Electromagnetismo – Capitulo 10 – Campo magnético de la corriente continua

§ III.10.1. Campo magnético. Ley de Ampere

1^o. El campo magnético es una de las formas del campo electromagnético (III.2.1.2^o). El mismo es generado por partículas y cuerpos portadores de cargas eléctricas que se mueven. Este campo actúa solamente sobre las cargas eléctricas y los cuerpos portadores de ellas que se hallan en movimiento.

También son fuentes de campo magnético los campos eléctricos alternativos (corriente de desplazamiento)

2^o. La característica de fuerza fundamental del campo magnético es el vector inducción magnética B (vector de inducción del campo magnético). El vector B se introduce por uno de los tres procedimientos:

a) partiendo de la ley de Ampere (p. 4^o),

b) por la acción del campo magnético sobre un cuadro con corriente (III.10.4.2o),

c) partiendo de la expresión de la fuerza de Lorentz (III.11.1.3o).

3o. Para la presentación grafica de los campos magnéticos se emplea el concepto de líneas de inducción magnética. Se llaman líneas de inducción magnética (líneas de fuerza del campo magnético) las trazadas en el campo magnético de tal forma que el vector B, en cada línea de fuerza, este dirigido según la tangente a ella. El sentido del vector B y de las líneas de inducción del campo magnético se determina por la regla de Maxwell (regla del sacacorchos); si el sacacorchos (de rosca a derechas) se atornilla siguiendo el sentido del vector densidad de corriente en el conductor (III.7.2.3o), el sentido en que se mueve la manilla indica el de las líneas de inducción magnética y del vector inducción.

Las líneas de inducción del campo magnético no se interrumpen en ningún punto, es decir, ni empiezan ni terminan. Estas líneas son cerradas, o van del infinito al infinito, o se arrollan infinitamente  sobre una superficie, llenándola por todas partes, pero sin retornar nunca a un punto cualquiera de la misma. Este ultimo caso se observa, por ejemplo, en el campo que genera un sistema constituido por una corriente circular y otra directa infinita que pasa por el centro de la primera y es perpendicular al plano de aquella.

Un campo magnético se dice que es uniforme u homogéneo (campo magnético uniforme) si el vector B es constante en todos sus puntos. En caso contrario el campo es   no uniforme o no homogéneo (campo magnético no uniforme).

4o. La fuerza con que el campo magnético actúa sobre los conductores con corriente que se encuentran en él, se conoce con el nombre de fuerza de Ampere.

Ley de Ampere: la fuerza elemental dF que actúa sobre el elemento de longitud dl de un conductor con corriente situado en un campo magnético, es directamente proporcional a la intensidad de la corriente que pasa por conductor y al producto vectorial del elemento de longitud dl por la inducción magnética B:

 

Aquí es un vector de módulo dI cuyo sentido coincide con el vector densidad de la corriente j en el conductor (III.7.2.3o).

La fuerza de Ampere F que actúa en el campo magnético sobre un conductor con corriente y de longitud finita constituye donde la integración se extiende a toda la longitud del conductor.

En el caso de un campo magnético uniforme (p.3o),

siendo  el ángulo entre el vector densidad de la corriente en el conductor y el vector B. en la fig. III.10.1 se muestra la disposición mutua de los vectores dF, B ydI. Si dI ^ B, el sentido de la fuerza dF se halla por la regla de la mano izquierda; si se dispone la mano izquierda abierta, con el pulgar separado y los cuatro dedos juntos, de modo que el vector inducción magnética entre por la palma normalmente y los cuatro dedos senalen el sentido de la corriente eléctrica, el pulgar indicara el sentido de la fuerza que actúa sobre el conductor con corriente que se encuentra en el campo magnético. En la fig. III.10.1 se puede ver que el vector dF está dirigido perpendicularmente al plano que pasa por los vectores dl y B, de manera que, desde el extremo de dF, el giro más corto desde el vector dl hasta el vector Bse verá que se realiza en sentido contrario al de las agujas del reloj. En otras palabras, el sentido del vector dF coincide con el producto vectorial [dlB].

5o. De la ley de Ampere se deduce que el vector de inducción magnética en el SI es numéricamente igual que al limite de la relación entre la fuerza que ejerce el campo magnético sobre un elemento del conductor con corriente eléctrica, y el producto de intensidad de la corriente por dicho elemento, cuando la longitud de éste tiende a cero y el elemento está situado en el campo de tal modo que el limite antedicho adquiere el valor máximo:

En el sistema de unidades de Gauss (IX), donde  es la constante electrodinámica (IX).

6o. La fuerza de Ampere no es central (I.2.3.4o), a diferencia de las fuerzas electrostáticas (III.1.2.2o). Esta fuerza es perpendicular a las líneas de inducción magnética y a los conductores con corriente.

§ III.10.2. Ley de Biot-Savart-Laplace

1o. La ley de Biot – Savart – Laplace define la inducción magnética en un punto cualquiera del campo magnético generado por la corriente eléctrica continua que pasa por un conductor cuya forma puede ser la que se quiera. El vector dB de la inducción magnética en un punto cualquiera C del campo magnético generado por un elemento del conductor de longitud dl y con corriente I, se calcula por la formula

en la que dl es el vector de la longitud (III.10.1.4o); r, el radio vector trazado desde el elemento del conductor dl hasta el punto C (fig. III.10.2); r, el modulo del radio vector r; k, un coeficiente que sólo depende del sistema de unidades de medida que se elija; y m, una magnitud adimensional que caracteriza las propiedades magnéticas del medio, denominada permeabilidad magnética relativa del medio. La permeabilidad m no depende de las unidades de medida que se elijan, y para el vacío es igual a la unidad. Para todas las substancias, excepto las ferromagnéticas, m difiere poco de la unidad (III.13.5.1o).

La definición general de m puede verse en el III.13.4.5o.

2o. En el sistema internacional de unidades SI, , donde  H/m es la constante magnética (IX). En el sistema de Gauss, , siendo  cm/s la constante electrodinámica (IX).

La ley de Biot – Savart –Laplace en el SI tiene la forma: 

.

      Esta forma de escribir la ley de Biot – Savart –Laplace y todas las ecuaciones del campo electromagnético, se llama racionalizada.

Al producto  se le da a veces el nombre de permeabilidad magnética absoluta del medio.

En el sistema gaussiano de unidades, .

El módulo dB del vector dB es

donde es el ángulo entre los vectores  y r.

     3o. Se denomina intensidad del campo magnético H la característica vectorial del campo magnético que, para un medio homogéneo isótropo, se relaciona con Bdel modo siguiente:

La relación universal entre los vectores B y H para el campo magnético en un medio arbitrario, así como una definición mas general del vector intensidad H, se dan en III.13.4.4o.

La intensidad del campo magnético de una corriente eléctrica en un medio homogéneo isótropo no depende de las propiedades magnéticas de éste:

donde  es el ángulo entre los vectores  y r.

4o. De la comparación de las características vectoriales de los campos eléctrico (E y D) y magnético (B y H) se deduce que el vector intensidad del campo eléctrico E es análogo al vector inducción B del campo magnético. Tanto el uno como el otro determinan la acción de la fuerza de los campos y dependen de las propiedades del medio en el cual se generan esos campos.

El vector H de intensidad del campo magnético es análogo al vector D de desplazamiento eléctrico (III.2.3.1o).

5o. Una carga eléctrica q, moviéndose en un medio homogéneo e isótropo ilimitado con velocidad v, engendra un campo magnético cuya inducción Bq se calcula por la formula

donde  es el ángulo entre los vectores v y r, y r es el radio vector trazado desde la carga en movimiento hasta el punto considerado A del campo. Los vectores B_q y H_q están dirigidos perpendicularmente al plano que pasa por los vectores v y r.

Si q > 0, desde el extremo del vector B_q (y H_q), el giro más corto desde v hasta r se verá que se efectúa en sentido contrario al de las agujas del reloj (fig. III.10.3, a). Si q < 0, B_q, (y H_q) estará dirigido en sentido contrario (fig. III.10.3, b). El campo magnético de una carga en movimiento es variable, ya que al moverse la carga q, incluso en el caso en que v = const, el radio vector r cambia de módulo y de dirección. El campo magnético de una carga móvil dependiente del ángulo (vr) no tiene simetría esférica, como en el caso del campo electrostático de una carga puntal (fig. III.1.2.3o). Este campo magnético posee simetría especular respecto de la dirección de v: es máximo en los puntos del plano que pasa por la carga, y es perpendicular al vector v (a condición de que v<< c). En todos los puntos del campo, situados en la recta que coincide con el vector v, no existe campo magnético.

§ III.10.3. Algunos casos simples de campo magnético generado por corrientes continuas

1o. Valiéndose de la ley de Biot – Savart – Laplace se pueden hallar las características del campo magnético (B y H) de la corriente eléctrica que pasa por un conductor de dimensiones finitas y forma arbitraria. Por el principio de superposición de los campos (fig. III.2.2.2o), la inducción magnética B en un punto cualquiera del campo magnético de un conductor de corriente I constituye

donde dB es la inducción magnética del campo engendrado por un elemento del conductor de longitud dl. La integral se extiende a toda la longitud del conductor L.

2o. Un conductor rectilíneo N M con corriente I genera en un punto cualquiera A un campo magnético de inducción B e intensidad H (En todos los ejemplos del párrafo III.10.3 se supone que el medio es homogéneo e isótropo y ocupa todo espacio donde se encuentra el campo magnético.):

donde  es la distancia desde el punto A hasta el conductor;  y son los ángulos que forman los radios vectores trazados desde el extremos inicial y final del conductor hasta el punto A (fig. III.10.4); m, la permeabilidad magnética relativa del medio; y , las constante magnética en el SI (fig. III.10.2.2o).

Para un conductor rectilíneo infinitamente largo, (; )

3o. Campo magnético en el centro de un conductor rectangular con corriente I:

donde a y b son los lados del rectángulo.

4o. El momento magnético de un contorno con corriente I, de la forma arbitraria, constituye

siendo n el vector unidad de la normal externa al elemento dS de la superficie S limitada por el contorno con corriente. En el caso de un contorno plano, la superficie S será plana y todas las normales tendrán el mismo sentido, por lo que

El vector  está dirigido de tal modo que desde su extremo se ve la corriente pasar por el contorno en sentido contrario al de las agujas del reloj (fig. III.10.5).

5o. El campo magnético generado por una espira circular con corriente, en un punto cualquiera A del eje de esa espira (fig. III.10.6) tendrá

Aquí Pm es el momento magnético de la espira circular con corriente (p. 4o).

Los módulos de los vectores B y H son

en los que h es la distancia desde el punto A hasta el centro de la espira; R, el radio de esta última; y S, su superficie.

6o. El campo magnético en el centro de la espira circular (p. 5o) tendrá

Los módulos de los vectores B y H son

El campo magnético está dirigido según el eje de la espira y es perpendicular al plano de la misma (fig. III.10.6).

7o. El toroide es una bobina anular cuyas espiras van arrolladas sobre un núcleo en forma de toro (fig. III.10.7). El campo magnético de un toroide está íntegramente localizado dentro de su volumen.

Las características del campo magnético del toroide se calculan por las formulas siguientes

La inducción magnética B y la intensidad H del campo magnético en la línea axial del toroide constituyen

Aquí N es el numero de espiras del toroide con corriente I; r, el radio de cierta circunferencia trazada dentro del toro; , siendo  y , respectivamente, los radios externo e interno del toro; y n, el numero de espiras por unidad de longitud de la línea axial del toroide.

8o. Solenoide es una bobina cilíndrica de gran número de espiras de conductor  que forman una línea helicoidal. Si las espiras de tocan o están muy cerca unas de otras, el solenoide se considera como un sistema de corrientes circulares del mismo radio (unidas en serie), cuyo eje es común.

El momento magnético de un solenoide (p. 4o) es igual a la suma vectorial de los momentos magnéticos de sus N espiras:

donde I es la intensidad de la corriente en las espiras del solenoide e; S, el área de su sección transversal; y n, el vector unidad de la normal a la superficie S. el vector Pm está dirigido según el eje del solenoide, y su sentido coincide con el del campo magnético definido por la regla del sacacorchos (III.10.1.3o).

La inducción magnética B y la intensidad H del campo del solenoide en un punto arbitrario A que se encuentre en su eje, serán

donde  es el número de espiras por unidad de longitud del solenoide;  y , los ángulos bajo los cuales se ven desde el punto A los extremos del solenoide (<).

   ,    

L es la longitud del solenoide (fig. III.10.8); y R, el radio de la bobina cilíndrica.

9o. Si L>>R, en el campo magnético dentro del solenoide, en los puntos de su eje bastante alejados de los extremos, tendremos

La inducción magnética B y la intensidad H del campo magnético de un solenoide suficientemente largo, en los puntos de su eje que coinciden con los extremos, son numéricamente iguales a

Colaboración de los estudiantes:
Diana Teresa Parra Sánchez
Jerson Leandro Moreno Murillo
Javier Darío Cadena