero, el campo magnético resultante Bx se puede representar como la integral con respecto a todos los elementos del anillo:

La integral con respecto a dl, tomada por todo el anillo, es simplemente la longitud de la circunferencia 2pR. Por eso finalmente podemos escribir:

Tengamos en cuenta, que la dirección del vector resultante también se puede determinar por la regla del sacacorchos: si rotamos la manilla del sacacorchos en dirección de la corriente en el anillo, la dirección de desplazamiento del sacacorchos nos indica la dirección del campo magnético.

Cuando x = R la expresión para B toma la forma

Colocando los valores correspondientes I = 4 A, R = 5102 m obtenemos
B = 1,78103 T.

El campo magnético B0 en el centro de la espira con corriente es igual a

En nuestro caso B0 = 5,03103 T.

Ejemplo 2

Por un conductor largo redondo no magnético de radio R = 5,0 cm fluye una corriente de I0 = 5,0 A. La densidad de la corriente es constante por toda la sección transversal del conductor. Exprese gráficamente la dependencia del módulo B del vector del campo magnético, de la distancia r desde el eje del conductor, para r > R y r < R.

Solución

Para determinar el campo magnético B fuera del conductor utilizamos el teorema sobre circulación del campo magnético. En virtud a la simetría axial del ejercicio, el módulo del vector en cualquier punto de una circunferencia con centro en el eje de la espira es el mismo. Asimismo en vector en todas partes tiene dirección tangente a la trayectoria (ver fgura).

Por eso la circulación del vector a lo largo del circuito en forma de circunferencia de radio r es igual a B  2pr. Por el teorema sobre circulación esta magnitud es igual al producto de la constante magnética m0 por la corriente I que cruza el espacio encerrado por dicho circuito.
B  2pr = m0I.

Cuando r 3 R la corriente I, que cruza el circuito, es igual a la corriente total I0 que fluye por la barra. Po eso

De esta manera, cuando r > R el campo magnético del conductor cilíndrico con corriente coincide con el campo magnético de un conductor rectilíneo delgado con corriente, situado a lo largo del eje del cilindro. El campo magnético cerca de la superficie del cilindro es ifual a

Cuando r < R al circuito elegido de circulación lo atraviesa una corriente Por el teorema de circulación para este caso

El campo magnético dentro del conductor cilíndrico con corriente cambia directamente proporcional a la distancia r desde el eje.

Cuando r = R / 2 el campo magnético es la mitad del campo de la superficie:

La gráfica de dependencia B(r) entonces es como se muestra en la figura:

 

Modelo 1.9.  Campo magnético de una espira circular con corriente

El campo magnético de la corriente circular tiene una estructura compleja. Relativamente sencillo puede ser el cálculo con ayuda de la ley de Biot-Savart solamente para los punto que están sobre el eje de la espira. Este modelo computacional muestra cualitativamente la estructura del campo magnético de una corriente circular y cuantitativamente medir el campo en el eje. Se puede hacer el experimento con limaduras de hierro.

Modelo  1.10.  Campo magnético de la corriente rectilínea

Este modelo muestra las líneas de inducción del campo magnético del conductor rectilíneo con diferentes valores de la corriente. La inducción del campo magnético puede ser medida en cualquier punto de la pantalla. Como dirección positiva del vector tomamos la dirección contraria a la del movimiento de las manecillas del reloj. Nos podemos convencer de que el campo magnético cambia inveramente proporcional a la distancia hasta el conductor.

También se puede hacer el experimento con limaduras de hierro.

Modelo 1.11.  Campo magnético de un solenoide

Solenoide se llama una bobina larga rectilínea que está densamente enrrollada de espiras una con otra. El campo magnético dentro del solenoide es homogéneo. La homogeneidad del campo magnético se rompe solamente cerca de las orillas de la bobina.

El modelo computacional muestra la estructura del campo magnético del solenoide y permite medir la inducción del campo en diferentes puntos sobre el eje de la bobina. También se puede observar el fenómeno con limaduras de hierro.