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Electromagnetismo

Capítulo III.2.   Intensidad y desplazamiento del campo eléctrico

§ 111.2.1. Campo eléctrico. Intensidad del campo

     1°. Se llama campo de fuerzas una de las formas de la materia que estudia la física a la par que la substancia. La peculiaridad más importante de los campos de fuerzas es la de que con su ayuda se efectúan las interacciones de diversos tipos. Así, el campo de gravitación (1.6.2.1°) efectúa la interacción gravitatoria de las masas que se encuentran en él. Todos los campos poseen propiedades muy importantes que caracterizan su materialidad, en primer lugar energía. Entre el campo y la substancia no existen límites infranqueables, se pueden transformar el uno en la otra y viceversa (VIII.2.5.5°).

El campo físico no puede determinarse como el espacio en que actúan ciertas fuerzas. El espacio, lo mismo que el tiempo, es una forma de existencia de la materia. Del hecho de que los campos existan en despacio no se deduce, ni mucho menos, que el campo pueda identificarse con el espacio, ya que una forma de existencia de la materia no puede confundirse con la materia misma.

     2°. La interacción coulombiana (III.1.2.2°) entre las partículas o cuerpos eléctricamente cargados y en reposo, se efectúa por medio del campo electrostático que ellos crean. El campo electrostático es el campo invariable con el tiempo, o sea, el campo eléctrico estacionario creado por las cargas eléctricas en reposo. Este campo es una de las formas de campo electromagnético, el cual efectúa la interacción entre las partículas (o cuerpos) eléctricamente cargados que se mueven, en el caso general, de un modo arbitrario con respecto al sistema de referencia elegido.

La propiedad característica de un campo eléctrico arbitrario, que lo distingue de otros campos físicos, es la de actuar tanto sobre las cargas eléctricas (partículas y cuerpos con carga) en movimiento, como sobre las que están en reposo.

     3°. Para caracterizar cuantitativamente la fuerza con que actúa el campo eléctrico sobre las partículas y cuerpos cargados, sirve el vector intensidad del campo eléctrico E. La intensidad del campo eléctrico en un punto dado del mismo es igual a la razón de la fuerza F, que actúa por parte del campo sobre una carga eléctrica puntual (111.1.2.3°) de ensayo situada en el punto considerado del campo, a la magnitud q0  de esta carga:

                                                                                                                                        

      

Se admite que la «carga de ensayo» q0 es tan pequena, que su presencia no provoca la redistribución en el espacio de las cargas que crean el campo sujeto a investigación. En otras palabras, la carga de ensayo no distorsiona el campo que se estudia con su ayuda.

Un campo eléctrico se dice que es homogéneo (campo eléctrico homogéneo o uniforme) si en cualquier punto del mismo el vector intensidad E tiene magnitud y dirección constantes.

      4°. La intensidad del campo electrostático de una carga puntual q en un punto situado a la distancia r de ella, será 

(en el SI)

(en el sistema de Gauss)

Donde r es el radio vector que une la carga q con el punto en que se calcula la intensidad del campo. Los vectores E tienen dirección radial en todos los puntos del campo partiendo de la carga q si q > O, y convergiendo hacia ella si q <: 0. La proyección Er.  de la intensidad del campo sobre la dirección del radio vector r, es:

(en el SI)

(en el sistema de Gauss)

Con una fórmula semejante se calcula la intensidad del campo de una esfera electrizada (por su superficie) con una carga q a la distancia r del centro de dicha esfera cuyo radio es R. Dentro de esta última,

     5°. La fuerza F que actúa por parte del campo eléctrico sobre una carga arbitraria q situada en un punto dado del campo, constituye 

 

donde E es la intensidad del campo (en el punto en que se encuentra la carga q) distorsionado por esta carga, es decir, diferente del campo que existía antes de introducir en él la carga q.

     6°. Para representar gráficamente los campos electrostáticos se utiliza el método de líneas de fuerza (líneas de intensidad del campo).

Se llaman líneas de fuerza las curvas cuyas tangentes en cada punto coinciden con la dirección del vector intensidad del campo.

Las líneas de fuerza se considera que tienen la misma dirección que el vector intensidad. Las líneas de intensidad del campo no se cortan, ya que en cada punto de éste, el vector E sólo tiene una dirección.

Las líneas de fuerza no son idénticas a las trayectorias que siguen en el campo electrostático las partículas ligeras cargadas.

En cada punto de la trayectoria de una partícula es tangente a ella la dirección de la velocidad. La fuerza que actúa sobre una partícula cargada y, por consiguiente, su aceleración, están dirigidas con arreglo a la tangente de la línea de tuerza.

§ 111.2.2. Principio de la superposición de los campos eléctricos

     1°. El problema fundamental de la electrostática se formula del modo siguiente: dada la distribución en el espacio la magnitud de las fuentes del campo— cargas eléctricas—hallar la magnitud y la dirección del vector intensidad E en cada punto del campo.

     2°. Si el campo es creado por un sistema de cargas en reposo q1, q2, q3,. . ., qn, la fuerza resultante F que actúa sobre la carga de ensayo q0 (111.2.1.2°) en cualquier punto del campo considerado, será igual a la suma vectorial de las fuerzas F, que ejercen sobre la carga q0 cada una de las cargas qi:

De acuerdo con (111.2.1.3°) F = q0 E y Fi = q0 Ei, donde E es la intensidad del campo resultante, y  Ei, la intensidad del campo creado por la carga qi. De las fórmulas precedentes se deduce el principio de la independencia de la acción de los campos eléctricos o principio de la superposición de dichos campos:

La intensidad del campo eléctrico de un sistema de cargas es igual a la suma vectorial de las intensidades de los campos que crean cada una de las cargas por separado. La intensidad del campo resultante se halla superponiendo las intensidades délos campos de cada carga.

Para las cargas distribuidas continuamente en el espacio (P. 3°), el principio de superposición tiene la forma

Donde la integración se extiende a todas las fuentes de los campos, distribuidas de modo continuo y que crean los campos eléctricos de intensidad dE.

Ejemplo. Un sistema de cargas puntuales en reposo q1, q2,. . ., qn,  crea un campo electrostático cuya intensidad E es

Siendo ri, el radio vector trazado desde la carga puntual qi al punto que se analiza del campo. Cualquier cuerpo cargado, cuya carga Q (p. 3°) esté distribuida en él discretamente, se puede dividir en partes muy pequenas que tengan, cada una de ellas, carga puntual. Por esto la fórmula anterior tendrá valor general para el cálculo de los campos electrostáticos en un medio homogéneo isótropo que llene todo el campo.

     3°. Las fuentes de los campos electrostáticos — cargas eléctricas — pueden estar distribuidas en el espacio discretamente (distribución discreta, de las cargas}, es decir en puntos determinados del espacio, o continuamente (distribución continua de las cargas). En este último caso las cargas permanecerán distribuidas .a lo largo de cierta línea sobre la superficie de cualquier cuerpo o en un volumen determinado. Para la distribución continua de las cargas eléctricas se introduce el concepto de densidad de las cargas. Si las cargas eléctricas están distribuidas continuamente a lo largo de una línea, se introduce la densidad lineal τ de las cargas:

      

En la que dq es la carga de una parte infinitesimal de una línea de longitud dl.

Si las cargas eléctricas están distribuidas continuamente en una superficie, se introduce la densidad superficial o de las cargas:

Siendo dq la carga situada en una porción infinitesimal de una superficie de área dS.

Cuando las cargas eléctricas están distribuidas continuamente en un volumen cualquiera, se introduce la densidad espacial p de las cargas:

 

Donde dq es la carga de un elemento infinitesimal de volumen dV.

Ejemplo. Campo electrostático de un dipolo eléctrico. Se da el nombre de dipolo eléctrico a un sistema de dos cargas eléctricas de igual magnitud y de signos opuestos, +q y -q  (q > 0), separadas por una distancia I pequena en comparación con la distancia hasta los puntos del campo que se consideran. Se llama brazo del dipolo el vector 1 dirigido (conforme al eje del dipolo) de la carga negativa a la positiva, e igual numéricamente a la distancia í entre ellas (fig. III.2.1). El producto de la carga q del dipolo (q > 0) por el brazo 1 se denomina momento eléctrico pe del dipolo:

  

La intensidad E del campo del dipolo en un punto arbitrario constituye

    

Donde E+. y E_ son las intensidades de los campos de las cargas +q y -q (fig. III.2.1).

En un punto A, situado sobre el eje del dipolo a la distancia r de su centro (fig. III.2.1)        (r>> l), la intensidad del campo del dipolo es

(en el SI)

(en el sistema de Gauss)

En un punto B, situado en la perpendicular levantada al eje del dipolo en su punto medio a la distancia r del centro

(r >>l),

(en el SI)

(en el sistema de Gauss)

Cuadro de texto:  En un punto arbitrario O, suficientemente alejado del dipolo (r>> 1) (fig. III.2.2), el módulo de intensidad de su campo constituye

 

§ III.2.3. Desplazamiento eléctrico. Teorema de Ostrogradski—Gauss

     1°. La intensidad del campo eléctrico (111.2.1.2°) depende de las propiedades del medio. En un medio isótropo homogéneo la intensidad E es inversamente proporcional a ε  (111.1.2.5°). Para caracterizar el campo eléctrico, además de la intensidad E, se introduce el vector de desplazamiento o inducción eléctrica D.

Para un campo en un medio eléctricamente isótropo, la relación entre D y E tiene la forma

(en el SI)

(en el sistema de Gauss)

La definición general de D, correcta para los medios no isótropos, puede verse en III.5.3.4°.

Ejemplo. Para el campo de una carga eléctrica puntual q (III.1.2.3°),

(en el SI)

(en el sistema de Gauss)

La proyección de D sobre le dirección del radio vector r trazado desde la carga puntual al punto de un campo dado, constituye

(en el SI)

(en el sistema de Gauss)

     2o. Se llama flujo de desplazamiento elemental e  a través de una porción de superficie de área dS, la magnitud física escalar definida por la igualdad

en la que D es el vector de desplazamiento (p. 1°); n, el versor normal a la superficie        dS; dS = dS n, el vector de la superficie

dS; Dn == D cos α, la proyección del vector D sobre la dirección del vector n; y dS, = dS cos α, el área de la proyección de la superficie elemental dS sobre un plano perpendicular al vector D (fig. III.2.3).

Si el campo eléctrico fue creado por una carga puntual q, el flujo de desplazamiento e a través del área elemental dS de la superficie cerrada S que rodea dicha carga, constituye

 

Donde ?caes el ángulo sólido bajo el cual se ve el área dS de la superficie S desde la carga puntual q (fig. III.2.3).

El flujo de desplazamiento total a través de la superficie S se halla sumando o integrando todos los flujos elementales:           

En este caso todos los versores n normales a las áreas dS se dirigen a un mismo lado de la superficie 5. Por ejemplo, si la superficie S está cerrada (fig. 111.2.3), todos los versores n de las normales deberán ser o externos o internos *).

     3°. Teorema de Ostrogradski — Gauss: el flujo de desplazamiento a través de una superficie cerrada arbitraria es igual o proporcional a la suma algebraica de las cargas eléctricas q1, q2, q3,. . ., R, abarcadas por esta superficie:

El flujo de desplazamiento a través de cualquier superficie cerrada que no abarque cargas es nulo.

La forma diferencial del teorema de Ostrogradski — Gauss es una de las ecuaciones de Maxwell para el campo electromagnético (111.14.4.2°).

     4°. Teorema de Ostrogradski — Gauss para un campo electrostático en el vacío: el flujo del vector intensidad del campo electrostático en el vacío, a través de cualquier superficie cerrada es proporcional a la suma algebraica de las cargas eléctricas

*) En adelante sólo se utilizarán las normales externas.

Abarcadas por esta superficie:

El teorema de Ostrogradski — Gauss para el campo de un dieléctrico se puede ver en 111.5.3.3°.

     5°. Junto con el principio de superposición de los campos (111.2.2.1°), el teorema de Ostrogradski — Gauss se utiliza para calcular los vectores D de los campos eléctricos. Para esto hay que elegir de tal modo la superficie cerrada, que en la expresión del flujo de desplazamiento pueda sacarse D fuera del signo de la integral de superficie. Para los campos creados por cargas muy simples, simétricamente situadas (línea, plano, esfera, etc. cargados), esto se puede hacer.

 

 

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