Indice

Unidad 1. Electrodinámica

Campo eléctrico

1.3. Teorema de Gauss

La ley de Coulomb y el principio de superposición permiten de una manera completa describir el campo electrostático de un sistema de cargas dado en el vacío. Sin embargo, las propiedades del campo electrostático se pueden expresar en otra forma, más general, sin necesidad de tener en cuenta la representación coulombiana del campo de una carga puntual.

Introduzcamos una nueva magnitud física que caracteriza el campo eléctrico: el flujo F del vector intensidad del campo eléctrico. El concepto de flujo del vector es análogo al concepto de flujo del vector velocidad al estudiar la corriente del líquido no comprimible. Supongamos que en el espacio donde se ha creado un campo eléctrico, se encuentra cierta superficie suficientemente pequena DeltaS. El producto del módulo del vector con el área DeltaS y el coseno del ángulo a entre el vector y la normal a la superficie, se denominaflujo elemental del vector intensidad a través del elemento de superficie DeltaS (fig. 1.3.1):

DeltaF = EDeltaS cos a = EnDeltaS,

donde E_n es el módulo de la componente normal al campo

figura 1.3.1. Sobre la definición de DeltaF.

Analicemos ahora una superficie cualquiera cerrada S. Si dividimos esta superficie en superficies elementales DeltaS_i, definimos los flujos elementales DeltaF_i del campo a través de estas superficies elementales, y luego sumamos, como resultado obtenemos el flujo total F del vector a través de la superficie cerrada S (fig. 1.3.2):

En el caso de una superficie cerrada siempre se elige la normal externa.

figura 1.3.2. Cálculo del flujo a través de cualquier superficie cerrada S.

El teorema de Gauss afirma que:

El flujo del vector intensidad del campo electrostático a través de cualquier superficie cerrada es igual a la suma algebraica de las cargas que se encuentran dentro de esta superficie, dividida entre la constante eléctrica e₀.

Para su demostración, veamos primero una superficie esférica S, en cuyo centro se encuentra una carga puntual q. El campo eléctrico en cualquier punto de la esfera es perpendicular a dicha superficie y , en módulo, es igual a donde R es el radio de la esfera . El flujo F a través de la superficie esférica es igual al producto E y el área de la esfera 4pR². Por consiguiente

Rodeemos ahora la carga puntual con cualquier superficie cerrada S y analicemos una esfera auxiliar de radio R₀ (fig. 1.3.3).

Figura 1.3.3. Flujo del campo eléctrico de una carga puntual a través de una superficie cerrada cualquiera S que encierra la carga.

Veamos el cono con un pequeno ángulo sólido W en su vertice. Este cono abarca sobre la esfera un área pequena DS₀, y sobre la superficie S – un área DS. Los flujos elementales DF₀ y DF a través de estas áreas son iguales. En realidad,

DF0 = E0DS0,   DF = EDS cos a = EDS '.

Aquí DS ' = DS cos a es el área abarcada por el cono con ángulo sólido DW sobre la superficie de la esfera de radio r.

Como y entonces DF₀ = DF. De donde se deduce que el flujo total del campo eléctrico de una carga puntual a través de cualquier superficie que encierra esta carga, es igual al flujo F₀ a través de la superficie esférica auxiliar:
De la misma manera se puede mostrar que si la superficie cerrada S no abarca la carga puntual q, entonces el flujo F = 0. Este caso está representado en la fig. 1.3.2. Todas las líneas del campo de la carga puntual atravisan por completo la superficie cerrada S. Dentro de la superficie S no hay cargas, por eso en esta región las líneas de campo no terminan ni comienzan.

La generalización del teorema de Gauss para el caso de cualquier distribución de cargas surge del principio de superposición. El campo de cualquier distribución de cargas se puede representar como la suma vectorial de los campos eléctricos de las cargas puntuales. El flujo total F de un sistema de cargas a través de una superficie cerrada cualquiera S será igual a la suma de los flujos F_i de los campos eléctricos de las cargas por aparte. Si la carga q_i se encuentra dentro de la superficie S, su aporte al flujo total es igual a si ella, por el contrario, se encuentra fuera de la superficie entonces su aporte es igual a cero.

De esta manera el teorema de Gauss se ha demostrado.

El teorema de Gauss es una consecuencia de la ley de Coulomb y el principio de superposición. Pero si aceptamos la afirmación contenida en este teorema como un axioma inicial, entonces es la ley de Coulomb la que viene a ser consecuencia del teorema de Gauss. Por eso el teorema de Gauss a veces se llama formulación alternativa de la ley de Coulomb.

Usando el teorema de Coulomb se puede en muchos casos calcular fácilmente la intensidad del campo eléctrico alrededor de un cuerpo cargado si la distribució dada de cargas tiene cierta simetría y la estructura general del campo se puede predecir con anticipación. .

Como ejemplo nos puede servir el problema de hallar el campo de un cilindro hueco largo de paredes delgadas y radio R, cargado homogéneamente. este problema tiene simetría axial, por lo cual el campo eléctrico tienen que estar dirigido en dirección del radio. Por eso, para aplicar el teorema de Gauss se elige una superficie cerrada S en forma de cilindro coaxial de cierto radio r y longitud l, cerrado en sus partes transversales. (fig. 1.3.4).

Figura 1.3.4. Cálculo del campo de un cilindro cargado homogéneamente. OO' – eje de simetría.

Cuando r = R todo el flujo del vector intensidad va a pasar a treavés de la superficie principal del cilindro, cuya área es igual a 2prl, ya que el flujo por las dos bases es igual a cero. El teorema de Gauss no da:
donde t es la carga de una unidad de longitud del cilindro. De donde

Como se puede apreciar, este resultado no depende del radio R del cilindro cargado, por ello, él se puede aplicar al campo de un hilo largo cargado homogéneamente.

Para hallar el campo dentro del cilindro cargado, hay que construir una superficie cerrada para el caso cuando r < R. Debido a la simetría del ejercicio el flujo del vector intensidad a través de la superficie principal del cilindro, debe ser en este caso tambipen igual a F = E2prl. De acuerdo al teorema de Gauss, este flujo es proporcional a la carga que se encuentra dentro de la superficie cerrada. Dicha carga es igual a cero. De aquí se deduce que el campo eléctrico dentro del cilindro hueco cargado homogéneamente es igual a cero.

De la misma manera se puede aplicar el teorema de Gauss para determinar el campo eléctrico en muchos otros casos, cuando la distribución de las cargas tiene cierta simetría, por ejemplo simetría con respecto a un centro, a un eje o a un plano. En cada uno de estos caso hay que elegir una superficie gaussiana cerrada conveniente. Por ejemplo en el caso de simetría central, la superficie gaussiana puede ser una superficie esférica con centro en el punto de simetría. En el caso de simetría axial la superficie gaussiana puede ser un cilindro coaxial cerrado por los lados transversales (como en el ejemplo anterior). Si la distribución de cargas no tiene ninguna simetría y la estructura general del campo no se puede predecir, entonces el teorema de Gauss no facilita el problema de hallar el campo.

Veamos un ejemplo más sobre la distribución simétrica de cargas. Hallemos el campo de un plano cargado homogéneamente (fig. 1.3.5).

Figura 1.3.5. Campo de un plano cargado homogéneamente. s – densidad superficial de la carga. S – superficie gaussiana cerrada.

En este caso la superficie gaussiana S es conveniente elegirla en forma de cilindro de cierta longitud, cerrada por los lados transversales. El eje del cilindro está dirigido perpendicularmente al plano cargado, y sus lados transversales localizados a una misma distancia de él. Por simetría, el campo del plano cargado debe estar en cualquier punto dirigido en dirección de la normal. El teorema de Gauss nos da:
donde s – densidad superficial de la carga, es decir la carga en unidad de superficie.

Esta expresión para el campo eléctrico de un plano cargado homogéneamente se puede aplicar también en el caso de planos de dimensión finita. En este caso la distancia desde el punto, en el cual se está hallando el campo, hasta el plano, debe ser de dimensiones mucho menores que las dimensiones del plano.