Una tabla se encuentra sobre un cilindro circular fijo de radio , como muestra la (fig. 222). El grosor de la tabla es h. Encontrar las condiciones según las cuales, después de una desviación en un pequeño ángulo de la horizontal, la tabla oscilará en la proximidad de la posición de equilibrio. No hay deslizamiento.

Solución

El centro de gravedad de la tabla en posición inicial de equilibrio se encuentra a una altura sobre el nivel horizontal donde se halla el eje del cilindro, siendo. Al girar la tabla sin deslizamiento en un pequeño ángulo , su centro de gravedad ocupara una posición a altura que se determina con facilidad.

Subrayamos que, cuando los ángulos son pequeños, con precisión hasta el miembro de la infinitesimal de segundo orden tenemos . En efecto si.

,

Entonces, designando , obtendremos , de donde, prescindiendo de, determinamos que y por lo tanto . De este modo recibimos.

Las oscilaciones de la tabla en torno a la posición de equilibrio surgirán si existe la condición

, o sea, si:

.

Si , la tabla caerá.

Determinar con precisión hasta un coeficiente adimensional el período de oscilaciones de un cuerpo de masa m, sujetado a un muelle con coeficiente de rigidez k.

Solución

La ecuación de movimiento del peso de masam tiene la forma

Dondex es el alargamiento absoluto del muelle. De la ecuación se deduce que el periodo de oscilaciones puede depender solamente de m y k. La dimensión del coeficiente de rigidez es , por lo tanto, donde C es un coeficiente adimensional. El cálculo exacto conduce a la expresión

Demostrar que el período de oscilaciones de un péndulo simple aumenta con el crecimiento del ángulo máximo de desviación con relación a la posición de equilibrio.

Solución

El período de las pequeñas oscilaciones de un péndulo simple no depende de la amplitud (o sea, del ángulo máximo de desviación) y es igual a , La independencia del período con relación a la magnitud del ángulo máximo de desviación, es consecuencia del hecho de que la fuerza dirigida a la posición de equilibrio en cada instante de tiempo es proporcional al ángulo de desviación del péndulo. Si esta proporcionalidad con relación al ángulo de desviación se conserva incluso para grandes amplitudes, el período de oscilaciones del péndulo imaginario, en cualquier caso sería igual a . Sin embargo, a grandes ángulos de desviación, la fuerza que hace volver el péndulo es proporcional no al ángulo, sino al seno de este ángulo. Como sen , entonces para estas amplitudes la fuerza de recuperación y también la aceleración de un péndulo real, es menor que la de un péndulo que conserva la proporcionalidad entre la fuerza y el ángulo. Por eso el período de las oscilaciones de un péndulo real es mayor que el del péndulo imaginario, es decir . Por consiguiente, con el aumento del ángulo máximo de desviación el período de oscilaciones de un péndulo simple crece.

Partiendo de los conceptos dimensionales, determinar el período de oscilaciones de un péndulo simple.

Solución

Supongamos que , donde es el periodo de oscilaciones de un péndulo simple y l su longitud:

De la ultima relación resulta que de este modo , donde es la función del ángulo máximo (, véase el problema 642) el calculo muestra que cuando tiene un valor limite . Entonces, el periodo de pequeñas oscilaciones del péndulo simple es .

Dos vigas de masas y están unidas por un muelle de rigidez k. El muelle está comprimido con ayuda de dos hilos, como muestra la (fig. 223). Los hilos se queman. Determinar el período de oscilaciones de las vigas.

Solución

Designemos porl la longitud del muelle no deformado. Entonces las distancias desde la primera y la segunda vigas hasta el centro de masas se hallan de las relaciones

Designemos por x y ylos desplazamientos de la primera y la segunda vigas en el caso cuando el muelle está

comprimido. Entonces, las distancias de las vigas hasta el centro de masas satisfacen la relación:

El muelle esta comprimido en un valor:

La fuerza con que el muelle actúa sobre la primera viga es:

, donde

De este modo, el periodo de oscilaciones de la primera viga es (véase el problema 641).

El periodo de oscilaciones de la segunda viga será, evidentemente, el mismo.

Dos pesos con masas y están unidos por un muelle con coeficiente de rigidez k . Inicialmente el muelle está comprimido en una magnitud x de modo, que el primer peso se encuentra apretado contra la pared (fig. 224) y el segundo peso se mantiene por un tope. ¿Cómo se moverán los pesos si eliminamos el tope?

Solución

El muelle, después de soltarlo, actúa sobre ambos pesos. El peso situado junto a la pared inicialmente está inmóvil y el

segundo peso comienza a moverse. Cuando el muelle estará suelto por completo (o sea, se encontrará en estado no

deformado), el segundo peso tendrá una velocidad

Por consiguiente, el sistema tendrá una cantidad de movimiento igual a:

Esta cantidad de movimiento se conservará porque las fuerzas externas no actúan en dirección horizontal. El centro de

masas del sistema se moverá con velocidad

Las cargas oscilarán con relación al centro de las masas con período de oscilaciones

(Véase el problema 644).

¿Cómo variará el período de oscilaciones verticales de un peso, colgado por dos muelles iguales, si sustituimos la unión en serie de los muelles por una unión en paralelo?

Solución

El periodo de oscilaciones del peso en el muelle es donde k es el coeficiente de elasticidad del muelle igual a la relación entre la fuerza que provoca el alargamiento del muelle, y este alargamiento . Durante la unión en serie de dos muelles iguales extendidos por la fuerza f tenemos , puesto que cada uno de los muelles aumenta su longitud en x. Durante la unión en paralelo de dos muelles iguales, la fuerza necesaria para aumentar la longitud de cada uno de los muelles en x, deberá ser el doble mayor que f, por lo tanto

. Durante la unión en serie tenemos , Durante la unión en paralelo de donde . El periodo disminuirá el doble.

Dos péndulos simples de longitud l cada uno están unidos por un muelle imponderable, como muestra la (fig. 225). El coeficiente de elasticidad del muelle es igual a k. En equilibrio, los péndulos están en posición vertical y el muelle no se deforma. Determinar la frecuencia de las pequeñas oscilaciones de dos péndulos unidos en dos casos: cuando los péndulos se desvían a un lado en ángulos iguales (oscilaciones en fase) y para lados opuestos (oscilaciones en antifase).

Solución

Primeramente inclinamos ambos péndulos con relación a la vertical hacia el mismo lado, en el mismo ángulo. Durante

esta inclinación el muelle no se deformará. Verificamos con facilidad que al ser sueltos de esta posición, los péndulos

oscilarán

en fase con una frecuencia . Al iniciarse a los lados opuestos, en el mismo valor del ángulo, las oscilaciones

de los péndulos tendrán lugar en antifase y el muelle se deformará. Para calcular la frecuencia de estas oscilaciones,

encontramos la fuerza que hace volver los péndulos a la posición de equilibrio. Al inclinarse en un ángulo, la fuerza

que actúa sobre el cuerpo ” m” por parte del muelle, es igual a . La suma de las proyecciones de la fuerza de gravedad y de la fuerza de elasticidad en la tangente a la circunferencia denominada fuerza de «recuperación»

será:

(fig. 481). Como para pequeños ángulos , entonces

Para el péndulo simple la fuerza de «recuperación» es . En este caso, la frecuencia de las oscilaciones a pequeños ángulos se determina por la fórmula . En nuestro caso en vez de g tenemos la magnitud por lo tanto:

El periodo de oscilación es

Un peso, colgado en un hilo largo, puede realizar oscilaciones en un plano vertical, inclinándose en un ángulo con relación a la vertical (péndulo simple). Este
mismo peso puede girar por una circunferencia describiendo un cono (péndulo cónico). ¿En qué caso la tensión del hilo, inclinado en el ángulo respecto a la
vertical, será mayor?

Solución

La componente vertical de la fuerza de tensión T es (fig. 482). Para un péndulo cónico , puesto que el peso no tiene aceleración en el plano vertical. En el caso de un péndulo simple, inclinando al máximo con relación con la posición del equilibrio (en un Angulo), la fuerza resultante esta dirigida por la tangente a la trayectoria del peso. Por consiguiente . Para inclinarse en un ángulo , la tención del hilo de un péndulo cónico será mayor.

Un reloj de péndulo funciona con precisión en la superficie de la tierra. ¿En qué caso atrasará este reloj en :24 horas si lo elevamos a una altura de 200m o si lo
metemos en un pozo de profundidad de 200m?

Solución

En la superficie de la tierra, el periodo de oscilaciones del péndulo es . A una altura h sobre la tierra, el periodo de oscilaciones del péndulo es . El número de oscilaciones de un día (24 horas) será . Por lo tanto, a una altura h sobre la tierra, el reloj se atrasara un día en

La relación de los periodos es , como se deduce de la ley de gravitación universal; de ahí.

Si metemos el reloj en un pozo, entonces la relación de las aceleraciones será , ya que.

De este modo . En este caso, el reloj se atrasara en

En los extremos de una barra imponderable de longitud , están sujetadas dos pequeñas esferas de masas . La barra está colgada, por medio de una articulación, del modo que puede girar sin rozamiento, junto a su eje vertical, el cual pasa por el medio de ésta. Dos esferas grandes con Masas están sujetadas en la misma recta que la barra. La distancia entre los centros de las esferas grandes y pequeñas es (fig. 226) calcular el periodo de las oscilaciones pequeñas circunscritas por el péndulo giratorio.

Solución

Cada mitad de la barra con una esfera en el extremo tiene la forma de un péndulo simple de , de longitud que realiza oscilaciones en el campo newtoniano de la esfera grande. El péndulo simple en el campo gravitacional de la Tierra tiene el periodo de pequeñas oscilaciones . Por la ley de atracción universal ; por consiguiente donde es la constante de la gravitación universal , Rla masa de la tierra, la distancia desde el péndulo al centro de la tierra. De este modo, en el campo gravitacional de la esfera grande, el periodo de pequeñas oscilaciones del péndulo simple de de longitud será

¿Cuál es el período de oscilaciones de un péndulo simple que se encuentra en un vagón que se mueve horizontalmente con aceleración ?

Solución

El periodo de oscilaciones de un péndulo simple es donde g es la aceleración de la caída libre en el sistema de las coordenadas correspondientes en nuestro caso donde g es la aceleración de la caída libre respecto a la tierra. De esta manera.

Determinar el período de oscilaciones de un péndulo en un ascensor que se mueve verticalmente con aceleración dirigida hacia arriba.

Solución

Resolver el problema anterior en el caso en que la aceleración está dirigida hacia abajo.

Solución

Sustituir en la respuesta anterior

Un cubo pequeño realiza pequeñas oscilaciones en un plano vertical, moviéndose sin rozamiento por la superficie interna de una taza esférica. Determinar el periodo de oscilaciones del cubo, si el radio interno de la taza es R, y la arista del cubo es mucho menor que R .

Solución

Las oscilaciones del cubo en la taza son absolutamente análogas a las oscilaciones de un péndulo simple, solo en lugar de la tensión del hilo, sobre el cubo actúa la fuerza de reacción de apoyo. Por lo tanto, el periodo de oscilaciones es:

¿Cómo variará el período de oscilaciones de un cubo pequeño en una taza (véase las condiciones del problema 654), si sobre la taza, además de la fuerza de gravedad, actúa también la fuerza F dirigida verticalmente hacia arriba? La masa de la taza M es mucho mayor que la masa m del cubo.

Solución

Si , la aceleración de la taza es . Por consiguiente (véase el problema 654). Si, es decir durante la caída libre de la taza, y no hay oscilaciones. Si , entonces .

¿Cómo variará el período de oscilaciones de un cubo en una taza (véase el problema 654), si la taza está situada en una superficie horizontal lisa por la cual ella puede moverse sin rozamiento?

Solución

Las oscilaciones del cubo provocarán el movimiento periódico de la taza en el plano horizontal. De este modo, el período de oscilaciones del cubo disminuirá, porque en el sistema de las coordenadas relacionado con la taza aparecerá una aceleración variable adicional, dirigida horizontalmente (véase el problema 651).

Un aro de masa m y r radio puede girar, sin deslizamiento, por la superficie interna de un cilindro de radio R(fig. 227). Determinar el período de oscilaciones del aro, considerando el ángulo pequeño.

Solución

Comparemos el movimiento del centro del aro con el movimiento del extremo de un péndulo simple de de largo. Ambos puntos describen un arco de circunferencia de radio . Supongamos que cuando el ángulo es el aro y el péndulo estén en reposo. Basándose en el principio de conservación de la energía, para la velocidad del centro del aro y para la velocidad del extremo del péndulo, en dependencia del ángulo podemos escribir las siguientes expresiones.

(La expresión de la energía cinética del aro que gira sin deslizamiento, véase en el problema 215). De estas expresiones se deduce que Como el centro del aro se mueve en veces más lento que el péndulo, entonces el período del movimiento del centro del aro será veces mayor que el período del movimiento del péndulo simple de de longitud.

De este modo, para el período desconocido tenemos la expresión: Subrayamos que si ,a pesar de que, a primera vista, puede parecer que si deba verificarse la igualdad esto está relacionado con el hecho de que para la energía del movimiento de rotación del aro no se desaparece.

Encontrar el período de oscilaciones del péndulo representado en la fig. 228. La barra, en la cual están instaladas las masas m1 y m2 , debe considerarse imponderable.

Solución

Supongamos que primeramente la barra esté inclinada de la posición de equilibrio en un ángulo En el momento en que la barra forma un ángulo con la vertical, la velocidad angular de la barra, valiéndose del principio de conservación de la energía, será igual a

Ahora analicemos un péndulo simple de longitud l En este caso, para los mismos ángulos y tendremos.

Escojamos l de modo que Para ello hace falta que

La velocidad angular caracteriza el cambio del ángulo con el tiempo. Como entonces los períodos de oscilaciones de dos péndulos serán iguales. Para el péndulo simple tenemos Por lo tanto, el período que hallamos es

Determinar el período de oscilaciones de un péndulo, constituido de un semianillo fino y homogéneo, de radio r , colgado por los hilos imponderables OA y OB como muestra la fig. 229.

Solución

En la fig. 230 está representado un sistema mecánico, constituido de un peso de masa m del muelle A con coeficiente de elasticidad k y de la polea de masa M El peso, mediante un hilo que se apoya sobre la polea, está unido al muelle. Hallar el período de oscilaciones del peso, si la polea tiene la forma de un cilindro de paredes delgadas.

Solución

En la posición de equilibrio el muelle se extenderá en un valor l que se determina de la relación Supongamos que en el momento inicial del tiempo, el peso esté en reposo, y la longitud del muelle, en comparación con la posición de equilibrio, cambie en Si, ahora, dejamos libre el sistema, el peso oscilará en torno a la posición de equilibrio con una amplitud En el caso de una polea imponderable el periodo de oscilaciones es Designemos por x el desplazamiento del peso medido a partir de la posición de equilibrio.

La velocidad del peso en dependencia de x puede determinarse del principio de conservación de energía

Tomando en consideración que hallamos que

Si el principio de conservación de la energía se escribe de la forma siguiente

De ahí se deduce que Detal modo, en el segundo caso el peso se mueve como si su masa, en comparación con el primer caso, hubiera aumentado en M Por lo tanto, el período incógnito es

¿Con qué frecuencia oscilará una vara de masa y área de sección transversal que flota en una superficie del agua en posición vertical? (Tomar en consideración que el período de oscilaciones del peso en el muelle se da por la expresión: donde k es el coeficiente de elasticidad del muelle).

Solución

Durante el movimiento de la varilla respecto a la posición de equilibrio en un valor x la fuerza que actúa sobre la varilla es igual a donde es la densidad del agua. El signo «menos» significa que la fuerza está dirigida en contra del desplazamiento x De acuerdo con la segunda ley de Newton, las oscilaciones de la varilla se determinan por la ecuación Está ecuación es exactamente análoga a la ecuación para la oscilación del peso en un muelle: Puesto que para el peso entonces la frecuencia de oscilaciones de la varilla es

En vasos cilíndricos comunicantes fue echado mercurio. Determinar el período de oscilaciones del mercurio, si el área de sección transversal de cada vaso es la masa del mercurio es La densidad del mercurio es

Solución

La ecuación de movimiento del mercurio tiene la forma

donde x es el desplazamiento del nivel de mercurio con relación a la posición de equilibrio. La ecuación de movimiento tiene la misma forma que en el caso de las oscilaciones de un peso de un muelle. Por eso

Supongamos la existencia de una mina que penetra en la tierra por uno de sus diámetros. ¿Después de cuanto tiempo un cuerpo, lanzado en esta mina, alcanzará el centro de la tierra?. No hay resistencia al movimiento.

Solución

La fuerza que actúa sobre el cuerpo es donde es la distancia del centro de la tierra. Teniendo en cuenta que podemos escribir esta expresión en la siguiente forma:

Aquí R es el radio de la Tierra. La ecuación de movimiento del cuerpo tiene la forma

La fuerza es proporcional al movimiento de la posición de equilibrio y está dirigida al centro de la Tierra. Por consiguiente, el cuerpo realizará oscilaciones armónicas con frecuencia

De ahí el período de oscilaciones es

El cuerpo llegará al centro de la Tierra durante el tiempo

Es interesante el hecho de que el tiempotno depende absolutamente de la distancia del centro de la Tierra, donde el cuerpo comienza su movimiento. (Es importante sólo que esta distancia sea mucho mayor que las dimensiones del cuerpo).

Una cuerda, fijada en los extremos, esta extendida con la fuerza f En el medio de la cuerda está sujetado un peso pequeño de masa m(fig. 231). Determinar el periodo de las oscilaciones pequeñas del peso sujetado. (Despreciar la masa de la cuerda y no tener en cuenta la fuerza de gravedad).

Solución

La fuerza F que actúa sobre el peso inclinado de la posición de equilibrio es (fig.483). Como el ángulo es pequeño, podemos considerar que ó donde Aprovechando la fórmula obtenemos para el valor incógnito la siguiente expresión:

Dos pesos iguales, de masa m, están unidos por muelles como muestra la fig. 232 y situados en una superficie absolutamente lisa y horizontal. Los muelles están extendidos por una fuerza F Los pesos se desplazan en dirección perpendicular a la longitud de los muelles, en una misma distancia pequeña e igual a x a una parte de la posición de equilibrio (fig. 233, a). Determinar el período de oscilaciones de los pesos.

Solución

Analicemos las oscilaciones cofásicas de dos pesos. Para una pequeña inclinación x la fuerza F no cambiará, por que la variación de la longitud del muelle es de segundo orden decimal y por eso puede menospreciarse. Tomando en consideración solamente las primeras potencias de x la ecuación de movimiento de cada peso puede escribirse del siguiente modo:

de donde determinamos fácilmente el periodo de oscilaciones

Los pesos de masa m están unidos por medio de muelles como muestra la fig. 232 y situados en una mesa absolutamente horizontal y lisa. Los muelles se estiran por una fuerza F. Los pesos se desplazan a una misma distancia pequeña x en dirección perpendicular a la longitud de los muelles, para los lados opuestos de la posición de equilibrio y luego se sueltan (fig.233, b). Determinar el período de oscilaciones de los pesos.

Solución

Si los pesos realizan oscilaciones en antifase, la ecuación de movimiento de cada peso, con precisión hasta las primeras potencias de tiene la forma

De donde

Para mantener en equilibrio una puerta abierta en una estación del Metropolitano (La puerta se abre para ambos lados y vuelve a la posición de equilibrio por medio de muelles), es necesario aplicar al tirador de puerta una fuerza de 50 N. ¿Sería posible abrir la puerta con una fuerza de 1 N, aplicada al mismo tirador? El rozamiento en las bisagras puede ser despreciado.

Solución

Se puede sacudir poco a poco la puerta con una frecuencia igual a la frecuencia propia de oscilaciones de la puerta. Al producirse la resonancia, la amplitud de oscilaciones puede alcanzar grandes valores.

A una polea imponderable de radio r está unida rígidamente una barra que carece de peso y es de longitud l. En el extremo de la barra se encuentra un cuerpo de masa m (fig.234). En la polea se arrolla un hilo, al extremo libre del cual fue colocada una carga de masa M. ¿En qué condiciones el movimiento del sistema tendrá un carácter oscilatorio, si el movimiento inicial el ángulo entre la barra y la vertical es igual a cero?

Solución

Basándose en el principio de conservación de energía, tenemos

donde es la velocidad angular de rotación de la polea; de ahí resulta que

La condición necesaria para que surja el régimen oscilatorio es que la velocidad angular, a un determinado valor del ángulo sea nula. En este caso o introduciendo la designación obtenemos que A cada valor le corresponde un determinado valor máximo de desviación de la posición de equilibrio, que se determina por la ecuación trascendental dada.

La solución de esta ecuación es más fácil hallar mediante el gráfico. Para esto es necesario construir la curva (fig. 484). Entonces, la intersección de esta curva con la recta da el punto A que determina el valor de para un dado . (El valor de que corresponde a la intersección de esta recta con otra ramificación de la curva es imposible para las condiciones iniciales dadas del problema.)

Es evidente que nuestra ecuación tiene una solución diferente de cero solamente para menor que un cierto valor límite que se determina a condición de que la resta tenga contacto con la curva en el punto C Como vemos en la fig. 484, Por consiguiente, Las oscilaciones son posibles si

Determinar la relación de las frecuencias de las oscilaciones para tres moléculas: de hidrógeno, deuterio y tritio.

Observación. La posición de equilibrio de dos protones en la molécula posee una determinada distancia entre ellos. Si estos dos protones se aproximan o se alejan de la posición de equilibrio surge una fuerza que los hace volver a la posición de equilibrio. Esta fuerza es proporcional al valor de la desviación.

Solución

El núcleo del hidrógeno consta de un protón, cuya masa es m El núcleo del deuterio –el deuterón- consta de un protón y de un neutrón. La masa del deuterón es2m El núcleo del tritio consta de un protón y de dos neutrones; La masa del tritio es 3m Como las fuerzas que actúan en todos tres casos entre los núcleos son iguales, es igual también el coeficiente de rigidez k y resulta

Encontrar las frecuencias de las oscilaciones longitudinales de una cadena lineal infinita de átomos iguales. En la posición de equilibrio la distancia entre los átomos es igual a a. La masa de cada átomo es m El coeficiente de rigidez de acoplamiento entre los átomos es k

Solución

Designemos el desplazamiento del i-ésimo átomo escogido arbitrariamente de la posición de equilibrio por

donde es una magnitud arbitraria. Entonces, la fuerza que actúa sobre el enésimo átomo por parte de los átomos vecinos, es

De la última expresión por medio de transformaciones trigonométricas simples, obtenemos

Escribamos la ecuación de movimiento del enésimo átomo.

donde es la aceleración del enésimo átomo igual a

Designemos De las expresiones escritas arriba recibimos

Si analizamos una cadena de N átomos, entonces los átomos extremos tendrán un vecino. Para no complicar los cálculos, en nuestro caso no tomamos en consideración los efectos extremos y aprovechamos la condición de periodicidad para una cadena infinita, o sea, vamos a considerar que las condiciones de oscilaciones de los átomos que tienen números etc., son iguales. Entonces

De donde para obtenemos N valores diferentes:

donde