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Electromagnetismo

CAPITULO III.6  Energía del campo eléctrico

§ III.6.1.  Energía de un conductor cargado y del campo eléctrico**)

1o.  Para comunicar una carga eléctrica a un conductor hay que realizar trabajo en vencer las fuerzas repulsivas de Coulomb entre las cargas de igual signo. Este trabajo se gasta en aumentar la energía eléctrica del conductor cargado, que es análoga a la energía potencial en una mecánica (1.3.3.1o). El trabajo δ A1 que realizan las fuerzas externas al trasladar la carga dq desde el infinito al conductor aislado constituye.

Donde C y φ son la capacidad eléctrica y el potencial del conductor.

 


El trabajo realizado al aumentar el potencial del conductor desde 0 hasta φ, es decir, al comunicarle a este último la carga q = C φ, es decir, al comunicarle a este último la carga   q = C φ, constituye

**) En este capítulo se supone en todas partes que las cargas eléctricas se hallan en un medio no ferro eléctrico (III.5.4.1o).

Respectivamente, la energía de un conductor cargado solitario será:

 


La energía de un condensador cargado constituye

 


Donde C y q son la capacidad eléctrica y la carga del condensador. Y ∆ φ, la diferencia de potencial entre sus armaduras.

2o La energía de cualquier sistema de cargas en reposo se puede representar de la forma

                                                        

donde 0 y P son las densidades superficial y volumétrica de las cargas libres (III.5.3.1o); , el potencial del campo resultante de todas las cargas libres y ligadas en los puntos de los elementos infinitesimales dS o dV de la superficie o del volumen cargados. La integración se extiende a todas las superficies Scarg y volúmenes  Vcarg cargados. La influencia del medio dialéctico se manifiesta en que, siendo invariable la distribución en el espacio de las cargas libres, el valor de φ en un mismo punto del campo no es igual en dialéctricos distintos. Así, en un dieléctico isótropo homogéneo que llene todo el campo, φ es 8 veces menor que en el vacío.

            3o. El campo eléctrico posee una energía que está distribuida por todo el volumen del espacio donde existe este campo. Respectivamente, la energía de un conductor cargado o de un condensador, es la energía de sus campos electrostáticos. Por ejemplo, para el campo homogéneo de un condensador plano (III.4.2.5o),

 


                                                                                                          (en el SI),

 


                                                                                              (en el sistema CGSE.),

Donde V = Sd es el volumen del campo del condensador. La energía del campo homogéneo está distribuida uniformemente por su volumen. La densidad volumétrica de esta energía es

      (en el SI),

        (en el sistema CGSE.),

4o.  La densidad volumétrica de la energía de un campo heterogéneo es

 


en la que dWe es la energía del volumen infinitesimal dV del campo (véase el p.5o). Para un campo electrostático en un medio isótropo, we viene expresada por las fórmulas del p.  3o. Si el medio es eléctricamente anisótropo, entonces

                                                                                  ( en el SI ),

                                                                                  (en el sistema CGSE).

5o. La energía dWe del volumen infinitesimal dV del campo electrostático en un medio isótropo dentro de cuyos limites we = idem, constituye

 


                                                                                  ( en el SI ),

 


                                                                       (en el sistema CGSE).

y la energía We de todo el campo electrostático.

 


                                        ( en el SI ),

 


                                                                              (en el sistema CGSE).

Donde la integral se extiende a todo el volumen del campo Vcampo. Φ

6o. La energía del campo electrostático de un cuerpo cargado arbitrario es igual a la energía de dicho cuerpo (p. 1o).

Respectivamente, la energía de un sistema arbitrario de cargas (p. 2o) coincide con la energía del campo electrostático de este sistema:                               

                                

7o. Ejemplo. Energía del campo electrostático de una esfera conductora de radio R, cargada uniformemente y rodeada por un dieléctrico isótropo homogéneo de permitividad relativa g.

La capacidad eléctrica de una esfera conductora es igual (en el SI) a C = 4nee0 R, y la energía de una esfera en la que existe la carga 0 (en el SI) constituye.

 


El campo está localizado en el espacio fuera de la esfera (r > R). La intensidad del campo y la densidad volumétrica de su energía (en el SI) constituyen.

 


                                                    y                                       

Siendo r la distancia al centro de la esfera. La densidad volumétrica de la energía del campo es igual dentro de los limites de una capa esférica delgada limitada por las esferas concéntricas de radios r y r + dr. El volumen de esta capa dV = 4nr2dr. La energía de todo el campo de la esfera cargada  (en el SI) es       

                                              

8o. El proceso de polarización de un dieléctrico introducido en un campo eléctrico externo va acompanado del trabajo de deformación de las capas electrónicas de los átomos y moléculas y de la rotación de los ejes de las moléculas polares en dirección del campo. Por eso, el dieléctrico polarizado posee una reserva de energía cuya densidad volumétrica para un dieléctrico isótropo es

      (en el SI),

      (en el sistema CGSE)

La densidad volumétrica de la energía del campo con la misma intensidad E en el vacio sera

       (en el SI),

      (en el sistema CGSE)

La densidad volumétrica de la energía del campo en el dieléctrico es igual a la suma de  y

        (en el SI),

      (en el sistema CGSE)

9o para un campo eléctrico alternativo no potencial, el concepto de potencial  y las expresiones para la energía basadas en él, que se dan en los pp. , carecen de sentido. No obstante, todo el campo eléctrico, de un modo semejante al campo electrostática potencial, posee energía, la cual puede calcularse siempre por la fórmula universal

En la que

   (en la SI) y

    (en el sistema CGSE)

§ III.6.2. Ley de conservación de la energía para un campo eléctrico en un medio no ferroeléctrico.

           . La energía We del campo eléctrico creado por un sistema cualquiera de cuerpos cargados (conductores y dieléctricos) varía si los cuerpos del sistema se trasladan o si cambian sus cargas. En este caso realizan trabajo las fuerzas externas aplicadas a los cuerpos del sistema y las fuentes de energía eléctrica (baterías de acumuladores, generadores de corriente, etc.) conectadas a los conductores del sistema.

La ley de conservación de la energía para una variación pequena del estado del sistema, a condición de que la temperatura de éste y la densidad del medio permanezcan constantes, tiene la forma

Aquí δA' es el trabajo de las fuerzas externas; δAf.e.e, el trabajo de las fuentes de energía eléctrica; dWe, la variación de la energía del campo eléctrico del sistema; dWc, la variación de la energía cinética del sistema; y δQJ-L, el calor de Joule — Lenz (III.8.2.6°) debido al paso de las corrientes eléctricas por los conductores del sistema al variar o al redistribuirse sus cargas.

         . Si la traslación de los cuerpos del sistema se efectúa cuasiestáticamente, es decir, muy despacio, en primer lugar se puede despreciar la variación de la energía cinética de los cuerpos del sistema (dWc = 0), y en segundo lugar podemos considerar que el trabajo de las fuerzas externas δA' es numéricamente igual y de signo contrario al trabajo δA que realizan en este proceso las fuerzas que actúan sobre los cuerpos del sistema en el campo eléctrico, llamadas fuerzas ponderomotrices. En estos casos la ley de conservación de la energía tiene la forma siguiente:

El trabajo de las fuentes de energía eléctrica durante un intervalo infinitesimal de tiempo dt de variación del estado del sistema  constituye

donde k es el número total de fuentes de energía eléctrica que hay en el sistema que se considera; εi, la fem de la i-ésima fuente (III.8.2.2°); dqi, la carga que pasa por esta fuente durante el tiempo dt; y Ii = dqi/dt, la intensidad de la corriente en la fuente. El trabajo εiIidt es positivo si la corriente I! circula dentro do la fuente del cátodo al ánodo (III.8.2.4°).

        . La expresión de la ley de conservación de la energía para la variación cuasiestática del estado de un sistema (p. 2°) en el que la carga de cada conductor no varía ni se redistribuye, de modo que δA f.e.e = 0 y δQJ-L = 0, tiene la forma

dWe + δA = 0.

Por consiguiente, en el proceso considerado, el trabajo de las fuerzas ponderomotrices es igual a la disminución de la energía del campo eléctrico del sistema. Esta relación puede utilizarse para hallar las fuerzas ponderomotrices basándose en el cálculo de la variación de la energía del sistema. Es el caso en que el cálculo directo de las fuerzas ponderomotrices tropieza con bastantes dificultades debidas a la aparición, en el campo eléctrico, de cargas de polarización (III.5.2.6°), y también a las deformaciones mecánicas de los cuerpos del sistema.

       . Ejemplo. Cálculo de las fuerzas que actúan sobre las placas de un condensador piano cargado (la distancia entre las placas x <<√c, siendo S el área de la lámina).

El condensador está cargado y desconectado de la fuente de tensión do manera que la carga del condensador q = σS =  const.; δ es la densidad superficial de la carga. Si la distancia entre las placas aumenta en dx, la fuerza ponderomotriz F, aplicada a la placa que se desplaza, realiza el trabajo δA = - Fdx. La variación de la energía del campo electrostático en el condensador, dWe = WeSdx; donde We es la densidad volumétrica de la energía del campo en la capa de espesor dx adyacente a la lámina. De este modo, de la ley de conservación de la energía (p. 3°) se deduce que la fuerza ponderomotriz

F = we S.

Son posibles dos casos:

a) el condensador tiene dieléctrico gaseoso o líquido entre las armaduras;

      b) el condensador esta completado por una placa de dieléctrico solidó.

En el primer caso todo el espacio entre las placas del condensador, independientemente de la magnitud de la distancia entre ellas, esta lleno de un mismo dieléctrico cuya permitividad relativa es E. Por lo tanto,

 y        (en el SI),

 y       (en el sistema CGSE),

Donde             es la fuerza que actúa sobre la placa del mismo condensador en ausencia del dieléctrico, es decir, en el vació.

En el segundo caso, en la capa de espesor dx que se forma como resultado de separar la placa del condensador hay un aire cuya permitividad relativa es igual a 1. Por esto, la densidad volumétrica de la energía del campo electrostático en esta capa será

                                     (en el SI),

                                   (en el sistema CGSE).

Respectivamente, la fuerza F que actúa sobre la placa resulta ser la misma que en ausencia del dieléctrico solidó:

                                  (en el SI),

                                 (en el sistema CGSE).

 

 

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