Ejercicios – Mecánica – Trabajo y energía

La experiencia de Guericke (con los hemisferios de Magdeburgo) consistió en que dos semiesferas de cobre se unían herméticamente por las bases y de la esfera obtenida se extrajo el aire. La presión atmosférica unía con tanta fuerza las semiesferas la una a la otra que fue posible separarlas solamente con ayuda de varios caballos. Determinar ¿cuántos caballos se necesita para separar las semiesferas, si cada caballo tira con una fuerza ? El radio de las semiesferas es , la presión atmosférica es

Solución:

En primer lugar es necesario encontrar la fuerza de presión del aire en uno de los hemisferios. Supongamos que la base de éste está cerrada por una tapa plana en forma de disco de radio Entonces, si del recipiente obtenido bombeamos el aire, la fuerza de presión en la tapa plana será Es evidente que ésta será también la fuerza de presión de aire en el hemisferio. En caso contrario, las fuerzas no se equilibrarán mutuamente y el recipiente se moverá siempre en dirección de la fuerza mayor. El número de caballos deberá ser igual a ya que el otro hemisferio podrá ser simplemente atado a una columna. La cuerda tendida creará una fuerza exactamente igual a la fuerza creada por los caballos que tira por otro lado.

¿Cómo se explica el hecho de que cuando una piedra cae sobre la Tierra, la variación de cantidad del movimiento de la Tierra es igual a la de la piedra, sin embargo, el cambio de la energía cinética de la Tierra no se considera?

Solución:

La variación de la cantidad de movimiento del cuerpo es igual al impulso de la fuerza de gravedad. Como las fuerzas que actúan sobre la piedra y sobre la Tierra son iguales y actúan durante un tiempo igual, las variaciones de las cantidades de movimiento de estos cuerpos también serán iguales. La variación de la energía cinética del cuerpo es igual al trabajo de las fuerzas de gravitación. Las fuerzas son iguales, pero los trayectos recorridos por la piedra y por la Tierra son inversamente proporcionales a sus masas. Es precisamente por eso que el principio de conservación de la energía puede escribirse de forma que no considera la variación de la energía cinética de la Tierra: donde es la masa de la piedra y la energía potencial de interacción.

Un pilote con de peso se mete en el terreno mediante un martinete, cuyo peso es . El martinete cae libremente de una altura de metros y después de cada choque, el pilote se ahonda en Determinar la fuerza de resistencia del terreno considerándola constante.

Solución:

Según el principio de conservación de la energía tenemos que donde es la masa del martinete;, la altura de caída del martinete; la velocidad del martinete antes del choque. Debido a la corta duración del choque, la fuerza resistente no puede cambiar sensiblemente la cantidad total de movimiento del sistema. Como el choque es inelástico tenemos: donde es la masa del pilote; , la velocidad del martinete y del pilote en el primer momento después del choque. La energía mecánica del martinete y del pilote se utiliza en el trabajo contra las fuerzas de resistencia del suelo:

Donde es la profundidad de introducción del pilote en el suelo. Entonces recibimos que

Una caja con arena posee la masa y está colgada por medio de un cable de longitud La longitud de cable es mucho mayor que las dimensiones lineales de la caja. Una bala de masa se mueve en dirección horizontal y alcanza la caja, introduciéndose en la misma. El cable, después de que la bala se introduce en la caja, se desvía en un ángulo de la vertical. Determinar la velocidad de la bala.

Solución:

Como resultado del choque inelástico la velocidad lineal de la caja junto con la bala en el primer momento de tiempo será igual a donde es la velocidad de la bala. El ángulo de desviación , de acuerdo con el principio de conservación de la energía, se relaciona con la velocidad de la siguiente manera:

De ahí determinamos que

Dos carritos (con las ruedas fijadas por cuñas) se apartan mediante una explosión de carga , colocada entre ellos (fig. 62). El carrito que pesa recorre un camino de y se para. ¿Qué camino recubrirá el segundo carrito, cuyo peso es ? El coeficiente de rozamiento entre la tierra y los carritos es igual a

Solución:

Como la explosión es muy rápida, las fuerzas horizontales externas (fuerzas de rozamiento) no pueden cambiar sensiblemente la cantidad total de movimiento del sistema en el período de la explosión. Antes e inmediatamente después de la explosión la cantidad permanece igual a cero. Por lo tanto de donde Como los carritos finalmente paran, sus energías cinéticas iniciales se utilizan en el trabajo contra las fuerzas de rozamiento:

De donde recibimos que y del tal modo,

Resolver el problema 101, utilizando el principio de conservación de la cantidad de movimiento y examinando la variación de energía cinética del carrito y del cuerpo.

Solución:

Designemos por la velocidad del cuerpo y del carrito después de cesar su movimiento relativo. Basándose en el principio de conservación de la cantidad de movimiento, podemos escribir que

(1)

El carrito pierde energía cinética, porque la fuerza de rozamiento que actúa sobre éste realiza un trabajo negativo igual a donde es el trayecto recorrido por el carrito. El cuerpo adquiere una energía cinética como consecuencia del trabajo positivo realizado por la fuerza de rozamiento en el cuerpo. Esta energía es igual a donde es el trayecto recorrido por el cuerpo.

La variación de la energía cinética del sistema es igual a

(2)

y como se ve su variación es igual a la fuerza de rozamiento multiplicada por el desplazamiento relativo del cuerpo a lo largo del carrito. De las ecuaciones (1) y (2) deducimos que Como entonces Considerando que recibimos

Un cohete se lanza verticalmente hacia arriba, eliminando los gases calientes sucesivamente en dos porciones iguales. La velocidad de la salida de los gases con relación al cohete es constante e igual a . ¿Cuál debe ser el intervalo de tiempo entre la combustión de las porciones, para que el cohete alcance su altura máxima? El combustible se quema instantáneamente. La resistencia del aire se desprecia.

Solución:

Corno resultado de la combustión de la segunda porción, la velocidad del cohete aumenta en valor Según el principio de conservación de la cantidad de movimiento (ya que la combustión se realiza instantáneamente), podemos escribir

Donde es la masa de la porción del combustible; , la masa del cohete sin combustible; , la velocidad de salida de los gases con relación al cohete. El incremento de la velocidad del cohete no depende de su velocidad antes de la combustión de la segunda porción. Al contrario, el incremento de la energía cinética del cohete (sin combustible)

Será tanto mayor cuanto mayor es .

La altura de elevación del cohete se determina por la cantidad de energía recibida por éste. Por eso es más ventajoso quemar la segunda porción de combustible en el momento cuando la velocidad del cohete es la máxima, es decir, inmediatamente después de la primera porción. En estas condiciones la mayor parte de la energía mecánica que surge como consecuencia de la quema del combustible, se transmitirá al cohete y la energía mecánica de los productos de combustión Será mínima.

El combustible en un cohete se quema en porciones iguales de masa . La combustión es instantánea. ¿Será la velocidad de la salida de los gases del cohete constante si, al quemarse cada porción, la energía mecánica del sistema varía en un mismo valor?

Solución:

Es suficiente analizar la combustión sucesiva de dos porciones de combustible. Supongamos que inicialmente la masa del cohete con el combustible sea . Después de combustión de la primera porción, la velocidad del cohete es donde es la velocidad de dos gases respecto al cohete. Consideremos la velocidad inicial del cohete igual a cero. El incremento de la velocidad del cohete, después de combustión de la segunda porción, es donde es el nuevo valor de la velocidad de los gases respecto al cohete.

Al quemar la primera porción, la energía mecánica liberada es igual a . Al quemar la segunda porción se libera la energía

Según la condición del problema: , de donde obtenemos que

Por consiguiente, , es decir, la velocidad de los gases respecto al cohete disminuyó. Esto se relaciona con la disminución de la masa del cohete en el proceso de combustión.

Un cuerpo se sube a la cumbre de una montaña una vez por el camino y otra vez, por el camino (fig. 63). Demostrar que si la subida es lenta, el trabajo realizado será el mismo, siendo igual el coeficiente de fricción en ambos trayectos.

Solución:

Ambos declives pueden dividirse en un número infinito de planos inclinados pequeños con diferentes ángulos de inclinación. Analicemos uno de ellos (fig. 346). El trabajo realizado para la elevación del cuerpo en este plano inclinado es igual al trabajo contra las fuerzas de gravedad más el trabajo contra las fuerzas de rozamiento . Sabemos quey , de donde obtenemos que . El trabajo total será igual a Considerando todos los planos inclinados y sumando los trabajos elementales, el trabajo total resulta ser igual a

El trabajo se determina apenas por la altura de la montaña y por la longitud de su pie.

¿Qué fuerza debe aplicarse a la manivela de un gato de husillo para mantener en equilibrio un peso levantado por el gato igual a El paso del tornillo es y la longitud de la manivela es . No hay fricción.

Solución:

La fuerza aplicada a la manivela será mínima si ésta forma con ella un ángulo recto. Designando por el valor de la fuerza que buscamos y basándose en la ley fundamental de la mecánica, tenemos de donde

Encontrar el coeficiente máximo del rendimiento de un gato de husillo, en el cual las fuerzas de rozamiento no permiten a la carga bajar.

Solución:

Según la definición el coeficiente de rendimiento es , donde es el trabajo para elevar el peso a una altura , y , el trabajo realizado en este proceso contra las fuerzas de rozamiento. Como la fuerza de rozamiento es capaz de mantener el peso en equilibrio, el trabajo de esta fuerza no puede ser menor que el trabajo El mínimo valor del trabajo de las fuerzas de rozamiento es De este modo

Una escalera de cuerda de longitud , en cuyo extremo se encuentra un hombre de masa , está atada a la cesta de un aeróstato de masa . Todo el sistema está en el aire en estado de equilibrio. Determinar qué trabajo debe realizar el hombre para subir a la cesta. ¿Cuál será la velocidad del aeróstato si el hombre va subiendo por la escalera con una velocidad ; respecto a la misma?

Solución:

Durante la subida del hombre por la escalera, el aeróstato baja a una cierta altura . Por consiguiente, el trabajo realizado por el hombre provocará el aumento de la energía potencial del hombre en un valor y también el aumento de la energía potencial del aeróstato en un valor (sobre el aeróstato, sin el hombre, actúa una fuerza ascensional dirigida hacia arriba), de donde tenemos que

Este resultado puede obtenerse inmediatamente, calculando el trabajo del hombre en un sistema unido a la escalera. Si el hombre sube con velocidad respecto a la escalera, entonces respecto a la Tierra el hombre tendrá una velocidad , donde es la velocidad del aeróstato durante la subida del hombre. Según el principio de conservación de la cantidad de movimiento de donde

¿Cómo debe variar la potencia del motor de una bomba para que ella pueda bombear, a través de un orificio fino, el doble de la cantidad de agua por unidad de tiempo?

Solución:

A fin de bombear una cantidad de agua dos veces mayor por unidad de tiempo es necesario transmitir a una masa de agua dos veces mayor una velocidad también dos veces mayor. (El trabajo del motor se usa para transmitir al agua la energía cinética ) Por eso la potencia del motor debe aumentar ocho veces.

Un pozo rectangular, cuya base tiene el área y la profundidad , está llena a medias de agua. Una bomba extrae el agua, arrojándola a la superficie de la tierra a través de un tubo cilíndrico de radio

1) ¿Qué trabajo realizó la bomba si extrajo toda el agua durante el tiempo ?

2) ¿Qué trabajo realizó la bomba en este mismo tiempo, si en el fondo del pozo se encuentra una losa de piedra de forma rectangular, cuya base tiene el área

y la altura ? (La profundidad del agua en el pozo es la misma e igual a )

Solución:

1) Se realiza el siguiente trabajo para bombear el agua del pozo:

donde es la densidad del agua. Para transmitir al agua una energía cinética se realiza el siguiente trabajo:

La velocidad con que el agua sale del tubo a la superficie de la tierra se determinan de la relación El trabajo total es

.

2) El trabajo realizado para hacer subir el agua en el segundo caso es menor que en un valor El trabajo realizado para transmitir al agua una energía cinética es: El trabajo total será:

¿Qué trabajo es necesario realizar para que en el tiempo , subir por una escalera mecánica del metropolitano que se mueve hacia abajo? La altura de la elevación es , la velocidad de la escalera es constante e igual a ; el ángulo que forma la escalera mecánica con el plano horizontal es .

Solución:

Es más simple resolver el problema en el sistema de las coordenadas relacionado con la escalera mecánica. El hombre recorrerá respecto a ella una distancia donde es el trayecto recorrido por la escalera mecánica. Para esto ella realizará un trabajo , ya que por ocasión de elevación, la fuerza fue aplicada al trayecto y formaba con éste un ángulo igual a . Una parte del trabajo será destinada al aumento de la energía potencial del hombre, la otra parte del trabajo, , junto con el trabajo del motor que pone la escalera en movimiento, será destinada para vencer las fuerzas de rozamiento.

Fig. 64

Tomemos un muelle por el punto medio y lo estiremos a una distancia (fig. 64) y luego soltémoslo.

El muelle con rapidez se extiende uniformemente, además la transición a ese estado está relacionada con el gasto de cierta energía. Apreciar este gasto de energía, considerando la rigidez del muelle muy grande. (Después de que el muelle se extiende uniformemente, surgirán oscilaciones del peso , que producen un gasto adicional de energía.)

Solución:

La energía del muelle estirado por el punto medio Cuando sueltan el muelle su energía se hace igual a porque durante el período de redistribución de las deformaciones elásticas en el muelle, la masa no consigue desplazarse. Por consiguiente las pérdidas de energía en el muelle serán Naturalmente este cálculo es aproximado.

En el vagón de un tren que se mueve uniformemente está un hombre que estira un muelle con fuerza (fig. 65). El tren pasó el trayecto . ¿Qué trabajo realizará el hombre en el sistema de coordenadas relacionado con la Tierra?

Solución:

El hombre actuando con una fuerza sobre el muelle realiza un trabajo Simultáneamente, sobre el piso del vagón por parte del hombre actúa la fuerza de rozamiento . El trabajo de esta fuerza es igual a De este modo el trabajo total realizado por el hombre en el sistema de las coordenadas unido a la Tierra es nulo, así como en el sistema unido al tren.

En el vagón de un tren que se mueve uniformemente, un hombre extendió a una longitud un muelle, fijado en la pared delantera del vagón. Durante este tiempo el tren pasó el trayecto ¿Qué trabajo realizó el hombre en el sistema de coordenadas relacionado con la Tierra? ¿Cuál será este trabajo en el sistema relacionado con el tren? Al extender el muelle el hombre tiene que caminar en el sentido contrario del movimiento del tren.

Solución:

En el sistema del tren el trabajo realizado es igual a la energía potencial del muelle estirado, o sea, porque la fuerza de rozamiento entre el hombre y el piso del vagón en este sistema no realiza trabajo. En el sistema unido a la Tierra el trabajo del hombre para extender el muelle es igual al producto de la fuerza media por el trayecto recorrido o sea, Sobre el piso del vagón el hombre actúa con la misma fuerza media . Su trabajo es El trabajo total en el sistema de las coordenadas dado es o sea, el mismo que en el sistema del vagón.

Dos bolas absolutamente elásticas de masas y respectivamente, chocan. Sus velocidades iniciales son y . Encontrar las velocidades de las bolas después del choque. El choque se considera central: las velocidades de las bolas están dirigidas a lo largo de la línea que une sus centros. Analizar dos casos: 1) la velocidad de la segunda bola antes del choque es igual a cero; 2) las masas de las bolas son iguales.

Solución:

Basándose en los principios de conservación de la cantidad de movimiento y de la energía, podemos escribir las siguientes ecuaciones:

Donde y son las velocidades de las bolas después del choque. Resolviendo el sistema de ecuaciones dado, recibimos que

1) Si la segunda bola antes del choque estaba en reposo , entonces

Para la primera bola continúa moviéndose en la misma dirección que tenía antes del choque, pero con menos velocidad. Si la primera bola, después del choque, vuelve hacia atrás. La segunda bola se moverá en el mismo sentido, en que se movía la primera bola antes del choque.

2) Si , entonces tenemos

.

Las bolas durante el choque cambian de velocidades.

Dos bolas absolutamente elásticas de masas y , chocan. Las velocidades iniciales de las bolas eran y . El choque fue central. Determinar la energía máxima de la deformación elástica.

Solución:

La energía de deformación elástica se volverá máxima, cuando la velocidad relativa de las bolas se hará nula. Para este momento de tiempo, el principio de conservación de la energía mecánica y el principio de conservación de la cantidad de movimiento pueden escribirse de la siguiente forma:

Donde es la velocidad absoluta de las bolas en el momento cuando ellas posean la energía máxima de deformación elástica. Por lo tanto tenemos

Fig. 66

En un plano horizontal absolutamente liso se encuentran en reposo dos barras elásticas de masa igual , unidas por un muelle de longitud (fig. 66). El coeficiente elástico del muelle es . Sobre una de las barras, por ejemplo sobre la izquierda, cae con una velocidad una tercera barra, cuya masa es también . Demostrar que las barras unidas por el muelle se moverán siempre en una misma dirección. Determinar las velocidades de las mismas en el momento, cuando el muelle está extendido al máximo.

Solución:

Como resultado del choque elástico la barra izquierda adquiere una velocidad . La barra derecha en este momento aún está en reposo, ya que el muelle no se deformó. Designemos por y las velocidades de las barras izquierda y derecha en un momento cualquiera de tiempo, por , el alargamiento absoluto del muelle en el mismo momento de tiempo. Basándose en los principios de conservación de la cantidad de movimiento y de la energía, obtenemos:

O Sustituyendo en la ultima ecuación por obtenemos por consiguiente tenemos y

En dos últimas expresiones podemos ver claramente que y tendrán el mismo signo, porque ambas barras se mueven en el mismo sentido. El valor será máximo, cuando el producto de velocidades y es máximo. De este modo, para responder a la segunda pregunta del problema, es necesario determinar el valor máximo del producto en las condiciones cuando la suma es constante e igual a . Consideremos la desigualdad evidente Adicionemos a ambos miembros de la desigualad en al valor Resulta que ó Como entonces Por lo tanto el valor máximo de es igual a y este se obtiene cuandoLa distancia entre las barras en este momento será igual a

Dos láminas, cuyas masas son iguales a , están unidas mediante un muelle con coeficiente de rigidez (fig. 67). La lámina superior se estira hacia abajo lo suficiente para que la deformación del muelle sea igual a , y luego la soltaron. Determinar a qué altura se elevará después de esto el centro de masas del sistema.

Solución:

Mientras la lámina inferior está sobre la mesa, del principio de conservación de la energía mecánica se deduce que

(1)

Donde es el alargamiento del muelle; velocidad de la lamina superior. En el momento cuando la lamina inferior abandona la mesa, tenemos

Siendo Considerando estas relaciones, recibimos de (1) que

(2)

A fin de que se verifique la formula (2), debemos tener

La velocidad del centro de masas en el momento cuando la lamina inferior se desprende de le mesa, es igual a Después de que la lamina inferior abandona la mesa, el centro de masas se moverá hacia arriba uniformemente retardado con aceleración y velocidad inicial . Por consiguiente la altura de máxima elevación del centro de masas es

Donde se cuenta desde la posición que el centro de masas ocupaba en el momento cuando la lamina inferior abandonó la mesa. (El problema estudiado nos da una idea de los procesos que tienen lugar durante saltos de altura.)

Una bola se mueve con velocidad en dirección de una pared, que se mueve, a su vez, en dirección de la bola con velocidad (fig. 68). La esfera choca elásticamente con la pared. Determinar la velocidad de la esfera después del choque. ¿Debido a qué varía la energía cinética de la bola? La masa de la pared considerarla infinitamente grande.

Solución:

En el sistema de referencia unido a la pared, la velocidad de la bola es ( Después del choque, en este mismo sistema de referencia, la velocidad de la bola será La velocidad de la bola después del choque respecto a un sistema de referencia inmóvil es igual a

La energía cinética después del choque es y antes del choque es La variación de la energía cinética es igual a

Consideremos, luego, el trabajo de las fuerzas elásticas que actúan sobre la bola en el momento del choque. Supongamos que el choque dura un tiempo ; supongamos también para simplificar que en el momento del choque la fuerza elástica sea constante (el resultado no depende de esta suposición).

Considerando que debido al choque la cantidad de movimiento cambió en un valor la fuerza elástica es igual a El trabajo de esta fuerza será

Como podemos ver fácilmente este trabajo es igual al cambio de la energía cinética.

De una altura m tiran dos piedras de la misma masa, unidas por medio de una cuerda, cuya longitud es . La primera piedra comienza a caer antes de la segunda. ¿Después de cuánto tiempo, desde el inicio de la caída, las piedras alcanzarán la tierra? Las piedras empiezan a caer con velocidad inicial nula. Analizar dos casos: 1) cuando la cuerda es absolutamente elástica, 2) cuando la cuerda es absolutamente inelástica.

Solución:

1) Hasta el momento cuando la cuerda elástica se estira, las piedras caen libremente:

El momento de tensión de la cuerda, se determina de la condición de donde obtenemos que El tiempo se cuenta desde el momento de caída de la primera piedra. Al estirarse la cuerda, se efectúa un choque elástico y las piedras cambian de velocidades (véase el problema 174). En el momento del choque

El tiempo de caída de la primera piedra (después de estirarse la cuerda) se determina de la condición:

El tiempo de caída de la segunda piedra se halla de la condición:

De donde recibimos que La primera piedra cae en la segunda en

2) Si la cuerda es inelástica, las velocidades de las piedras se igualan después de estirarse la cuerda (choque inelástico): El tiempo de caída de las piedras, después de que la cuerda se estira, se determina por las ecuaciones:

y son idénticos a los del primer caso. De ahí y La primera piedra cae en , la segunda en

Varias esferas elásticas idénticas están colgadas, la una junto a la otra, en cuerdas de igual longitud (fig. 69) de modo, que las distancias entre las esferas son muy pequeñas. ¿Cómo se comportarán las esferas si se inclina y si se suelta la última esfera que se encuentra en uno de los extremos, se sueltan simultáneamente dos esferas, tres esferas, etc.?

Solución:

Si inclinamos solamente una esfera de derecha, entonces después del choque por la izquierda la esfera de extremo izquierdo salta formando un ángulo igual al ángulo de inclinación de esfera derecha. Si inclinamos simultáneamente dos esferas y las soltamos, entonces después del choque saltarán dos esferas del extremo izquierdo. Si inclinamos tres esferas de derecha, saltarán tres de izquierda, etc.

En el choque de la primera esfera con la segunda, la primera para, transmitiendo su cantidad de movimiento a la segunda esfera (véase la resolución del problema 174); la segunda transmitirá esta misma cantidad de movimiento a la tercera, la tercera a la cuarta, etc. La esfera del extremo izquierdo no tiene otra para seguir, por eso ella salta (si no hay rozamiento y pérdida de energía), formando un ángulo igual al de inclinación de la esfera del extremo derecho. Cuando la esfera izquierda, después de saltar en un ángulo máximo, se choca con la penúltima esfera, el proceso de transmisión de la cantidad de movimiento por la cadena de las esferas se repite en sentido contrario.

Si inclinamos simultáneamente dos esferas de derecha, ellas transmitirán su cantidad de movimiento a la cadena no simultáneamente, sino la una después de la otra, en un intervalo de tiempo muy pequeño (imperceptible para el ojo humano). De ese modo, la cadena de las esferas recibirá no un impulso doble, sino dos impulsos que se distribuirán por la cadena con un determinado intervalo de tiempo. La esfera del extremo izquierdo saltará al recibir la «primera dosis» de la cantidad de movimiento. En seguida saltará la penúltima, al recibir la «dosis siguiente» de la cantidad de movimiento que le fue transmitida por la esfera del extremo derecho. Al incluir tres esferas de derecha la cadena recibirá, la una después de la otra dentro de un intervalo de tiempo muy pequeño, las «dosis» de la cantidad de movimiento respectivamente de la tercera, segunda y primera esfera de derecha. Si inclinamos y soltamos al mismo tiempo cuatro esferas entonces saltarán hacia la izquierda cuatro de ellas y dos permanecerán inmóviles.

En un plano están colocadas en fila (con pequeños intervalos) bolas de iguales dimensiones (fig. 70).

Una de ellas, que se encuentra en el medio, fue hecha de acero y las otras, de marfil (la masa de la esfera de acero es mayor). En dirección e la última bola, que se encuentra a la derecha, se mueve a lo largo de la línea que une los centro, otra bola de hueso, cuya masa es igual a la de las demás. ¿Cómo se moverán las bolas des pues del choque?

Solución:

La esfera que choca, salta hacia atrás y las esferas siguientes, hasta la esfera de acero, permanecerán inmóviles. La esfera de acero y las esferas vecinas se moverán hacia la izquierda, siendo diferentes sus velocidades. La esfera del extremo izquierdo se moverá más rápidamente que las demás. La penúltima de izquierda se moverá más lentamente, etc. Las esferas se separan (véase la resolución de los problemas 174 y 180).

En los extremos de una cuerda muy larga fueron colgadas dos cargas de la misma masa (fig. 71). La cuerda se apoya sobre dos poleas pequeñas y fijas, que se encuentran a una distancia de la una de la otra. Encontrar las velocidades de las cargas, en el transcurso de un intervalo de tiempo suficientemente grande, si en el medio de la cuerda colgamos un peso de masa de m.

Solución:

Supongamos que la carga 2m baje a una altura H. Entonces las cargas m se elevaran a una altura h (fig. 347). Aprovechando el principio de conservación de la energía tenemos:

Donde es la velocidad de las cargas y , la velocidad de la carga de masa . Mientras la carga va bajando, su velocidad se aproxima a la velocidad , ya que los ángulos entre las partes de la cuerda que se apoyan sobre las poleas tienden a cero. En el límite y al mismo tiempo Por consiguiente el valor límite de la velocidad de las cargas es .

Un peso de masa que se mantiene inicialmente cerca del techo, en el centro de la línea comienza a descender (fig. 72). ¿Para qué valor del ángulo su velocidad por su valor absoluto será igual a la velocidad del otro peso de masa ? ¿Cómo se moverán los pesos en lo sucesivo?

Solución:

Las velocidades de los pesos son iguales si los trayectos recorridos por ellos en el mismo intervalo corto de tiempo, son iguales. Estos trayectos se igualarán para el valor del ángulo , con que el descenso del peso en (fig.348) provoca un aumento de la longitud de la cuerda también en un valor . Por eso igualando las velocidades, obtenemos que y . Los triángulos y se aproximan tanto mas a los triángulos rectángulos, cuanto menor el segmento que nosotros escogemos. Para los ángulos y tienden a un ángulo recto y los ángulos y tienden a . Por consiguiente, las velocidades serán iguales para el . Valiéndose del principio de conservación de la energía, hallamos los valores de estas velocidades:

,

De donde
.

Los pesos se oscilaran entorno de la posición de equilibrio, a que corresponde el valor del ángulo.

Al ángulo corresponde la desviación máxima de la posición de equilibrio.

Sobre dos rodillos de diferentes radios se halla una tabla pasada que forma un ángulo con el plano horizontal. Determinar cómo se moverá la tabla. No hay deslizamiento. La masa de los rodillos puede ser prescindida.

Solución:

Como no existe deslizamiento entre la tabla y los rodillos en la superficie horizontal la distancia entre los ejes de los rodillos durante el movimiento permanece constante. Como consecuencia de esto, el movimiento de la tabla será de traslación. La tabla se desplazará en dirección horizontal y simultáneamente se moverá hacia abajo a lo largo de los rodillos. Si los rodillos se desplazarán a una distancia cualquier , entonces cada punto de la tabla (en particular, su centro de gravedad ) recorrerá a lo largo de la horizontal esta misma distancia y, simultáneamente, se desplazará esta misma distancia a lo largo de los rodillos: (fig.349). (Esto se hace evidente si analizamos el moviendo de los rodillos en el sistema de las coordenadas que se mueven junto con los rodillos). Como resultado, el centro de gravedad de la tabla se moverá a lo largo de la recta inclinada bajo un ángulo con relación ala horizontal, pues, el triangulo es isósceles. El movimiento será uniformemente acelerado. La tabla adquirirá la energía cinética debido a la pérdida de energía potencial: ó . Por otro lado, en el movimiento uniformemente acelerado tenemos: , donde . Por lo tanto resulta que la aceleración es.

Una cadena homogénea de longitud y de masa está situada en una tabla absolutamente lisa. Una parte pequeña de la cadena se mete por el orificio en la tabla (fig.73). En el momento inicial el extremo de la cadena que se encontraba sobre la tabla estaba fijo, mas después fue soltado y la cadena comenzó a moverse bajo la fuerza de la gravedad de la parte de la cadena colgada fuera de la tabla. Determinar la velocidad del movimiento de la cadena en el momento, cuando la longitud de la parte colgada de la cadena será . Determinar para este mismo momento la aceleración de la cadena y la reacción del extremo de la tabla.

Solución:

Calculemos la diferencia de las energías potenciales para dos posiciones de la cadena: toda la cadena esta sobre la tabla i una parte de ella, cuya longitud es , esta colgada. Esta diferencia es igual a la fuerza de gravedad de la parte colgada multiplicada por , puesto que la cadena es homogénea y el centro de gravedad del extremo colgado se encuentra a una distancia del borde de la tabla. Basándose en el principio de conservación de la energía podemos escribir que ó . La aceleración en este mismo momento de tiempo podemos determinar, valiéndose de la segunda ley de Newton: .Por consiguiente . Para calcular la reacción del borde de la tabla, encontremos primeramente la tensión de la cadena en el punto de contacto con la tabla. La tensión es igual al producto de la masa de la parte de la cadena que se encuentra sobre la tabla por la aceleración de la cadena: . Analicemos ahora un segmento muy pequeño de la cadena que toca el borde de la tabla. Sobre este pequeño segmento actúan tres fuerzas (Fig.350). Ellas provocan la variación de la cantidad de movimiento de la corriente tanto en la horizontal, como en la vertical:

,

.

Por consiguiente, el ángulo de inclinación de la fuerza con la horizontal es y .

Un carrito de masa se mueve sin fricción por rieles horizontales. Sobre el carrito fue colocado un péndulo simple (una bola de masa , colgada de una cuerda de longitud ) (fig.74) en el momento inicial el carrito y el péndulo estaban en reposo y la cuerda fue inclinada en un ángulo con relación a la línea vertical. ¿Cuál será la velocidad del carrito en el momento, cuando la cuerda del péndulo forme un ángulo con la línea vertical (<)?

Solución:

Designemos por la velocidad del carrito. La componente horizontal de la velocidad del péndulo respecto al carrito es (fig. 351) y respecto a los rieles es Sobre el sistema no actúan fuerzas externas en dirección horizontal. Por eso, basándose en el principio de conservación de la cantidad de movimiento, tenemos:

1)

Ya que inicialmente el sistema estaba en reposo la componente vertical de la velocidad del péndulo respecto al carrito y a los rieles es igual a . Utilizando el teorema de Pitágoras, el cuadrado de la velocidad del péndulo con relación a los rieles es igual a . Basándose en el principio de conservación de la energía, obtenemos la segunda ecuación que relaciona las velocidades y .

2) .

De las ecuaciones 1 y 2 podemos hallar que

.

En un caso particular para (considerando ), obtenemos:

, Ó

Una cuña, cuya masa es , se encuentra en un plano horizontal absolutamente liso. Sobre la cuña esta una viga de masa . La viga puede deslizarse por la cuña sin rozamiento bajo la acción de la fuerza de la gravedad. Considerando que en el momento inicial el sistema se encontraba en reposo, determinar la velocidad de la cuña, cuando la viga desciende en el sentido vertical a la altura .

Solución:

Designemos por la velocidad de la cuña y por y , las componentes horizontal y vertical de la velocidad de la viga con relación al sistema de regencia inmóvil (fig.352). Utilizando los principios de conservación de la cantidad de movimiento y de la energía podemos escribir:

Subrayamos que el ángulo con el plano horizontal no forma la velocidad absoluta de la viga (por velocidad absoluta, en este caso, entendemos la velocidad respecto al plano horizontal inmóvil), pero si la velocidad relativa , o sea, la velocidad de la viga respecto a la cuña en movimiento. Del triangulo en las velocidades (fig.353), deducimos que . Resolviendo las ecuaciones dadas con relación a , obtenemos que

=

La velocidad absoluta de la viga en este mismo momento de tiempo es igual a:

En el caso cuando la masa de la cuña es mucho mayor que la masa de la viga, tiende, como era de esperar, al valor .

Una barra fijada entre dos manguitos puede moverse libremente en dirección vertical (fig.75). El extremo inferior de la barra se apoya en una cuña lisa que se encuentra en un plano horizontal. La masa de la barra es y de la cuña es . No hay fricción. En el momento inicial la barra y la cuña estaban en reposo. Determinar la velocidad de la cuña en el momento, en que la barra desciende a una altura ; la velocidad de la barra con relación a la cuña que se mueve y la aceleración de la barra.

Solución:

La velocidad de la barra respecto al acuña en movimiento forma un ángulo con la horizontal. Si sumamos esta velocidad relativa la velocidad del acuña obtendremos un resultado como la velocidad absoluta de la barra (fig. 354). Es evidente que la relación de las velocidades es Del principio de conservación de la energía deducimos: Excluyendo de estas dos ecuaciones , obtenemos una expresión para , o sea, = .Entonces, para esta velocidad relativa de la barra, podemos escribir:

.

La velocidad de la barra será

De la última expresión se ve que la velocidad de la barra cambia de acuerdo con el trayecto , recorrido según la ley del movimiento uniformemente acelerado: Por consiguiente la aceleración de la barra es .