Electromagnetismo

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1.4. Trabajo en un campo eléctrico. Potencial

Al desplazar una carga de prueba q en un campo eléctrico, las fuerzas eléctricas realizan un trabajo. Este trabajo en un desplazameinto es igual a (fig. 1.4.1):

figura 1.4.1.
Trabajo de las fuerzas eléctricas al desplazar en la carga q.

El campo electrostático tiene una propiedad muy importante:

El trabajo de las fuerzas del campo electrostático al desplazar una carga de un punto a otro no depende de la forma de la trayectoria, y se determina solamente por la posición de los puntos final e inicial y la magnitud de la carga.

Una propiedad análoga tiene el campo gravitacional, lo cual no nos debe sorprender ya que las fuerzas gravitacionales y las coulombianas se describen con relaciones matemáticas idénticas.

La siguiente afirmación es consecuencia de la independencia del trabajo con respecto a la trayectoria:

El trabajo de las fuerzas del campo electrostático al desplazar una carga a lo largo de cualquier trayectoria cerrada es igual a cero.

Los campos que tienen esta propiedad se llaman potenciales o consevativos.

En el dibujo  1.4.2 están ilustradas las líneas de campo de Coulomb de una carga puntual Q y dos trayectorias diferentes de desplazamiento de la carga de prueba q desde el punto inicial (1) hasta el punto final (2). Sobre una trayectoria se senala un desplazamiento infinitesimal El trabajo DA de las fuerzas coulombianas sobre este desplazamiento es igual a

Como se puede apreciar, el trabajo por este desplazamiento depende solamente de la distancia r entre las cargas y su cambio Dr. Si esta expresión la integramos en el intervalo de r = r1 hasta r = r2, entonces podemos obtener

Dibujo 1.4.2.
El trabajo de las fuerzas coulombianas al desplazar una carga q depende solamente de las distancias r1 y r2 de los puntos inicial y final de la trayectoria.

El resultado obtenido no depende de la forma de la trayectoria. En las tayectorias I y II del dibujo 1.4.2, el trabajo de las fuerzas coulombianas es le mismo. Al cambiar la dirección de desplazamiento de la carga q en la contraria, el trabajo cambia su signo. De aquí se deduce que a lo largo de una trayectoria cerrada, el trabajo de las fuerzas coulombianas es igual a cero.

Si el campo eléctrico lo genera un grupo de cargas puntuales Qi, entonces, al desplazar una carga de prueba q el trabajo A del campo resultante, de acuerdo al principio de superposición va a ser igual a la suma de los trabajos Ai de los campos coulombianos de las cargas puntuales: Debido a que cada miembro Ai de la suma no depende de la forma de la trayectoria, el trabajo total A del campo resultante no depende del camino y se determina solamente por las posiciones inicial y final.

La propiedad de potencialidad del campo eléctrico nos permite introducier el concepto de energía potencial de la carga en el campo eléctrico. Para ello, escojamos cierto punto (0) en el espacio, y la energía potencial de la carga q, situada en este punto, la tomamos como igual a cero.

La energía potencial de la carga q, situada en cualquier punto (1) del espacio, con relación al punto predeterminado (0) es igual al trabajo A10, que realiza el campo eléctrico al desplazar una carga q del punto (1) al punto (0):
Wp1 = A10.

(En la electrostática la energía se nota por la letra W, ya que la latra E es la notación para el campo eléctrico.)

Así como en la mecánica, la energía potencial está definida con exactitud hasta de una constante, la cual depende de la elección del punto de apoyo (0). Esto de ninguna manera conlleva a malentendidos, ya que sentido físico tiene no la energía potencial como tal, sino la diferencia de sus valores en dos puntos del espacio.

El trabajo que realiza el campo eléctrico al desplazar una carga puntual q desde el punto (1) hasta el punto (2), es igual a la diferencia de valores de la energía potencial en estos puntos y no depende del camino de desplazamiento de la carga, ni del punto (0) que se ha elegido.
A12 = A10 + A02 = A10  A20 = Wp1  Wp2.

LA energía potencial de la carga q, situada en un campo eléctrico es proporcional a la magnitud de esta carga.

La magnitud física que es igual a la relación de la energía potencial de la carga eléctrica en un campo electrostático con la magnitud de esta carga, se denomina potencial f del campo eléctrico:

El potencial f es una característica energética del campo electrostático.

El trabajo A12 por desplazamiento de una carga eléctrica q del punto (1) al punto final (2) es igual al producto de la carga por la diferencia de potencial (f1  f2) de los puntos final e inicial:
A12 = Wp1  Wp2 = qf1  qf2 = q(f1  f2).

En el Sitema Internacional (SI) la unidad del potencial es elvoltio (V).
1 V = 1 J / 1 C.

En muchos problemas de electrostática, para calcular el potencial es conveniente tomar como punto de referencia (0) un punto en el infinito. En este caso el concepto de potencial puede ser definido de la siguiente manera:

El potencial del campo en un punto determinado del espacio es igual al trabajo que realizan las fuerzas eléctricas al alejar una carga puntual unitaria desde ese punto hasta el infinito.

El potencial f8 del campo de una carga puntual Q a la distancia r de ella, con respecto a un punto en el infinito, se calcula de la siguiente manera:

Como podemos ver del teorema de Gauss, esta misma fórmula expresa el potencial del campo de una superficie esferica con carga homogénea (o de una esfera) cuando r = R, donde R el radio de la esfera.

Para una concepción clara del campo eléctrico, junto con las líneas de campo se usan las líneas equipotenciales.

La superficie, en todos los puntos de la cual el potencial del campo eléctrico tiene valores iguales, se denominasuperficie equipotencial osuperficie de igual potencial.

Las líneas de campo siempre son perpendiculares a las superficies equipotenciales.

Las superficies equipotenciales del campo coulombiano de una carga puntual son superficies esféricas concéntricas. En el dibujo 1.4.3 se ilustran las líneas de campo y las superficies equipotenciales de algunos campos electrostáticos simples.

Dibujo 1.4.3.
Superficies equipotenciales (líneas que no se cruzan con las cargas) y lineas de campo (líneas que se cruzan con las cargas de campos eléctricos simples: a carga puntual; b dipolo eléctrico; c dos cargas iguales positivas.

En el campo homogéneo las superficies equipotenciales representan un sistema de planos paralelos.

Si la carga de prueba q realizó un desplazamiento muy pequeno a lo largo de la línea de campo desde el punto (1) al punto (2), entonces podemos escribir:
DA12 = qEDl = q(j1 j2) =  qDj,
donde Dj = j1  j2 es el cambio del potencial

Esta expresión en forma escalar expresa la relación entre el campo y el potencial. Aquí l es la coordenada a lo largo de la línea de campo.

Del principio de superposición de los campos generados por cargas eléctricas se deduce el principio de superposición para los potenciales:
j = j1 + j2 + j3 + ...