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Mecánica

Capítulo I.2.         Leyes de Newton

§ 1.2.1. Primera ley de Newton. Sistemas inerciales de referencia

     1°. Como primera ley de la dinámica tomó Newton la ley, establecida ya por Galileo, según la cual un punto material conserva su estado de reposo o de movimiento rectilíneo y uniforme mientras la acción de otros cuerpos no le obligue a salir de dicho estado.

La primera ley de Newton indica que el estado de reposo o de movimiento rectilíneo y uniforme no requiere para su conservación ninguna acción externa. En esto se pone de manifiesto una propiedad dinámica particular de los cuerpos que se llama inercia. Por esto a la primera ley de Newton se le da también el nombre de ley o principio de la inercia, y al movimiento de un cuerpo en ausencia de acciones por parte de otros cuerpos, el de movimiento por inercia.

     2°. El movimiento mecánico es relativo: para un mismo cuerpo su carácter puede ser diferente en distintos sistemas de referencia (1.1.2.1°) que se muevan el uno con respecto al otro. Por ejemplo, un cosmonauta que se halle a bordo de un satélite artificial de la Tierra estará en reposo en el sistema de referencia solidario del satélite. Al mismo tiempo, con respecto a la Tierra se moverá junto con dicho satélite siguiendo una órbita elíptica, es decir, su movimiento no será uniforme ni rectilíneo. Es natural por esto que la primera ley de Newton deba cumplirse no en cualquier sistema de referencia. Por ejemplo,
una esfera que se encuentre en el suelo liso del camarote de un barco que marche con movimiento uniforme y rectilíneo, puede comenzar a moverse por el suelo sin que sobre ella actúe ningún cuerpo externo. Para esto es suficiente que la velocidad del barco empiece a variar. El sistema de referencia con respecto al cual un punto material, libre de acciones externas, está en reposo o se mueve uniforme y rectilíneamente, se llama sistema de referencia inercial. El contenido de la primera ley de Newton se reduce en esencia a dos afirmaciones: primera, que todos los cuerpos tienen la propiedad de la inercia y, segunda, que existen sistemas de referencia inerciales.

     3°. Dos sistemas de referencia inerciales cualesquiera sólo pueden moverse el uno con respecto al otro con movimiento de traslación uniforme y rectilíneo. Se ha establecido experimentalmente que en la práctica es inercial el sistema heliocéntrico de referencia cuyo origen de coordenadas se halla en el centro de inercia (1.2.3.3°) del Sistema Solar (aproximadamente en el centro del Sol) y cuyos ejes están trazados en las direcciones de tres estrellas lejanas elegidas, por ejemplo, de tal manera, que
los ejes de coordenadas sean perpendiculares entre sí. El sistema de referencia del laboratorio, cuyos ejes de coordenadas están asociados rígidamente a la Tierra no es inercial, a causa principalmente de la rotación diaria de la Tierra. No obstante, la Tierra gira tan despacio, que la aceleración normal máxima (1.1.4.6 ) de los puntos de su superficie en la rotación diaria no excede de 0,034 m/s2. Por esto, en la mayoría de los problemas prácticos, el sistema de referencia del laboratorio se puede considerar inercial aproximadamente.

     4°. Los sistemas inerciales de referencia desempenan un papel particular no sólo en la mecánica, sino también en todas las demás partes de la física. Esto se debe a que, según el principio de la relatividad de Einstein (1.5.1.2°), la expresión matemática de cualquier ley física debe tener la misma forma en todos los sistemas inerciales de referencia. Por esto, en adelante utilizaremos, sin advertirlo cada vez, únicamente sistemas inerciales de referencia. Las leyes del movimiento de un punto material con respecto a un sistema de referencia no inercial se estudianen el capítulo 1.7.

§ 1.2.2. Fuerza

     1°. Se llama fuerza la magnitud vectorial que sirve de medida de la acción mecánica que sobre el cuerpo considerado ejercen otros cuerpos. La interacción mecánica puede efectuarse
tanto entre cuerpos en contacto directo (por ejemplo, en el rozamiento o cuando los cuerpos presionan entre si), como entre cuerpos separados unos de otros. La forma particular de la mate-
ria que liga las partículas de substancia en sistemas únicos y que transmite con velocidad finita la acción de unas partículas sobre otras, se llama campo físico o simplemente campo. La
interacción entre cuerpos separados se realiza por medio de los campos gravitatorios y electromagnéticos creados por ellos (por ejemplo, la atracción de los planetas hacia e 1 Sol, la interacción de los cuerpos cargados eléctricamente, de los conductores con corriente, etc.). La acción mecánica que sobre un cuerpo dado ejercen otros cuerpos se manifiesta de dos formas. Primera, es capaz de provocar la variación del estado de movimiento mecánico del cuerpo considerado y, segunda, su deformación. Estas dos manifestaciones de la acción de la fuerza pueden servir de base para medir las fuerzas. Por ejemplo, la medición de las fuerzas por medio del dinamómetro de resorte se basa en la ley de Hooke (VII.1.3.40) para la tracción longitudinal.

     Aplicando el concepto de fuerza, en la mecánica suele hablarse de movimiento y de deformación del cuerpo por la acción6 las fuerzas aplicadas a él. Como es natural, se sobrentiende que a   cada fuerza le corresponde siempre algún cuerpo que actúa sobre el considerado con dicha fuerza.

     Una fuerza F está totalmente definida si se dan su módulo, su dirección en el espacio y su punto de aplicación. La recta, a lo largo de la cual está dirigida la fuerza, se llama directriz o línea de acción de la fuerza. El campo que actúa sobre un punto material con la fuerza F, se llama campo estacionario si no varía con el tiempo í, es decir, si en cualquier punto del carneo la fuerza F no depende explícitamente del tiempo: . Para que un campo sea estacionario es preciso que los cuerpos que lo crean estén en reposo con respecto al sistema de referencia inercial que se utiliza para estudiar el campo.

     2°. La acción simultánea de varias fuerzas F1, F2, . . ., Fn (fig. 1.2.1,a) sobre un punto material M es equivalente a la acción de una sola fuerza, llamada resultante, igual a la suma geométrica de aquéllas

La resultante cierra el polígono de fuerzas F1, F2, . . ., Fn (fig. 1.2.1. b).

     Si el cuerpo es rígido, la acción de la fuerza sobre él no varía si el punto de aplicación de ésta se traslada a lo largo de su línea de acción dentro de los límites del cuerpo. En otras
palabras, las fuerzas aplicadas a un cuerpo rígido se pueden considerar como vectores deslizantes.

     3°. Un cuerpo se llama libre si sobre su posición y movimiento en el espacio no se imponen ningunas limitaciones. Por ejemplo, un avión en vuelo es un cuerpo libre, lo mismo que
un submarino navegando sumergido. En la mayoría de los casos nos encontramos con cuerpos no libres: sobre sus posibles posiciones y movimientos se imponen unas u otras limitaciones que en mecánica reciben el nombre de ligaduras. Por ejemplo, una bolita colgada de un hilo inextensible no puede alejarse del punto de suspensión a una distancia mayor que la longitud
del hilo; un tranvía sólo puede moverse a lo largo de los raíles. Las ligaduras se efectúan en virtud de la acción que sobre el cuerpo considerado ejercen otros cuerpos que están sujetos
o en contacto con él (por ejemplo, el hilo atado a la bolita, los raíles del tranvía, etc.).

Al estudiar el comportamiento de los cuerpos o sistemas de cuerpos no libres se utiliza en la mecánica el principio de liberación: un cuerpo (o sistema de cuerpos) que no sea libre se puede
considerar como libre si la acción que sobre él ejercen los cuerpos que efectúan las ligaduras se sustituyen por las fuerzas respectivas. Estas fuerzas se llaman reacciones de ligadura,
y todas las demás fuerzas que actúan sobre el cuerpo se denominan fuerzas activas. Así, el movimiento de la bolita colgada del hilo puede considerarse como el de una bola libre sobre la cual, además de todas las fuerzas activas aplicadas a ella (por ejemplo, la gravedad), actúa la reacción del hilo. A diferencia de las fuerzas activas, que en cada problema concreto deben darse, las reacciones de ligadura se desconocen de antemano. Tienen que ser determinadas durante la solución del problema. Sus valores deben ser tales, que, bajo la acción común de las fuerzas activas y las reacciones de ligadura, el cuerpo «liberado» realice un movimiento que esté plenamente de acuerdo con las restricciones impuestas por las ligaduras al cuerpo no libre considerado. Entre las reacciones de ligadura y las fuerzas activas no existen otras diferencias.

     4°. Los cuerpos que no entran en la composición del sistema  mecánico que se considera se llaman cuerpos externos. Las fuerzas que sobre el sistema ejercen los cuerpos externos se denominan fuerzas externas. Respectivamente, se da el nombre de fuerzas internas a las de interacción entre las partes del sistema en cuestión.

     Un sistema mecánico se llama cerrado o aislado si no interacciona con cuerpos externos. Ninguno de los cuerpos de un sistema cerrado sufre la acción de las fuerzas externas.

§ I.2.3. Masa. Impulso

     1°. En la mecánica clásica (newtoniana) se llama masa de un punto material la magnitud escalar positiva que sirve de medida a la inercia de dicho punto. Bajo la acción de una fuerza la velocidad del punto material no varía inmediatamente, sino poco a poco, es decir, el punto adquiere una aceleración, finita por su magnitud, tanto menor cuanto mayor es la masa del punto material. Para comparar las masas ml y m2 de dos puntos materiales basta medir los módulos a1 y a2 de las aceleraciones adquiridas por estos puntos bajo la acción de una misma fuerza: m2/ m1 = a1/a2. Por lo general la masa de un cuerpo se determina pesándolo en una balanza de brazos.

En  la mecánica clásica  (newtoniana)  se considera que:

a)      la masa de un punto material no depende de su estado de movimiento y es una característica invariable del punto;

b)     la masa es una magnitud aditiva, o sea, la masa de un sistema (por ejemplo, de un cuerpo) es igual a la suma de las masas de todos los puntos materiales que entran en la composición de este sistema; la masa de un sistema cerrado (1.2.2.4°) permanece invariable cualesquiera que sean los procesos que tengan lugar en este sistema (ley de conservación de la masa).

Estos postulados de la mecánica newtoniana fueron revisados y precisados por la mecánica relativista (1.5.6.1°, 1.5.6.2°, 1.5.7.3° y 1.5.7.6°).

     2°. Se da el nombre de densidad p de un cuerpo en un punto dado M del mismo, a la razón de la masa dm del elemento pequeno de cuerpo que incluye al punto M, a la magnitud dV del volumen de este elemento:

     Las dimensiones del elemento considerado deben ser tan pequenas, que la variación de la densidad dentro de sus límites se pueda despreciar. Por otra parte, deben ser mucho mayores que las distancias intermoleculares.

     Se dice que un cuerpo es homogéneo si en todos sus puntos la densidad es la misma. La masa de un cuerpo homogéneo es igual al producto de su densidad por su volumen:

      La masa de un cuerpo no homogéneo

 .

donde  es función de las coordenadas, y la integral se extiende a todo el volumen del cuerpo. La densidad mediade un cuerpo no homogéneo es la razón de su masa a su volumen:

     3°. Se llama centro de inercia o centro de masa de un sistema de puntos materiales un punto C cuyo radio vector re es igual a

donde m! y r! son, respectivamente, la masa y el radio vector del í-ésimo punto material; n, el número total de puntos materiales que hay en el sistema, y

es la masa de todo el sistema.

      La velocidad del centro de inercia

'

     4°. La magnitud vectorial pi, igual al producto de la masa mi de un punto material por su velocidad vi, se llama impulso o cantidad de movimiento de dicho punto material. Se da el nombre de impulso de un sistema de puntos materiales a un vector p igual a la suma geométrica de los impulsos de todos los puntos

materiales que componen el sistema:

      El impulso de un sistema es igual al producto de la masa de todo el sistema por la velocidad de su centro de inercia

 

§ I.2.4. Segunda ley de Newton

     1°. La ley fundamental de la dinámica del punto material es la segunda ley de Newton, que trata de cómo varía el movimiento mecánico de un punto material bajo la acción de las fuerzas a él aplicadas. La segunda ley de Newton dice: la velocidad con que varía el impulso p de un punto material es igual a la fuerza F que actúa sobre él, o sea,

donde m y v son, respectivamente, la masa y la velocidad del punto material.

     Si sobre un punto material actúan simultáneamente varias fuerzas, en la segunda ley de Newton debe entenderse por fuerza F la suma geométrica de todas las fuerzas actuantes, tanto
activas como reacciones de liguadura (1.2.2.3°), es decir, la fuerza resultante (1.2.2.2°).

     2°. La magnitud vectorial Fdt recibe el nombre de impulso elemental de la fuerza F en un pequeno intervalo de tiempo dt de su actuación. El impulso de la fuerza F en un intervalo finito de tiempo desde t = t1 hasta t = t2  es igual a la integral definida donde F, en el caso general, depende del tiempo.

     De acuerdo con la segunda ley de Newton, la variación del impulso de un punto material es igual al impulso de la fuerza que actúa sobre él:

donde p2 = p (t2) y p1 = p (t1) son, respectivamente, los impulsos del punto material al final (t = t2) y al principio (t = t1) del intervalo de tiempo considerado.

     3°. Como en la mecánica newtoniana la masa m del punto material no depende del estado de movimiento de éste, dm/dt = 0. Por lo que la expresión matemática de la segunda ley de Newton puede representarse también en la forma

dondees la aceleración del punto material; r, su radio vector. El enunciado correspondiente de la segunda ley de Newton dice: la aceleración de un punto material coincide en dirección con la fuerza que actúa sobre él y es igual a la razón de esta fuerza a la masa del punto material.

     Las aceleraciones tangencial y normal de un punto material (1.1.4.4°—1.1.4.6°) se determinan por las respectivas componentes de la fuerza F:


y

siendo v el módulo del vector velocidad del punto material, y R el radio de curvatura de su trayectoria. La fuerza Fn que imprime al punto material la aceleración normal está dirigida hacia el centro de curvatura de la trayectoria del punto (1.1.2.4°), por lo que se llama fuerza centrípeta.

     4°. Si sobre un punto material actúan simultáneamente varias fuerzas F1 , F2, . . ., Fn, su aceleración

donde al = Fl/m. Por consiguiente, cada una de las fuerzas que actúan simultáneamente sobre el punto material le comunica la misma aceleración que si las demás fuerzas no existieran
(principio de la independencia de la acción de las fuerzas).

     Se llama ecuación diferencial del movimiento de un punto material la  ecuación

 

     En proyecciones sobre los ejes de un sistema de coordenadas cartesianas  rectangulares,  esta ecuación tiene la forma

donde x, y, z son las coordenadas del punto en movimiento.

§ 1.2.5. Tercera ley de Newton. Movimiento del centro de inercia

     1°. La influencia mecánica de unos cuerpos sobre otros tiene carácter de  interacción.  Sobre esto la tercera ley de Newton dos puntos materiales actúan entre sí con fuerzas numéricamente iguales y dirigidas en sentidos opuestos a lo largo de la recta que los une.

Si Fik es la fuerza que el punto material k-ésimo ejerce sobre el i-ésimo, y Fki, la fuerza que el punto material i-ésimo ejerce sobre el .k-ésimo, según la tercera ley de Newton,

     Las fuerzas Fik y Fki están aplicadas a distintos puntos materiales y sólo pueden equilibrarse en aquellos casos en que estos puntos pertenezcan a un mismo cuerpo rígido.

     2°. La tercera ley de Newton es un complemento importante de las leyes primera y segunda. Permite pasar de la dinámica de los puntos materiales aislados a la dinámica de un sistema mecánico arbitrario (sistema de puntos materiales). De la tercera ley de Newton se deduce que en cualquier sistema mecánico la suma geométrica de todas las fuerzas internas (1.2.2.4°) es
igual a cero:

siendo n el número de puntos materiales que entran en la composición del sistema, y Fii = 0.

     El vector Fext, igual a la suma geométrica de todas las fuerzas externas (1.2.2.4°) que actúan sobre el sistema, recibe el nombre de vector resultante de las fuerzas externas:

donde Fiext es la resultante de las fuerzas externas aplicadas al i-ésimo punto material.

     3°. De las leyes segunda y tercera de Newton se deduce que la primera derivada, respecto del tiempo t, del impulso p de un sistema mecánico (1.2.3.4°) es igual al vector resultante de todas las fuerzas externas aplicadas al sistema,

 .

     Esta ecuación expresa la ley de la variación del impulso del sistema.

Como, siendo m la masa del sistema y vC la velocidad de su centro de inercia, la ley del movimiento del centro de inercia de un sistema mecánico tiene la forma

 

donde aC = dvC/dt es la aceleración del centro de inercia. De este modo, el centro de inercia de un sistema mecánico se mueve como un punto material cuya masa es igual a la de todo el sistema y sobre el cual actúa una fuerza igual al vector resultante de las fuerzas externas aplicadas a dicho sistema.

     Si el sistema considerado es un sólido animado de movimiento de traslación (1.1.5.1°), las velocidades vi de todos los puntos del sólido y de su centro de inercia vC son iguales entre sí y a la velocidad v del sólido. La aceleración propia o intrínseca del cuerpo a = ac, y la ecuación fundamental de la dinámica del movimiento de traslación del sólido tiene la forma

§ 1.2.6. Movimiento de un cuerpo de masa variable

     1°. En la mecánica newtoniana la masa del cuerpo puede variar únicamente como resultado de que se separen o se adhieran a él partículas de substancia. Un ejemplo de cuerpo de este tipo es un cohete. durante el vuelo de este su masa va disminuyendo poco a poco, ya que los productos gaseosos de la combustión del propulsante en el motor del cohete son expulsados por la tobera.

     La ecuación del movimiento de traslación de un cuerpo de masa variable (ecuación de Mescherski) es:

donde m y v son, respectivamente, la masa y la velocidad del cuerpo en el instante que se considera; Fext, el vector resultante de las fuerzas externas (1.2.5.2°) que actúan sobre el cuerpo; vi la velocidad de las partículas que se separan, después de la separación,   o    de    las    que    se    adhieren, después  de  unirse

     2°. El segundo término del segundo miembro de la ecuación de Mescherski es la fuerza adicional que actúa sobre el cuerpo de masa variable. Esta fuerza se llama fuerza reactiva:

donde u = vi — v es la velocidad relativa de las partículas que se separan o que se adhieren, o sea, sus velocidades con respecto al sistema de referencia que se traslada junto con el cuerpo.

     La fuerza reactiva caracteriza la acción mecánica que ejercen sobre el cuerpo las partículas que se separan o adhieren a él (por ejemplo, la acción sobre el cohete del chorro de gases que sale de él).

     3°. Ecuación del movimiento de un cohete en ausencia de fuerzas externas:

     Si la velocidad inicial del cohete era igual a cero, éste se moverá rectilíneamente en dirección inversa a la velocidad relativa u del chorro de gases a la salida de la tobera del motor. En este caso

y cuando u = const la relación entre la velocidad del cohete y su masa se expresa por la fórmula de Tsiolkovski

siendo m0 la masa inicial (de despegue) del cohete.

     4°. La velocidad máxima que puede desarrollar un cohete en ausencia de fuerzas externas recibe el nombre de velocidad característica. Esta velocidad la alcanza en el instante en que
termina de funcionar el motor por agotamiento total de las reservas de combustible y oxidante que llevaba a bordo el cohete,

donde mD es la masa inicial de combustible y oxidante (propulsante).

     La influencia de la atracción de la Tierra y de la resistencia del aire ocasionan una considerable disminución de la velocidad máxima que realmente adquiere el cohete durante el proceso de funcionamiento del motor, en comparación con su velocidad característica.

     5°. La velocidad característica de un cohete compuesto (de varias etapas) es

siendo n el número total de etapas del cohete, mpi la masa de combustible y oxidante destinada al funcionamiento del motor  de la i-ésima etapa, ui la velocidad relativa de salida de los gases por la tobera del motor de la i-ésima etapa, moi la masa de despegue de la parte del cohete compuesto formada por todas las etapas del mismo desde la i-ésima hasta la n-ésima. El aumento de la velocidad característica del cohete compuesto, en comparación con el de una etapa de igual masa de despegue y las mismas reservas de combustible y oxidante, se debe a la disminución adicional de la masa del cohete por la  sucesiva separación de él de las etapas* primera, segunda y siguientes una vez consumido todo el combustible existente en cada una.

§ 1.2.7. Ley de conservación del impulso

     1°. Ley de conservación del impulso: el impulso p de un sistema cerrado no varía con el tiempo, es decir,

     A diferencia de las leyes de Newton, la ley de conservación del impulso es válida no sólo dentro del marco de la mecánica clásica. Esta ley es una de las más fundamentales de la física, ya que está relacionada con una propiedad determinada de la simetría del espacio, su homogeneidad. La homogeneidad del espacio manifiesta en que las propiedades físicas de un sistema cerrado y las leyes de su movimiento no dependen de la elección que se haga de la posición del origen de coordenadas del sistema inercial de referencia, es decir, no varían cuando el sistema cerrado en conjunto se traslada paralelamente en el espacio. De acuerdo con las ideas modernas, pueden tener impulso no sólo las partículas y los cuerpos, sino también los campos. Por ejemplo, la luz ejerce presión sobre la superficie del cuerpo que la refleja lo absorbe precisamente porque el campo electromagnético de la onda luminosa tiene impulso.

     2°. Con arreglo a los sistemas que describe la mecánica clásica (newtoniana), la ley de conservación del impulso se puede considerar como una consecuencia de las leyes de Newton. Para un sistema mecánico cerrado el vector resultante de las fuerzas externas Fext = 0, y de (1.2.5.3°) se sigue la ley de conservación del impulso

siendo mi y vi la masa y la velocidad del í-ésimo punto material del sistema compuesto por n puntos.

     Respectivamente tampoco varían las proyecciones del impulso del sistema cerrado sobre los ejes de coordenadas cartesianas del sistema inercial de referencia:

     El impulso de un sistema pv = mvC, donde m es la masa de todo el sistema y vC, la velocidad de su centro de inercia (1.2.3.4°). Por esto, de la ley de conservación del impulso se deduce que cualesquiera que sean los procesos que tengan lugar en un sistema cerrado, la velocidad de su centro de inercia no varía: vC = const.

     3°. Si el sistema no es cerrado, pero la acción que sobre él ejercen las fuerzas externas es tal, que su vector resultante es idénticamente igual a cero (Fext = 0), de acuerdo con las leyes de Newton (1.2.5.3°) el impulso del sistema no varía con el tiempo: p = const.

     Por lo general Fext es diferente de cero y  p = const. Pero si la proyección del vector resultante de las fuerzas externas sobre cualquier eje fijo es idénticamente igual a cero, la proyección sobre este mismo eje del vector impulso del sistema no varía con el tiempo. Así, pues, px = const a condición de que Fext = 0. Por ejemplo, si sobre el sistema no actúa más fuerza externa que la gravedad, la componente horizontal del impulso del sistema, perpendicular a la dirección de esta fuerza, no varía.

     . En algunos procesos (por ejemplo, de choque o disparo) los impulsos de las partes del sistema sufren grandes variaciones durante intervalos de tiempo relativamente cortos. Esto se debe a que en el sistema surgen fuerzas internas de interacción entre las partes del mismo, de poca duración pero de magnitud muy considerable, en comparación con las cuales todas las fuerzas externas que actúan permanentemente sobre el sistema (por ejemplo, la gravedad) resultan pequenas. En los procesos de este tipo se puede despreciar, por lo general, la acción que ejercen sobre el sistema las fuerzas externas, o sea, se puede considerar aproximadamente que el impulso de todo el sistema en conjunto no varía durante el proceso examinado.

§ 1.2.8. Transformaciones de Galileo. Principio mecánico de la relatividad

     1°. Se llaman transformaciones de Galileo las transformaciones de coordenadas y del tiempo que se utilizan en la mecánica newtoniana al pasar de un sistema inercial de referencia
K (x, y, z, t) a otro K' (x', y', z', t') animado con respecto a K de Movimiento de traslación y velocidad constante V. Las transformaciones de Galileo se basan en los axiomas sobre el carácter absoluto de los intervalos de tiempo y de las longitudes. El primer axioma afirma que la marcha del tiempo (y, respectivamente, el intervalo de tiempo entre dos sucesos cualesquiera) es igual en todos los sistemas inerciales de referencia. De acuerdo
con el segundo axioma las dimensiones de los cuerpos no dependen de la velocidad con que se mueven respecto al sistema de referencia.

     Si los ejes homólogos de las coordenadas cartesianas de los sistemas de referencia inerciales K y K' están trazados paralelamente entre sí de dos en dos y si en el   instante  inicial (t = t' = 0), los orígenes de coordenadas O y O' coinciden (fig. 1.2.2.), las transformaciones de Galileo tienen  la forma


o bien

donde x, y, z y x', y', z' son las coordenadas del punto M en los sistemas de referencia K (en el instante t) y K' (en el instante t' = t); r y r' son los radios vectores del punto M en los mismos sistemas de referencia, y Vx, Vy, Vz son las proyecciones de la velocidad V del sistema K' sobre los ejes de coordenadas del sistema K.

     De ordinario los ejes de coordenadas se trazan de manera que el sistema K' se mueva a lo largo del sentido positivo del eje OX (fig. 1.2.3). En este caso las transformaciones de Galileo tienen una forma más simple:

     2°. De las transformaciones de Galileo se deduce la siguiente ley de transformación de la velocidad de un punto arbitrario M (fig. 1.2.2) al pasar de un sistema inercial de referencia K
(velocidad del punto v = dr/dt) a otro K' (velocidad del mismo punto v' = dr'/dt):

     Respectivamente se transforman también las proyecciones de la velocidad sobre los ejes de coordenadas:

     En particular, cuando el sistema K' se mueve a lo largo del sentido positivo del eje OX (fig. 1.2.3)

     Las aceleraciones del punto M en los sistemas de referencia K (a = dv/dt) y K' (a' = dv'/dt) son iguales: a = a'.

     Así, pues, la aceleración de un punto material es independiente del sistema inercial de referencia que se elija, es decir, es invariante respecto de las transformaciones de Galileo.

     3°. Las fuerzas de interacción de los puntos materiales dependen únicamente de sus posiciones mutuas y de la velocidad del movimiento relativo entre ellos. La posición mutua de dos
puntos cualesquiera 2 y 1 se caracteriza por un vector igual a la diferencia de los radios vectores de estos puntos, o sea, en el sistema K el vector r21 = r2 — r1 y en el sistema K', el vector r’21 = r’2 — r’1. De las transformaciones de Galileo se sigue que r’21 = r21. Por esto las distancias entre los puntos 1 y 2 en los sistemas K y K' son iguales:

     La velocidad del movimiento del punto 2 con relación al punto 1 es igual a la diferencia entre las velocidades de estos puntos: v2 — v1 (en el sistema K) y v’2 — v’1 (en el sistema K'). De las transformaciones de Galileo se deduce que v’2 — v’1 v2 — v1.

Por lo tanto, la posición mutua y la velocidad del movimiento relativo de dos puntos materiales cualesquiera no depende del sistema inercial de referencia que se elija, es decir, son invariantes respecto de las transformaciones de Galileo. Respectivamente, son también invariantes respecto de dichas transformaciones las fuerzas que actúan sobre el punto material: F' = F.

     4°. Las ecuaciones que expresan las leyes de Newton (1.2.4.3°) y (1.2.5.1°) son invariantes respecto de las transformaciones de Galieo, o sea, no cambian de forma al transformar las coordenadas y el tiempo de un sistema inercial de referencia (K) a otro (K'):


 .

siendo m' = m la masa del punto material considerado, igual en todos los sistemas de referencia.

De esta forma, en la mecánica clásica es válido el principio mecánico de la relatividad (o principio de la relatividad de Galileo): las leyes de la mecánica son iguales en todos los sistemas inerciales de referencia. Esto quiere decir, que en distintos sistemas inerciales de referencia todos los procesos mecánicos, si las condiciones son las mismas, se desarrollan igualmente. Por lo tanto, por medio de experimentos mecánicos cualesquiera, efectuados en un sistema cerrado de cuerpos, es imposible establecer si dicho sistema está en reposo o si se mueve uniforme y rectilíneamente (con relación a cualquier sistema inercial de referencia).

El principio mecánico de la relatividad pone de manifiesto que en la mecánica todos los sistemas inerciales de referencia son totalmente equivalentes. Entre ellos es imposible destacar uno especial, o sistema inercial de referencia «principal», con respecto al cual el movimiento de los cuerpos pudiera considerarse como su «movimiento absoluto».

5°. La generalización del principio de la relatividad a todos los fenómenos físicos fue realizada por Albert Einstein en la teoría especial de la relatividad (1.5.1.2°). Al hacerlo, se puso de manifiesto que las coordenadas y el tiempo en distintos sistemas inerciales de referencia se relacionan mediante las transformaciones de Lorentz (1.5.3.2°), y no de Galileo. Pero cuando las velocidades del movimientos relativo de los sistemas de referencia son pequenas (en comparación con la velocidad de la luz en el vacío), las transformaciones de Lorentz se convierten en transformaciones de Galileo.

 

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