Ejercicios – Electromagnetismo – Campo magnético de la corriente

Por un tubo rectilíneo infinito y de paredes delgadas pasa una corriente I. determinar la inducción del campo magnético en un punto arbitrario dentro del tubo.

Solución

La corriente que pasa por el tubo puede analizarse como la suma de una infinidad de corrientes rectilíneas iguales que están distribuidas uniformemente por la superficie del tubo. La intensidad del campo magnético en cualquier punto del espacio puede representarse como la suma de las intensidades de los campos creados por estas corrientes.

En la figura 463 se muestra la sección trasversal del tubo a lo largo del cual pasa la corriente. Comparemos las intensidades de los campos magnéticosH1 yH2 , creadas en el punto A por las corrientes lineales L1 yL2 que pasan a través de pequeños arcos S1 yS2 . Las longitudes de los arcos son iguales a y donde R1y R2 son las distancias hasta el punto A. sin embargo, como vemos en el diseño, , por consiguiente, la corriente esta distribuida uniformemente por el tubo, por eso , de donde .

La intensidades de los campos magnéticos creada en el punto A por las L1 y L2 son proporcionales a estas corrientes e inversamente proporcionales a las distancias correspondientes.

Tenemos entonces,

Si H1 y H2 están dirigidos en sentidos opuestos. Como para cada parte de la sección trasversal del tubo puede escogerse otra parte correspondiente que compense completamente el campo magnético resultante de la corriente que pasa por el tubo, en cualquier punto del tubo, tendrá una intensidad nula

Teniendo en cuenta que la inducción del campo magnético dentro de un conductor cilíndrico largo es , donde j es la densidad de corriente, r, la distancia del eje del conductor, k, el coeficiente que depende del sistema de unidades elegido, determinar la inducción del campo magnético en un punto arbitrario dentro de la cavidad cilíndrica larga, cortada paralelamente al eje conductor. Por el conductor pasa una corriente de densidad j. La distancia entre los ejes del conductor y de la cavidad es d.

Solución

El conductor con una cavidad es equivalente a un conductor compacto por el cual pasa una corriente de densidad j y en volumen que corresponde a la cavidad, además, pasa una corriente de la misma densidad en dirección inversa. La corriente resultante en el volumen indicado será nula, y esto corresponde a la presencia de una cavidad en el conductor compacto. El campo creado por la corriente de densidad j, en un punto cualquier A de la cavidad, es igual a j R (fig. 464).

Aquí R es la distancia del conductor al punto A. (Se supone que la corriente pasa en nuestra dirección).

En este mismo punto la corriente que pasa por el volumen que corresponde a la cavidad en sentido contrario crea un campo jr. Como vemos en la figura 464, la inducción total es .

Esta claro que , de donde tenemos que la inducción

Es igual para todos los puntos de la cavidad

Representar gráficamente la distribución de las líneas de inducción del campo magnético en la cavidad del conductor, descrito en el problema 562.

Solución

El (fig. 464), puesto que estos triángulos tienen un ángulo igual y los lados que lo forman son proporcionales. Esto significa que . Pero y por tanto . La inducción del campo magnético en cualquier punto de la cavidad es perpendicular a la línea que une el centro del conductor con el centro de la cavidad. La distribución correspondiente de las líneas esta representada en la fig. 465.

En un circuito, de forma de un circulo de radio R, pasa una corriente. Determinar la inducción del campo magnético en el centro del circuito, si la densidad de corriente es igual a I.

Observación. Para determinar la inducción del campo magnético se puede utilizar la ley de Biot-Savart-Laplace. Esta ley afirma que un elemento del circuito , por el cual pasa la corriente I, crea, en un punto arbitrario A del espacio, un campo magnético, cuya inducción es igual a:

,

Donde r es la distancia del elemento hasta el punto A; a, el ángulo formado por el radio vector R con el elemento ; k el coeficiente que depende del sistema de unidades elegido. La dirección de se determina por la regla de Ampere [de sacacorchos]: la dirección de rotación de la cabeza del sacacorchos corresponde a la dirección de la corriente I, en el elemento del circuito . El vector es perpendicular al plano que contiene el elemento y el radio vector R.

Solución

Cualquier elemento del circuito circular se encuentra a una misma distancia R del centro. Además, para cualquier elemento , el radio vector r es perpendicular al , o sea,, . De este modo, la inducción del campo magnético, creado en el centro del circulo por el elemento , es
La inducción esta dirigida perpendicularmente al plano del circulo y como todos los elementos crean en el centro inducciones igualmente dirigidas , entonces la inducción resultante del campo magnético se expresa por la suma

Considerando que , obtenemos que .

Por un circuito en forma de anillo de radio R pasa por una corriente I. determinar la inducción del campo magnético en un punto arbitrario situado en la perpendicular trazada del centro del anillo al plano de éste.

Solución

Determinamos la inducción del campo magnético en el punto A, situado a una distancia d del plano del circulo (fig. 466). La distancia de los elementos del punto A designemos por r.

Examinemos las inducciones y creadas por los elementos del circuito y que se encuentran en los extremos opuestos del diámetro. Como el ángulo a entre r y es igual a (como el ángulo entre la generatriz del cono y un elemento de la circunferencia de su base), entonces (véase el problema 564):

Eligiendo y verificando que recibimos que

La suma geométrica de los vectores y estarán dirigidos a lo largo del eje de corriente circular y numéricamente será igual a la suma de las proyecciones de y en el eje OA:

Como , entonces

Dividiendo todo el circuito circular en pares de elementos correspondientes , obtenemos que la inducción resultante del campo magnético está dirigida a lo largo de la corriente circular y numéricamente es igual a la suma

Ya que entonces

Por un conductor infinitamente largo ABC, doblado bajo un ángulo recto pasa un corriente I (fig. 191). ¿ en cuanto variara la intensidad del campo magnético en el punto M, si al punto B conectamos un conductor recto infinitamente largo BD, de modo que la corriente I se ramifique en el punto en el punto B en dos partes iguales y la corriente del conductor AB siga siendo la misma?

Solución

El conductor BC no crea campo en el punto M. según la recta formulada en la observación del problema 564, el campo magnético de cualquier elemento del conductor BC debería ser perpendicular a la línea BM. Por eso la presencia de un campo diferente de cero en el punto M seria contrario a la simetría del problema, puesto todas las direcciones, perpendiculares a BM, son iguales. Como la intensidad del campo es proporcional a la intensidad de la corriente, entones al conectar el conductor nosotros tenemos que . los campos del os conductores AB y BD se suman. Por consiguiente, después desconectar el conductor BD, tendremos

,

De donde resulta

Por un conductor, situado e un plano, como se muestra en la fig. 192, pasa una corriente. Encontrar la inducción del campo magnético en un punto arbitrario de la línea AB, siendo esta el eje de simetría del conductor.

Solución

En un punto arbitrario de la línea AB, cualquier elemento pequeño del conductor ACB por el cual pasa la corriente crea un campo magnético perpendicular al plano del diseño (véase el problema 566). El elemento del conductor ADB simétricamente a esté crea un campo igual pero dirigido en sentido opuesto. El campo de dos elementos cualesquiera, situados simétricamente, debido a lo expuesto arriba será nulo. Por consiguiente, el campo en un punto cualquier AB creado por todo el conductor, será nulo, ya que los sectores rectilíneos del conductor tampoco crean campos en AB.

Un conductor de longitud l fue colgado debajo de un neumático horizontal largo en dos muelles iguales (el coeficiente de elasticidad de cada muelle es igual a k). Cuando por el neumático y el conductor no pasan corrientes, la distancia entre ellos es h. hallar la distancia entre el neumático y el conductor, si por el neumático pasa una corriente I y por el conductor, i el conductor no puede salir del plano vertical.

Solución

1) Las corrientes I y i pasan en el mismo sentido. La fuerza de atracción mutua entre el neumático y conductor cuando la distancia entre ellos es x, es igual a

La resultante de las fuerzas de gravedad y elástica de los muelles están dirigidas hacia abajo y es. En posición del equilibrio , de donde obtenemos una ecuación de segundo grado respecto a x. la solución de la ecuación nos da

(Equilibrio estable);

(Equilibrio inestable).

Si o sea, el conductor se atraerá al neumático.

2) Las corrientes I y i pasan en sentido opuestos. El conductor se repele y el equilibrio será estable a una distancia

Determinar la fuerza con que actúa un conductor recto, infinitamente largo, sobre un circuito en forma rectangular, situado en el plano del conductor. Se sabe que por el conductor pasa una corriente I y por el circuito I1. Los lados del circuito AD y BC tienen longitud a y son paralelos al conductor.

La distancia entre AD y el conductor es x. La longitud de los lados AB=DC=h .Las direcciones de las corrientes se indican en la fig. 193 por medio de flechas.

Solución

Las fuerza que actúan sobre los lados AB y DC son iguale en magnitud y tienen direcciones opuestas; su suma es nula.

La fuerza F1 con que la corriente I actúa sobre AD, es

La fuerza F2 que actúa sobre BC, es

Las fuerzas F1 y F2 están dirigidas a lo largo de una recta en sentidos opuestos siendo F1 > F2 por lo tanto, el circuito se atraerá al conductor con una fuerza.

Un conductor de cobre de sección S esta doblado de modo, que forman tres lados de un cuadrado y el mismo puede girar en torno de un eje horizontal (fig. 194). El conductor se encuentra en un campo magnético homogéneo dirigido verticalmente. Cuando por el conductor pasa una corriente I, éste se desvía en un ángulo , con relación a la vertical. Determinar la inducción del campo. La densidad del cobre es igual a .

Solución

Designemos por la l la longitud de lado del cuadrado. El momento de la fuerzas del campo magnético que desplaza el cuadrado de posición vertical, es

Sobre el cuadro que esta inclinadlo bajo un ángulo de la posición vertical, actúa también el momento de la fuerzas de gravedad que tiende a volver el cuadro a la posición vertical. Este momento es

.

La condición de equilibrio del cuadro es

,

de donde hallamos la inducción del campo magnético:

En el centro de un solenoide largo, en cada centímetro de longitud del cual hay n espiras, se encuentra una bobina corta, constituida de N espiras y de sección S. El eje de esta bobina es perpendicular al eje del solenoide largo y está dirigido verticalmente. La bobina interna se sujeta en el extremo de una balanza, la cual en la ausencia de corriente se encuentra en equilibrio. Cuando por ambas bobinas pasa la misma corriente I, para equilibrar la balanza en el brazo derecho de ésta (fig 195) es necesario colocar un peso P. La longitud del brazo derecho de la balanza es igual a L.

Determinar la intensidad de corriente I.

Observación. La inducción del campo magnético en las proximidades del centro del solenoide largo es igual a , donde n es el número de espiras por unidad de longitud del solenoide y I, la intensidad de corriente que pasa por el solenoide.

Solución

El momento magnético M que actúa sobre la bobina corta por parte del campo del solenoide, es donde De la condición de equilibrio de la balanza determinamos que

Por un anillo de alambre de radio R, colgado en dos conductores flexibles, pasa por una corriente I. El anillo esta situado en un campo magnético homogéneo con inducción B. Las líneas de inducción son horizontales. ¿Con fuerza esta estirado el anillo?

Solución

Bajo la influencia del campo magnético, el anillo gira de modo que las líneas de fuerza del campo estarán perpendiculares al plano del anillo y formarán con la dirección de la corriente un sistema a derechas. Entonces la extensión del anillo será máxima. Utilizando el método aplicado en la solución del problema 415 obtenemos

Un anillo conductor de radio R, se encuentra en un campo magnético heterogéneo, cuyas líneas de inducción forman en los puntos de intersección con el anillo un ángulo respecto a la normal al plano del anillo (fig. 196). La inducción de un campo magnético que actúa sobre el anillo es igual a B. Por el anillo pasa una corriente I. ¿Con qué fuerza actúa el campo magnético sobre el anillo?.

Solución

Sobre un sector del anillo actúa la fuerza fig (467). Descompondremos esta fuerza en las componentes y ; quedará en el plano del anillo y será normal a su plano. La resultante de las fuerzas que

Actúan sobre los sectores aislados del anillo es nula. Estas fuerzas solo estiran el anillo. La fuerza total f que actúa sobre el anillo es igual a la suma de las fuerzas

Un circuito rectangular ABCD, cuyos lados tienen longitud a y b, se encuentran en un campo magnético homogéneo de inducción B y puede girar en torno del eje 00′ (fig.197). En el circuito pasa una corriente constante I.

.Determinar el trabajo realizado por el campo magnético, al girar el circuito en 180°, si, inicialmente, el plano del circuito era perpendicular al campo magnético y estaba situado como muestra la fig. 197.

Solución

Las fuerzas que actúan sobre los lados BC y AD son perpendiculares al desplazamiento de estos lados, por eso ellas no realizan trabajo.

Fig-468

Las fuerzas que actúan sobre los lados AB Y CD son constantes, forman un ángulo recto con la dirección del campo y son numéricamente iguales a (fig 468). El trabajo que buscamos será igual al doble del producto de la fuerza por el desplazamiento de los lados AB o CD en dirección de la fuerza. Al girar el circuito en 180º este desplazamiento es igual ab. Por consiguiente,

¿Cómo se moverá un electrón en un campo magnético homogéneo, si en el momento inicial su velocidad forma un ángulo con las líneas de inducción del campo?.

Solución

Descomponemos la velocidad de electrón en las componentes: v|| paralelamente a B y perpendicular a B (fig. 469).v|| no varía en valor ni en dirección, puesto que la fuerza de Lorentz no actúa sobre la partícula que tiene velocidad a lo largo del campo.

varía en dirección ya que gracias a esta componente sobre el electrón actúa la fuerza de Lorentz, constante en valor y perpendicular a la velocidad . Por eso la aceleración del electrón es también constante en valor y perpendicular a la velocidad . Pero el movimiento con velocidad y aceleración constantes, perpendicular a esta velocidad, es nada más que un movimiento circular uniforme.

De este modo, al movimiento uniforme de traslación a lo largo de B se sobrepone el movimiento circular en el plano perpendicular a B. Como resultado surge el movimiento por la espiral con paso , donde es el tiempo de una vuelta del electrón por la circunferencia, cuyo radio, que es fácil de hallar, es . Como , entonces

Una corriente I pasa por una cinta metálica de anchura . Esta ultima se sitúa en un campo magnético, cuya inducción es perpendicular a la cinta (fig. 198). Determinar la diferencia de potencial entre los puntos A y B de la cinta.

Solución

Como consecuencia de la acción de la fuerza de Lorentz, los electrones se desplazaran hacia el extremo de la cinta. Por eso, uno de los extremos de la cinta estará cargado negativamente y el otro positivamente; en el interior de la cinta aparecerá un campo eléctrico adiciona, cuya intensidad E estará dirigida perpendicularmente a la corriente. El movimiento de los electrones permanecerá hasta el momento en que la fuerza de Lorentz no se hará igual a la fuerza que actúa sobre el elector por parte del campo eléctrico: de donde: la diferencia de potencial , o, como resulta, ,

Una barra metálica sin carga tiene la forma de un paralelepípedo rectangular con lados a, b, c .

La barra se mueve en un campo magnético en dirección del lado a con velocidad v. La inducción del campo magnético es B y perpendicular a la base de la barra con lados a y c (fig 199). Determinar la intensidad del campo eléctrico en la barra y la densidad de las cargas eléctricas en las superficies laterales del paralelepípedo formados por lados a,b .

Solución

La fueraza de Lorentz actúa tanto sobre los electrones libres, como sobre los iones positivos que s encuentra en los nudos de la rejilla cristalina, ya que tanto los electrones como los iones se mueven en un campo magnético. La fuerza f actúa sobre los iones libres según la regla de la mano izquierda, estará dirigida como muestra la fig 470. Los electrones se mueven respecto a la rejilla, cargándose de este modo una superficie lateral del paralelepípedo negativamente y otra positivamente.

En la barra surge un campo eléctrico y cuando la intensidad de este campo satisfaga la igualdad , el movimiento de los electrones con relación a la rejilla cesa. La intensidad incógnita es La densidad de cargas determinamos de la relación . Por lo tanto, .

Un cilindro metálico sin carga de radio r gira en campo magnético con velocidad angular en torno a su eje. La inducción del campo magnético esta dirigida paralelamente al eje del cilindro. ¿Cual deberá ser el valor de la inducción del campo magnético a fin de que en el cilindro no surja un campo electrostática?.

Solución

Para que no aparezca un campo electroestático, los electrones en el movimiento giratorio del cilindro no deberán desplazarse respecto a la rejilla cristalina. Este desplazamiento no tendrá lugar, si la fuerza de Lorentz que actúa sobre los electrones es igual a , es decir, . Como , entonces el campo debe estar dirigido en sentido del movimiento de traslación del ampére (o de saca-corchos), cuyo apoyo gira en la misma dirección que el cilindro.

Encontrar la intensidad del campo electrostático en el cilindro (véase el problema 578), si la inducción del campo magnético es igual a B.

Solución

, donde la carga del electrón es igual a (­e) E es positivo si está dirigido desde el eje del cilindro. Si la dirección de B y la dirección de rotación del cilindro forman un sistema a derechas (o el tornillo dextrógiro), entonces es necesario tomar el signo «menos», en caso contrario, el signo «más».

Un haz de iones de la misma carga alcanza una región del espacio, donde existe un campo eléctrico homogéneo con intensidad y un campo magnético homogéneo con inducción . Los campos eléctrico y magnético están dirigidos perpendicularmente el uno al otro y ambos, perpendicularmente al haz. Los iones pasan por los campos eléctrico y magnético sin desviación y, pasando a través de una abertura, alcanzan una región de campo magnético homogéneo con inducción que está dirigida perpendicularmente al movimiento de los iones. Si los iones tienen la forma de una mezcla de masas iguales a 20 y 22 unidades de masa atómica, entonces ¿a qué distancia el uno del otro estos iones se encontrarán, recorriendo la mitad de un círculo?

Solución

Puesto que los iones pasan a través de los campos perpendiculares entre sí sin desviación, entonces de donde Posteriormente cada Ion se moverá por una circunferencia del diámetro y donde m es la masa del Ion. Por lo tanto, la distancia incógnita es . Si unidades de masa atómica =
entonces