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Electromagnetismo

apítulo III.3. Potencial del campo electrostático

§III.3.1.  Trabajo realizado al trasladar  una carga eléctrica en un campo electrostático.

     1o. El trabajo que se realiza al trasladar una carga eléctrica   en un campo electrostático de intensidad E (III.2.1.2o), no depende de la forma descrita por esa carga al trasladarse, sino únicamente  de las posiciones inicial y final de la misma. Dicho de otra forma, las fuerzas electroestáticas. Lo mismo que las de gravitación, son fuerzas potenciales (1.3.1.6o). El trabajo  realizado por la fuerza  que actúa sobre la carga  , al trasladarla en un segmento dl, constituye

 

donde () es el ángulo entre las direcciones de los vectores   y  .

En una translación finita de la carga desde un punto a a un punto b, el trabajo será

donde  es el producto escalar de los vectores  y .

Fig. III.3.1.

     2o. Si el campo fue creado por unas carga puntual q, entonces

y el trabajo realizado al trasladar la carga  desde el punto  al punto  en este campo, será

Siendo  y  las distancias desde la carga  a los puntos  y  (fig. III.3.1).

Si las cargas  y  tienen el mismo signo, el trabajo  de las fuerzas eléctricas de repulsión es positivo cuando las cargas se alejan una de otra, y negativo, cuando se alejan entre si.

     3o. Al trasladarse una carga eléctrica  en el campo creado por un sistema de cargas puntuales y   , sobre la carga  actúa una fuerza

     

  Y el trabajo  de la fuerza resultante es igual a la suma algebraica de los trabajos que realizan las fuerzas componentes

donde  y  son las distancias desde la carga  hasta las posiciones inicial y final de las carga  . Cada uno de los trabajos  y el trabajo total de  dependen de las posiciones inicial y final de la carga  y no de la forma de su trayectoria.

     4o. Recibe el nombre de circulación de la intensidad, siguiendo el contorno cerrado , la integral curvilínea;

Esta integral equivale numéricamente al trabajo que realizan las fuerzas electroestáticas cuando por un camino cerrado se traslada una carga eléctrica unitaria positiva. Como para un camino cerrado    de acuerdo don el p.3o tenemos que

,

es decir, el trabajo a que nos referimos es nulo.

El campo de fuerzas cuya intensidad  satisface esta condición se llama campo de potencial. El campo electrostático es un campo de potencial.

La forma diferencial de la condición de potencialidad del campo electrostático es una  de las ecuaciones de Maxwell para el campo electrostático (III-14.2.1).

III.3.2. Potencial de un campo electrostático

     1o. El trabajo   (III.3.1.1o) es igual a la perdida de energía potencial (1.3.3.1o) de la carga  se traslada en el campo electrostático:

         

y

,

donde  y  son los valores de la energía potencial de la carga  en los puntos del campo  y  (fig. III.3.1).

     2o. Si una carga puntual  es trasladada por la acción de las fuerzas electroestáticas en el campo de una carga puntual , la variación  de su energía potencial para una traslación infinitesimal es

.

Para una traslación finita de carga  desde un punto  a un punto  (fig. III.3.1), la variación   de la energía potencial de la carga será

 (En el  SI)

 (en el sistema CGSE)

     3o. Si la carga  se traslada en el campo creado por un sistema de cargas puntuales () la variación de su energía potencial  será

 (en el  SI)

 (en el sistema CGSE)

siendo   y  las distancias entre las cargas  y  antes y después de trasladarse esta ultima.

     4o. Para hallar el valor absoluto de la energía potencial que tiene una carga eléctrica en un punto dado de un campo electrostático, hay que elegir un punto de referencia de la energía potencial (I.1.3.1o). La integración de la ecuación del p.2o en el caso general da

en la que  es una constante arbitraria . si se considera que  cuando   tiende  al , entonces,  y la energía potencial de  la carga   que se encuentra en el campo de la carga  a la distancia  de ella, constituirá

Cuando las cargas  tiene el mismo signo, la energía potencial de su interacción (repulsión) es positivo y cree (decrece) al aproximarse (alejarse) entre si las cargas.  En caso de atracción mutua de las cargas de signos distintos.    y aumenta hasta cero cuando una de las cargas se aleja hasta el infinito.  En la fig. III.3.2  se muestra la variación de la energía potencial de dos cargas puntuales en función de la distancia entre ellas.

5o La energía potencial de una carga   que se encuentra en el campo de un sistema de cargas puntuales  , es igual a la suma de sus energías potenciales  en los campos que crean cada unas de las cargas por separado:

Donde es la distancia entre las cargas

     6o Se denomina potencial de un campo electrostático la característica energética de este campo, que representa la relación entre la energía potencial  de la carga  y la magnitud de dicha carga:

Esta relación no depende de la magnitud de la carga  y es numéricamente igual a la energía potencial de la carga de ensayo unitaria (III.2.1.2o) situada en el punto considerado del campo.

     Ejemplos:

     1) Potencial del campo electrostática creado por una carga puntual  en un dieléctrico isótropo homogéneo,

     2) Potencial del campo creado por un conductor cargado (III.3.4.4o) en un dieléctrico isótropo homogéneo,

               (En el SI),

      (En el sistema CGSE), 

Donde  es la densidad superficial de las cargas en el conductor (III.2.2.3o),

    3) Potencial de una esfera conductora aislada, de radio  y carga  ,

     7o El trabajo  que realizan las fuerzas eléctricas al trasladar una carga  desde un punto  un punto  de un campo electrostática, constituye

Donde  y  son las energías potenciales de la carga;    , los potenciales del campo en los puntos   y  respectivamente; y     es la diferencia de potencial. Si el punto  se halla en el infinito,  .  Entonces el trabajo de traslación de la carga  desde el punto  al infinito será.    

En virtud del carácter arbitrario del punto , el subíndice  se puede suprimir y  

El potencial en un punto dado del campo electrostático es numéricamente igual al trabajo que efectúan las fuerzas electrostáticas al trasladar una carga unitaria positiva desde ese punto del campo hacia el infinito.  Este trabajo también es igual numéricamente al que realizan las fuerzas externas (contra las fuerzas del campo electrostático), trasladando una carga unitaria positiva desde el infinito a un punto dado del campo.

     8o Al estudiar los campos electrostáticos, en todos los problemas importa conocer la diferencia de potencial entre puntos determinados del campo y no los valores absolutos de los potenciales de estos puntos.  Por esto la elección del punto de potencial nulo viene determinada únicamente por la conveniencia de facilitar la resolución de un problema dado.  Con frecuencia resulta conveniente considerar nulo el potencial de la Tierra.

§III.3.3  Relación entre el potencial y la intensidad de un campo                   electrostático.

     1o  El trabajo elemental  realizado en una traslación infinitesimal de una carga q´ en un campo electrostático, basándose en las formulas de (III.3.2.1o) y (III.3.2.6o), constituyéndose en las formulas de (III.3.2.6o), constituye

O bien         

Pero  donde   es el elemento de longitud  de la línea de fuerza (III.1.1.40 ) (fig.III.3.3) , por lo que   . La derivada   representa la rapidez con que varia el potencial a lo largo de la línea de fuerza, numéricamente igual a la variación del potencial correspondiente a la unidad de longitud de esta línea de fuerza.

      2o La proyección  del vector sobre  la dirección de la traslación  por esto  

Es evidente que      por lo que   y alcanzan los valores máximo si   esta dirigida  tangencialmente hacia  la línea de fuerza.

En las proximidades de un punto dado en el campo electrostático, el potencial varia mas rápidamente en dirección de la línea de fuerza. El vector esta dirigido hacia la disminución mas rápida del potencial.

     30  una forma mas general de la relación entre la intensidad y el potencial de un campo electrostático es

En la que grad  es el vector gradiente de potencial dirigido hacia la parte en que el potencial aumenta más  de prisa e  igual numéricamente a la rapidez de su variación por unidad de longitud en esta dirección. Si el potencial   se considera como función de las tres coordenadas cartesianas del punto dado, entonces

Donde  son vectores unitarios dirigidos según los ejes . Entre las proyecciones   del  vector  intensidad  del  campo electrostático  sobre los ejes de coordenadas, y el potencial del campo existen las relaciones  siguientes:

     4o. Si la carga eléctrica se traslada en dirección perpendicular a la línea de fuerza, es decir, perpendicular al vector , entonces  y  (p.1o) ó sea . En todos los puntos de una curva ortogonal a las líneas de fuerza el potencial es el mismo.

El lugar geométrico de los puntos de igual potencial se llama superficie equipotencial. De lo antedicho se deduce que las superficies equipotenciales deben ser en todas partes ortogonales a las líneas de fuerza.

El trabajo realizado al trasladar una carga eléctrica por una misma superficie equipotencial es nulo.

En torno a cualquier sistema de cargas eléctricas se puede trazar un conjunto infinito de superficies equipotenciales cualesquiera sean iguales.

     5o. Existen dos procedimientos para representar gráficamente lo campos electrostáticos: valiéndose de las líneas de fuerza y por medio de las superficies equipotenciales. Conociendo la disposición de las líneas de fuerza del campo electrostático se pueden construir las superficies equipotenciales y, viceversa, sabiendo como están situadas las superficies equipotenciales, en cada punto del campo se puede hallar la magnitud y la dirección de la intensidad de este ultimo, es decir, se pueden construir las líneas de fuerza.

§III.3.4 conductores en un campo electrostático

     1o. En los conductores metálicos sólidos existen portadores de corriente – electrones de conexión (electrones libres) – que, por la acción de un campo eléctrico externo, puede trasladarse por el volumen del conductor. Los electrones de conexión surgen cuando la sustancia del conductor metálico pasa de un estado menos condensado a otro más condensado – del estado gaseoso al líquido o sólido. En este caso se produce la (¨ socialización ¨) de los electrones de valencia (VI.2.3.9o), los cuales se separan de (´ sus ´) átomos y forman un gas electrónico peculiar.

     2o. Las propiedades eléctricas de los conductores en las condiciones de la electroestática vienen determinadas por el comportamiento de los electrones de conducción y de los iones positivos del metal (VII.1.1.3o) (¨ restos atómicos ¨) se compensan mutuamente. Si un conductor metálico se encuentra en un campo electrostático externo, por la acción de este campo los electrones de conducción de distribuyen en el conductor de tal modo que, en cualquier punto del conductor, el campo eléctrico de los electrones de conducción y de los iones positivos esta  compensado por el campo electrostático externo.

En cualquier punto dentro de un conductor que se halle en un campo electrostático, le intensidad del campo eléctrico resultante es nula.   

     3o. En la superficie del conductor, el vector intensidad  debe estar dirigido según la norma a la superficie. En el caso contrario la componente  del vector  haría que las cargas se trasladasen por la superficie del conductor, lo que contradice la distribución estática de dichas cargas, de este resultado deriva una serie de consecuencias:

     a)Dentro del conductor, en todos los puntos, ; en su superficie, en todos los puntos,   , donde  es la componente normal del vector intensidad;

     b)Todo el volumen del conductor que se encuentra en el ampo electrostático es equipotencial, tal que en cualquier punto de él

 Y

     c)La superficie del conductor es equipotencial (III.3.3.4o) puesto que para cualquier línea sobre ella

 Y

     d)En el conductor cargado, las cargas no compensadas se encuentran únicamente en la superficie. Esto se deduce de el teorema de Ostrogradski – Gauss (III.2.3.3o), según el cual, la carga total  que hay dentro del conductor en un volumen limitado por una superficie cerrada cualquiera  , constituye

 

Ya que  en todos los puntos de la superficie.

    4o. Si el campo electrostático lo crea un conductor cargado, el desplazamiento y la intensidad de este campo cerca de la superficie se calcula por las fórmulas

      (En el SI),

En las que  es la normal externa a la superficie del conductor , la densidad superficial de las cargas en el conductor (III.2.2.3o) , la permitividad relativa del medio (III.1.2.4o); y  , la constante dieléctrica en el SI (III.1.2.7o).  

 

 

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