Determinar la velocidad media y la aceleración media de un punto durante 5 y 10 segundos, si su movimiento está dado por el gráfico de velocidad

Solución:

Sea S el camino recorrido por el punto en 5 s, numéricamente igual al área encerrada entre la línea quebrada y el eje de tiempo : cm. La velocidad media de movimiento del punto en 5 s es cm/s. La aceleración media del punto en este mismo intervalo de tiempo es . El camino recorrido en 10 es igual a . Por consiguiente la velocidad media y la aceleración media son iguales a: y

Un hombre que se encuentra en la costa abrupta de un lago, tira mediante una cuerda de un bote que está en el agua. La velocidad con que el hombre tira de la cuerda es constante e igual a v. ¿Qué velocidad tendrá el bote en el momento en que el ángulo entre la cuerda y la superficie del agua será igual a ?

Solución:

En un pequeño intervalo de tiempo la proa del bote se desplazara del punto al punto (fig. 281). donde es la velocidad del bote. En este mismo intervalo de tiempo será recogido un pedazo de la cuerda . El puede considerarse rectangular, ya que Por consiguiente,

Una fuente de luz puntual se encuentre a una distancia de la pantalla vertical . De la fuente a la pantalla por la recta se mueve de modo progresivo, con una velocidad constante , un objeto opaco de altura . Determinar la velocidad instantánea del desplazamiento del extremo superior de la sombra del objeto por la pantalla (fig. 7).

Solución

Supongamos que en el momento inicial el objeto se encontraba en el punto (fig. 282) y en el momento de tiempo igual a adquirió la posición .
La semejante de los nos conduce a la igualdad ; la velocidad del punto , en el momento de tiempo dado, será igual a , con la condición de que el tiempo , durante el cual el extremo de la sombra se desplaza a una distancia igual a tienda a cero. Puesto que:

,

Entonces , o, considerando que , recibimos:

La coordenada de un punto que se mueve por línea recta a lo largo del eje x, varia con el tiempo según la ley (x es dado en centímetros
y t, en segundos). Determinar la velocidad y la aceleración del punto.

Solución:

Para el movimiento uniformemente acelerado tenemos . De esta manera , y , donde es la coordenada inicial del punto.

Un carrito de demostraciones se movía a lo largo de una regla con aceleración constante. En el momento cuando el cronometro indicaba , el carrito se encontraba en el punto ; en el momento , en el punto y en el momento , en el punto . ¿Qué aceleración tendrá el carrito?

Solución:

En las figuras 8 y 9 están representados: el grafico de la velocidad de un cuerpo y el grafico de la variación de la coordenada del cuerpo (parábola) en función del tiempo. El comienzo de la lectura del tiempo en ambos gráficos coincide. ¿Serán iguales los movimientos representados en ambos gráficos?

Solución:

Del grafico de la velocidad (véase la fig. 8) se deduce que la velocidad inicial (). La aceleración Inicialmente la velocidad del cuerpo disminuye. En el momento la velocidad del cuerpo es igual a cero y después aumenta en magnitud. El segundo grafico (véase la fig. 9) representa también un movimiento uniformemente alterno. Hasta pararse el cuerpo recorre una distancia igual a Según el grafico anterior el camino recorrido hasta la parada es numéricamente igual al área del , o sea, Por lo tanto, los gráficos representan diferentes movimientos. Al segundo grafico le corresponde otra velocidad inicial: y otra aceleración:

Los puntos A y B se encuentran el uno del otro a una distancia de Del punto A en dirección al punto B salió un automóvil que durante todo el camino se movía uniformemente. Al mismo tiempo del punto B en dirección al punto A salió otro automóvil con velocidad inicial, que tenía una aceleración constante con la misma dirección que la velocidad del primer automóvil. Es sabido que en el camino los dos automóviles adelantaron el uno al otro dos veces. ¿Dentro de qué límites se en­cuentra la velocidad del primer automóvil?

Solución:

El gráfico de movimiento del segundo automóvil tiene la forma de una parábola representada en la (fig. 283) Es evidente que la velocidad del primer automóvil no puede ser excesivamente grande, porque en este caso el adelantamiento ocurre una sola vez (el punto B en la fig. 283, ya que el punto A corresponde al encuentro de los automóviles). La velocidad tampoco puede ser excesivamente pequeña (la recta OC en la fig. 283), puesto que, en el caso contrario, los automóviles jamás pasarán el uno al lado del otro. De tal modo, la ecuación que expresa la igualdad de las coordenadas de los automóviles: debe tener dos soluciones reales, además, ambas corresponden a momentos ulteriores de tiempo, que el momento de parada (instantánea) del segundo automóvil,
determinada por la igualdad . De las dos condiciones se deduce que:

ó

Una bola cae libremente de una altura H sobre un soporte elástico horizontal. Construir el gráfico de la variación de la coordenada y de la velocidad de la bola en función del tiempo, menospreciando el tiem­po del choque. El choque se considera absolutamente elástico.

Solución:

Sobre una placa elástica caen libremente dos bolas de acero. La primera cae desde una altura y la segunda, transcurrido un lapso después de la primera, siendo la altura . Al pasar cierto tiempo, las velocidades de las bolas coinciden tanto por su valor como por la dirección.

Determinar el lapso y el intervalo de tiempo, durante el cual las velocidades de ambas bolas serán iguales. Las bolas no chocan.

Solución:

El tiempo de caída de la primera bola es . La relación de las velocidades máximas de las bolas es . Como se deduce del gráfico de velocidades (fig. 285), el tiempo mínimo es s. Además, la segunda bola puede iniciar la caída cada 0,6; 0,9; 1,2 s, etc., después del comienzo de la caída de la primera bola. El tiempo , durante el cual las velocidades de ambas bolas coinciden, es igual a 0,3 s. El proceso se repite periódicamente cada 0,6 s.

¿Durante que tiempo un cuerpo que cae libremente sin velocidad inicial, pasa el enésimo centímetro de su trayecto?

Solución:

Las ecuaciones originales son las siguientes:

,

donde es el tiempo de movimiento del cuerpo en el enésimo centímetro del trayecto. De ahí resulta que:

,

,

De una torre alta se lanzan dos cuerpos uno tras otro, con velocidades , de igual valor. El primer cuerpo se lanza verticalmente hacia arriba; pasado cierto tiempo
, se tira el segundo, verticalmente hacia abajo. Determinar la velocidad de los

Cuerpos uno respecto a otro y la distancia entre ellos en el momento

Solución:

Designando por y la coordenada y la velocidad del primer cuerpo respecto a la torre y por y , la coordenada y la velocidad del segundo, podemos escribir las siguientes ecuaciones:

(Aquí consideramos como positiva la dirección hacia arriba.) La velocidad del primer cuerpo, con relación al segundo, es igual a y no cambia con el tiempo. La distancia entre los cuerpos es igual a:

Un cuerpo con relación al otro se mueve uniformemente y por lo tanto la distancia entre ellos cambia linealmente con el tiempo.

Tres puntos , y en el momento inicial están situados en la misma recta horizontal, a distancia igual el uno del otro. El punto comienza a moverse
verticalmente hacia arriba con velocidad constante y el punto C, sin velocidad inicial verticalmente hacia abajo con aceleración constante . ¿De qué
modo debe moverse el punto en dirección vertical para que todos los puntos se encuentren todo el tiempo en una recta? Los puntos empiezan a moverse simultá­neamente.

Solución:

Según las condiciones del problema (fig.286).De la semejanza de los triángulos tenemos:

Como vernos en la (fig. 286), Estas relaciones permiten determinar que:

De este modo, el punto se mueve con velocidad inicial dirigida hacia arriba y con aceleración constante , dirigida hacia abajo. Alcanzando una altura igual a al punto se moverá hacia abajo.

Un ascensor se mueve con aceleración . Un pasajero que se encuentra en el ascensor deja caer un libro.

¿ Cuál será la aceleración del libro con relación al piso del ascensor , si:

1) ¿El ascensor sube?

2) ¿El ascensor baja?

Solución:

El valor de la aceleración del libro respecto al suelo del ascensor no depende de la dirección del movimiento del ascensor (dirección de su velocidad), sino de la dirección de la aceleración del ascensor. Si la aceleración del ascensor está dirigida
hacia arriba, la aceleración del libro será igual . Si su aceleración está dirigida hacia abajo, la aceleración del libro será igual .

Dos automóviles salen de las ciudades y , el uno al encuentro del otro, con velocidades y aceleraciones de iguales valores. La aceleración del automóvil que salió de la ciudad todo el tiempo tenía dirección hacia , y la del automóvil que salió de la ciudad ,
hacia . ¿Cuánto tiempo más tarde salió uno de estos automóviles si el tercer automóvil que iba todo el tiempo con la velocidad constante . ¿Presenció ambos encuentros de los dos primeros automóviles?

Solución:

En el momento del encuentro de todos los automóviles, los dos primeros tienen una velocidad única igual a , con relación al tercero que se mueve uniformemente. En relación a la carretera las velocidades de los automóviles son iguales a

Por eso, la parada (instantánea) de uno de los automóviles tendrá lugar diferentes del primer encuentro, después del intervalo de tiempo igual a y la segunda, después del intervalo de tiempo igual a, la parada de uno de los automóviles atrasa tanto, cuanto su partida. Por consiguiente, el tiempo de atraso incógnito es:

Un hombre en un ascensor que se mueve con acelera­ción , deja caer una bola de una altura sobre el piso. Pasado un tiempo del comienzo de la caída de la bola, la aceleración del ascensor cambia su signo y después del lapso la aceleración se hace igual a cero. Luego la bola toca el suelo. ¿A qué altura del suelo del ascensor salta la bola después del choque? Considerar el choque absolutamente elástico.

Solución:

Si la velocidad del ascensor no cambiase, entonces la bola saltaría a una altura. En el sistema de referencia que tiene una velocidad constante, igual a la velocidad del ascensor, en el momento cuando la bola comienza a caer, el ascensor
sube a una altura en un intervalo de tiempo y, durante el siguiente intervalo de tiempo igual a , sube aún más, a la altura . La altura total de elevación es La altura incógnita, a la cual saltará la bola sobre el suelo del ascensor, es

Sobre una cuña, cuyo plano forma un ángulo con la horizontal, colocaron el cuerpo (fig. 10). ¿Qué aceleración es necesario transmitir a la cuña en dirección horizontal para que el cuerpo caiga libremente en dirección vertical hacia abajo?

Solución:

En el intervalo de tiempo t de caída libre el cuerpo recorrerá por la vertical el trayecto .Durante el mismo intervalo de tiempo la cuña deberá desplazarse a una distancia . Si el cuerpo todo el tiempo toca la cuña, es evidente (Se ve en la fig. 287) que .De esta manera resulta que la aceleración buscada es . Si la aceleración de la cuña en dirección horizontal será mayor que , entonces el cuerpo se desprende de la cuña.