Electromagnetismo

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1.18. Fuerza de Lorentz

La fuerza de Ampere, que actúa sobre un segmento Dl de conductor con una corriente I, y que está en un campo magnético B,
F = IBDl sin a
puede ser expresada a través de las fuerzas que actúan sobre cada uno de los portadores de carga.

Supongamos que la concentración de portadores de carga libre en el conductor es n, y q es la carga del portador. Entonces el producto nqvS, donde v es la rapidez del movimiento ordenado de los portadores dentro del conductor, y S el área de la sección transversal del conductor, es igual a la corriente que fluye por el conductor:
I = qnvS.

Entonces la expresión para la fuerza de Ampere sepuede escribir de la forma:
F = qnSDlvB sin a.

Como el número total N de portadores de carga en el conductor de longitud Dl y sección transversal S es igual a nSDl, entonces la fuerza que actúa sobre una partícula cargada es
FL = qvB sin a.

Esta fuerza se denomina Fuerza de Lorentz. El ángulo a en esta expresión es igual al ángulo entre la velocidad y el vector inducción magnética La dirección de la fuerza de Lorentz que actúa sobre una partícula de carga positiva, de la misma manera que la dirección de la fuerza de Ampere, puede ser hallada por la regla del sacacorchos. En la figura 1.18.1. se muestra la posición mutua de los vectores , y para una partícula con carga positiva. 

Dibujo 1.18.1.
Posición mutua de los vectores , y El módulo de la fuerza de Lorentz en magnitud es igual al área del paralelogramo compuesto por los vectores y y multiplicada por la carga q.

La fuerza de Lorentz tiene dirección perpendicular a los vectores y

Cuando una partícula cargada se mueve en un campo magnético la fuerza de Lorentz no realiza ningún trabajo. Por eso el módulo del vector velocidad de la partícula en este caso no cambia.

Si la partícula se mueve en un campo magnético homogéneo por acción de la fuerza de Lorentz y su velocidad se encuentra en el plano perpendicular al vector entonces la partícula se va a mover por una circunferencia de radio

La fuerza de Lorenz en este caso juega el papel de fuerza centrípeta (figura 1.18.2).

figura 1.18.2.
Movimiento circular de una partícula cargada en un campo magnético homogéneo.

El período de revolución de la partícula en el campo magnético homogéneo es igual a

Esta expresión nos muestra que, para las partículas cargadas de masa m el período no depende de la velocidad v ni del radio de la trayectoria R.

La velocidad angular de la partícula cargada es
y se denomina frecuencia ciclotrónica. La frecuencia ciclotrónica no depende de la velocidad (y por consiguiente tampoco de la energía cinética) de la partícula. Esta propiedad se usa en los ciclotrones, que son aceleradores de partículas pesadas (protones, iones). En el dibujo 1.18.3 se muestra un esquema de funcionamiento del ciclotrón.

Dibujo 1.18.3.
Movimiento de partículas cargadas en una cámara de vacío del Ciclotrón.

Entre los polos de un electroimán muy fuerte se sitúa una cámara de vacío, dentro de la cual se encuentran dos electrodos en forma de semicilindros huecos metálicos (duantes). A los duantes se les aplica una tensión, cuya frecuencia es igual a la frecuencia ciclotrónica. Las partículas cargadas se inyectan en el centro de una cámara de vacío. Las partículas se acelerean por medio de un campo eléctrico en el espacio entre los duantes. En el interior de los duantes las partículas se mueven por acción de las fuerzas de Lorentz a lo largo de semicircunferencias, cuyo radio aumenta a medida que aumenta la energía de las partículas. Cada vez, cuando la partícula pasa por la cavidad entre los duantes, ella se acelera por el campo eléctrico. De esta manera en el ciclotrón, así como en todos los demás aceleradores, la partícula se acelera por el campo eléctrico y se mantiene en la trayectoria por el campo magnético. Los ciclotrones permiten acelerar protones hasta una energía del orden de los 20 MeV.

Los campos magnéticos homogéneos se usan en muchos aparatos y, en particular, en los espectrómetros de masas que son aparatos, con ayuda de los cuales se puede medir la masa de las partículas cargadas, iones o núcleos de diferentes átomos. Los espectrómetros de masas se usan para la separación de isótopos, es decir de núcleos de átomos con igual carga pero diferente masa (por ejemplo, 20Ne y 22Ne). El espectrómetro más sencillo se muestra en la figura 1.18.4. Los iones que salen de la fuente S, pasan por unos cuantos agujeros pequenos para formar un haz. Luego ellos caen a un selector de velocidades en el cual las partículas se mueven en campos eléctrico y magnético homogéneos cruzados. El campo eléctrico se crea entre las placas del condensador plano, y el campo magnético en la cavidad entre los polos del electroimán. La velocidad inicial de las partículas cargadas está direccionada perpendicularmente a los vectores y

Sobre la partícula que se mueve en los campos cruzados eléctrico y magnético actúa una fuerza eléctrica y una fuerza magnética de Lorentz. Con la condición E = vB estas fuerzas se compensan con exactitud una con la otra. Si se cumple esta condición, la partícula se va a mover con una velocidad constante y en línea recta y, atravezando el condensador, pasará a través del agujero en la pantalla. Con valores dados de los campos eléctrico y magnético, el selector de velocidades separa las partículas que se mueven con velocidad v = E / B.

Luego las partículas que tienen un mismo valor de la velocidad caen a la cámara del espectrómetro de masas en el cual hay un campo magnético homogéneo Las partículas se mueven en la cámara en el plano perpendicular al campo magnético por acción de la fuerza de Lorentz. Las trayectorias de las partículas son circunferencias de radios R = mv / qB'. Midiendo los radios de las trayectorias con valores conocidos de v y B' se puede determinar la relación q / m. En el caso de los isótopos (q1 = q2), el espectrómetro de masas permite separar las partículas con diferentes masas.

Los espectrómetros de masas modernos permiten medir masas de partículas cargadas con una exactitud mayor de 10–4.

Dibujo 1.18.4.
Selector de velocidades y espectrómetro de masas.

Si la velocidad de la partícula tiene una componente a lo largo de la dirección del campo magnético, entonces esa partícula se va a mover en el campo magnético homogéneo por una espiral. Con esto, el radio de la espiral R depende del módulo de la componente v perpendicular al campo magnético y el paso de la espiral p depende del módulo de la componente longitudinal v|| (dibujo 1.18.5).

Dibujo 1.18.5.
Movimiento de una partícula cargada por espiral en un campo magnético homogéneo.

Entonces, la trayectoria de la partícula cargada como que se enrolla en las líneas del campo magnético. Este fenómeno se usa en tecnología para el aislamiento térmico del plasma de alta temperatura, es decir del gas puramente ionizado, con temperatura del orden de 106 K. Sustancias en ese estado se obtienen en los "Tokamak" cuando se estudian reacciones termonucleares controladas. El plasma no debe tocar las paredes de la cámara. El aislamiento térmico se obtiene por medio de la creación de un campo magnético de especial configuración. Como ejemplo, en el dibujo  1.18.6 se ilustra la trayectoria de movimiento de una partícula cargada en una botella magnética (o trampa magnética).

Dibujo 1.18.6.
"Botella" magnética. Las partículas cargadas no se salen de la botella. El campo magnético de la botella puede ser creado por medio de dos bobinas redondas con corriente

Un fenómeno análogo sucede en el campo magnético de la Tierra, el cual es una defensa contra las corrientes de partículas cargadas que vienen del espacio. Las partículas cargadas y con gran velocidad, que vienen del espacio cósmico (principalmente del sol) se «atrapan» por el campo magnético de la Tierra y forman los llamados cinturones radiactivos (dibujo 1.18.7), en los cuales las partículas, como en una trampa magnética, se trasladan para allá y para acá por trayectorias espirales entre los polos magnéticos norte y sur en el transcurso de menos de un segundo. Solamente en las zonas polares parte de las partículas se introduce en las capas atmosféricas superiores provocando las auroras boreales. Los cinturones radiactivos de la Tierra tienen longitudes desde 500 km. hasta decenas de veces el radio terrestre. Cabe recordar que el polo magnético sur de la tierra queda cerca del polo geográfico norte (En el noroccidente de Groenlandia). La naturaleza del campo magnético de la tierra todavía no está bien estudiada.

Dibujo 1.18.7.
Cinturones radiactivos de la tierra. Las partículas cargadas rápidas del sol (en su mayoría electrones y protones) caen en las trampas magnéticas de los cinturones radiactivos. Las partículas pueden abandonar los cinturones en las zonas polares y entrar a las capas superiores de la atmósfera provocando las auroras boreales.

 

Ejemplo 1

En una cámara de un laboratorio fue creado un campo magnético, cuyo vector está direccionado verticalmente hacia arriba y es igual en módulo a B = 1,2 mT. A la cámara entra un protón con una energía cinética K = 5,3 MeV. El vector velocidad del protón está direccionado horizontalmente. Determine la aceleración a, con la cual se mueve el protón en la cámara y el radio de curvatura R de la trayectoria. La masa del proton es mp = 1,67·10–27 kg.

Solución

La fuerza de Lorenz que actúa sobre la partícula cargada que se mueve en un campo magnético depende de su velocidad, la cual puede ser expresada a través de la energía cinética de la partícula:

El protón se mueve con una velocidad muy grande. Sin embargo esta velocidad es mucho menor que la velocidad de la luz c = 3·108 m/s. Por esto, el movimiento del protón se puede analizar con base en las leyes de la mecánica clásica.

La fuerza de Lorentz FL tiene dirección perpendicular a la velocidad de la partícula
FL = qvB sin a,
donde q es la carga del protón, igual a la carga elemental e = 1,602·10–19 C, a es el ángulo entre las direcciones de los vectores y En nuestro caso a = 90°, sin a = 1. La fuerza de Lorentz genera una aceleración centrípeta a:

El protón se va a mover bajo la acción de la fuerza de Lorentz en un campo magnético homogéneo por una circunferencia, cuyo radio R se halla de las condiciones

De este modo, la desviación del vector velocidad del protón en condiciones de prácticas de laboratorio, es muy pequena.

Ejemplo 2


En el dibujo se muestra una lámina de cobre delgada, de grosor d = 150 micrómetros, la cual se encuantra en un campo magnético B = 0,65 T, perpendicular a la superficie de la lámina. Al dejar pasar una corriente I = 23 A por la lámina, entre los puntos a y b surge cierta diferencia de potencial Vab. Este fenómeno se denomina efecto Hall. Halle la diferencia de potencial Vab y determine su signo. La concentración de electrones libres en el conductor de cobre es n = 8,5·1028 m–3.

Solución

La causa de que surge una diferencia de potencial "transversal" Vab es la acción de la fuerza de Lorentz sobre las cargas en movimiento dentro del conductor. En un conductor metálico los portadores de carga son los electrones, que tienen carga negativa. La velocidad de la corriente de electrones está en dirección contraria a la dirección positiva de la corriente I. En nuestro caso del dibujo, los electrones se mueven desde abajo hacia arriba con cierta velocidad , cuyo módulo es igual a
donde j = I / S es la densidad de la corriente, S el área de la sección transversal de la lámina, n la concentración de electrones, e la carga elemental. La fuerza de Lorentz FL que actúa sobre los electrones está direccionada hacia la derecha. Esta fuerza tiende a desviar los electrones hacia la derecha y amontonarlos en la orilla derecha de la lámina. Como resultado, en la orilla derecha de la lámina aparece una concentración abundante de electrones, y, al mismo tiempo, en la parte izquierda la concentración disminuye (ver dibujo).

La orilla derecha de la lámina se carga con carga negativa y la izquierda con carga positiva. Esto conlleva al surgimiento de un campo eléctrico con dirección de izquierda a derecha. Ahora, sobre los electrones en movimiento, junto con la fuerza magnética de Lorentz actúa la fuerza eléctrica en dirección contraria. La acumulación de cargas positivas y negativas en las orillas termina cuando se alcanza el equilibrio de las fuerzas:
eE = eveB.

Teniendo en cuanta que Vab = E · l, donde l es el ancho de la lámina, tenemos
Vab = El = veBl.

Usando la expresión para ve y teniendo en cuenta que S = l · d, obtenemos finalmente

Como podemos ver de la figura Vab > 0. Sería interesante recalcar que si la lámina estuviera hecha de semiconductor de tipo- p, entonces se cambiaría el signo de la diferencia de potencial (Vab < 0).


Modelo  1.12.  Movimiento de una carga en un campo magnético

Sobre una partícula cargada con carga q, que se mueve con velocidad en un campo magnético con inducción actúa una fuerza de Lorentz:
FL = qvB sin a ,
donde a es el ángulo entre los vectores y la fuerza de Lorentz no realiza ningún trabajo ya que siempre tiene dirección perpendicular a la velocidad de la partícula cargada. Si el vector velocidad de la partícula en el campo magnético homogéneo , tiene dirección perpendicular al vector del campo magnético entonces la partícula se va a mover uniformemente por la circunferencia de radio
R = mv / qB.

Si la velocidad de la partícula tiene una componente paralela al vector entonces la partícula se va a mover por una espiral.

El modelo computacional ilustra el movimiento de una partícula cargada en un campo magnético homogéneo. Se púeden cambiar los valores de las componentes de la velocidad de la partícula y del campo magnético. El programa permite calcular el radio de la trayectoria y el tiempo de un ciclo.

Hay que tener en cuenta que la fuerza de Lorentz, que actúa sobre una partícula en movimiento, siempre es perpendicular a su velocidad.

Modelo 1.13.  Espectrómetro de masas

Espectrómetro de masas se llama al instrumento, por medio del cual se puede medir la masa de las partículas cargadas, por ejemplo el núcleo de diferentes átomos. el espectrómetro de masas se usa para separar isótopos, es decir núcleos con igual carga pero diferente número masa, (ver. §6.5), por ejemplo, y

En los espectrómetros de masa las partículas cargadas se mueven en una cámara, en la cual se crea un alto vacío, en un campo magnético homogéneo. Las partículas entran a la cámara primero pasando por el selector de velocidades. Las trayectorias de las partículas representan arcos de circunferencias de radios

El modelo computaional permite cambiar la inducción del campo magnético B y la velociadad de las partículas v. Para hacer un experimento de separación de isótopos podemos tomar los isótopos de Carbono, Neón y Uranio y asimismo los isótopos de una sustancia desconocida.

Modelo 1.14.  Selector de velocidades

 

En muchos instrumentos, por ejemplo en los espectrómetros de masas, es necesario hacer una selección anticipada de las partículas cargadas de acuerdo a sus velocidades. Este objetivo tienen los llamados selectores de velocidades.

En el selector de velocidades más simple, las partículas cargadas se mueven en los campos eléctrico y magnético homogéneos cruzados. El campo eléctrico se genera entre las láminas de un condensador plano y el campo magnético en el espacio dentro de un electroimán. La velocidad inicial de las partículas cargadas tiene dirección perpendicular a los vectores y

Sobre la partícula cargada actúan dos fuerzas: la fuerza eléctrica qE y la fuerza magnética de Lorentz qvB. En condiciones particulares estas fuerzas se pueden autoeliminar. En este caso la partícula cargada se va a mover de una forma uniforme y rectilínea. Al ateavezar el condensador, la partícula pasará por un orificio muy pequeno en una pantalla.

Las condiciones para una trayectoria rectilínea de la partícula, no dependen de la carga ni la masa de la partícula, sino que depende solamente de su velocidad:

En el modelo computacional se pueden cambiar los valores del campo eléctrico E , del campo magnético B y la velocidad inicial de la partícula v. Un experimento para seleccionar velocidades se puede hacer para el electrón, el protón, la partícula a y los átomos totalmente ionizados de Uranio 235 y Uranio 238.