Mecánica – Capitulo 3 – Trabajo y energía mecánica

 

§ 1.3.2. Energía cinética

     1°. Se da el nombre de energía cinética de un cuerpo a la energía de su movimiento mecánico. La variación de la energía cinética W_c de un punto material por la acción de una fuerza F, es igual al trabajo realizado por esta fuerza,

siendo p = mv el impulso del punto material, y m y v, respectivamente, su masa y velocidad. En la mecánica newtoniana m = const y la expresión para la energía cinética del punto material tiene la forma

     De la energía cinética en la mecánica relativista se trata en 1.5.7.1°.

     2°. La energía cinética de un sistema mecánico es igual a la suma de las energías cinéticas de todas las partes del sistema. Por ejemplo, para un sistema compuesto de re puntos materiales,

donde m_i y v_i son, respectivamente, la masa y la velocidad del i-ésimo punto del sistema.

     La energía cinética de un cuerpo

en que v es la velocidad de los puntos de un pequeno elemento de volumen dV del cuerpo, cuya densidad es p y su masa dm = ρdV. La integración se extiende a todo el volumen V del cuerpo. Si éste es rígido, tiene la masa m y está animado de movimiento de traslación con la velocidad v, su energía cinética W_c = mv²/2. La energía cinética del cuerpo en rotación se estudia en 1.4.3.3° y 1.3.3.5°.

3°. La variación de la energía cinética de un sistema mecánico es igual a la suma algebraica de los trabajos de todas las fuerzas externas e internas que actúan sobre dicho sistema (1.2.2.4°),

     Por ejemplo, para un sistema compuesto por n puntos materiales

donde r_i es el radio vector del i-ésimo punto; F^ext, la resultante de las fuerzas externas que actúan sobre este punto, y F_ii = 0.
Si el sistema es indeformable, el trabajo de las fuerzas internas

     Por ejemplo, la variación de la energía cinética de un cuerpo rígido animado de movimiento de traslación

siendo F^ext el vector resultante de las fuerzas externas (1.2.5.2°), y dr, el vector desplazamiento elemental del cuerpo.

     4°. La energía cinética de un sistema mecánico depende del sistema de referencia que se elija. Si en el sistema inercial de referencia K la energía cinética del sistema es W_c, y en el sistema de referencia K’, animado de movimiento de traslación con la velocidad V respecto de K, es igual a W’_c, entonces

donde m es la masa del sistema; p’ = mv’_C, el impulso del sistema en su movimiento con respecto al sistema de referencia K’; v’_C, la velocidad del centro de inercia del sistema con respecto  a K’. Esta relación es válida tanto para V = const, es decir, cuando K’ es un sistema inercial de referencia, como para dV/dt ≠ 0.

En particular, si el sistema de referencia K’, se desplaza con respecto a K con movimiento de traslación de velocidad v_C del centro de inercia del sistema, o sea, si V = v’_C, entonces v’_C = 0 y

     Esta igualdad expresa el teorema de Koenigs: la energía cinética de un sistema mecánico es igual a la suma de la energía cinética que tendría un punto material de masa igual a la de todo el sistema y que se moviera con la velocidad de su centro de inercia, y de la energía cinética del mismo sistema en su movimiento con respecto al sistema de referencia móvil con origen en el centro de inercia.

     Del teorema de Koenigs se deduce que la energía cinética de un cuerpo rígido es igual a la suma de la energía cinética del movimiento de traslación de este cuerpo con la velocidad de su centro de inercia, y de la energía cinética de la rotación del cuerpo alrededor del centro de inercia.

 

§ 1.3.3. Energía potencial

     1°. Se llama energía potencial la parte de la energía de un sistema mecánico que sólo depende de su configuración, es decir de la posición mutua de todas las partículas (puntos materiales del sistema y de sus posiciones en el campo de potencial externo (1.3.1.6). La disminución de la energía potencial al trasladarse el sistema desde una posición arbitraria 1 a otra posición arbitraria 2 se mide por el trabajo A₁₂ que realizan al ocurrir esto todas las fuerzas potenciales (internas y externas) que actúan sobre el sistema,

aquí W_p (1) y W_p (2) son los valores de la energía potencial del sistema en las posiciones inicial y final. Respectivamente, el trabajo de las fuerzas potenciales durante una pequena variación de la configuración del sistema δA = dW_p.

     Observación. Se supone que las fuerzas potenciales externas son estacionarias, o sea, pueden variar con el tiempo solamente como consecuencia del cambio de posición del sistema considerado con respecto al sistema de referencia. En el caso contrario

     En el caso más simple, en que el sistema es un punto material situado en un campo de potencial, la relación entre la fuerza F que actúa sobre el punto y la energía potencial W_p de este  punto en el campo tiene la forma

     La energía potencial del punto material W_p está ligada con la función de la fuerza (1.3.1.9°) del campo de potencial correspondiente por la relación:

siendo C la constante de integración.

     2°. Las relaciones del p. 1 permiten hallar la dependencia de la energía potencial del sistema respecto de su configuración solamente con la exactitud de hasta un sumando constante arbitrario que no influye en la variación de la energía. Para obtener la dependencia unívoca de la energía potencial del sistema respecto de su configuración, en cada caso concreto se elige la llamada configuración de referencia o nula, en la cual la energía potencial del sistema se considera convencionalmente igual a cero. De este modo la energía potencial del sistema en un estado arbitrario es igual al trabajo que realizan todas las fuerzas potenciales que actúan sobre él al pasar del estado que se considera al estado correspondiente a la configuración de referencia.

      3°. Ejemplo 1. Energía potencial de un punto material en un campo de fuerzas homogéneo. Supongamos que F es la fuerza que ejerce el campo sobre el punto y que está dirigida a lo largo del eje OZ, es decir, F = F_zk, donde k es el versor del eje OZ, y la proyección F_z de la fuerza F sobre el eje OZ no depende de las coordenadas del punto. Entonces

donde W_p (0) es el valor de la energía potencial del punto material al nivel de z = 0.

     En particular,  la energía potencial de un punto material de masa m que se encuentra en el campo homogéneo de la  gravedad cerca de la superficie de la Tierra (si el eje OZ está dirigido verticalmente hacia arriba y F_z = — mg,  siendo g la aceleración de caída libre) es igual a

     4°. Ejemplo 2. Energía potencial de un punto material en un campo de fuerzas centrales. En un campo de potencial de fuerzas centrales sobre el punto material actúan unas fuerzas F que en todas partes están dirigidas a lo largo de rectas que pasan por un mismo punto fijo, llamado centro de fuerzas, y que sólo dependen de la distancia r hasta dicho centro:

Aquí r es el radio vector trazado desde el centro de fuerzas hasta el punto considerado del campo, y F_r (r) es la proyección de la fuerza F sobre la dirección del vector r, que sólo depende de la distancia r. Si el punto material es atraído hacia el centro de fuerzas, F_r (r) = — | F | < 0, si por el contrario, el punto es repelido por dicho centro, F_r (r) = | F | > 0. El trabajo elemental de la fuerza F

     La energía potencial del punto material

Por lo general, como punto de referencia de la energía potencial se toma la energía de un punto material que se halla a una distancia infinita del centro de fuerzas, es decir, se supone que W_p (oo) = 0:

     De ejemplos de campo de fuerzas central, en el cual la fuerza es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia hasta el centro de fuerzas (F_r(r) ~ r^-2), pueden servir los campos gravitatorios de un punto material y de una bola homogénea, el campo electrostático de una carga puntual, así como los de una esfera y una bola en las que, respectivamente, la carga esté repartida con uniformidad por la superficie y por el volumen.

     5°. Ejemplo 3. Energía potencial de un sistema de dos puntos materiales entre los cuales actúan fuerzas centrales, es decir fuerzas que dependen de la distancia entre los puntos y están dirigidas a lo largo de la recta que los une entre sí.

En la fig. 1.3.3 se muestran las fuerzas de repulsión mutua F₁₂ y F_2l = — F₁₂:

donde ρ = r₂ — r₁ es el radio vector trazado desde el punto 1 hasta el punto 2, y F_p (p), la proyección de la fuerza F₂₁ sobre la dirección del vector ρ, que sólo depende de la distancia ρ entre los puntos. Una pequena variación de la energía potencial del sistema

     Si admitimos que W_p  tiende a cero  cuando ρ  tiende a infinito, entonces

     Esta energía suele llamarse energía potencial mutua de dos puntos materiales.

     6°. Ejemplo 4. Energía potencial de un cuerpo elástico (por ejemplo, de un muelle) al estirarse o comprimirse longitudinalmente. Cuando un cuerpo elástico se deforma surgen en él fuerzas potenciales internas (fuerzas de elasticidad) que dificultan su deformación. Según la ley de Hooke la fuerza elástica F_elást con que el cuerpo que se deforma A (fig. 1.3.4) actúa sobre el cuerpo B que provoca la deformación, es proporcional a la magnitud de la deformación:

Aquí xi es el vector traslación del cuerpo B, que caracteriza la deformación del cuerpo A (en estado no deformado x = 0 durante la compresión x > O y durante la extensión x < 0); k > 0 es el coeficiente que caracteriza las propiedades elásticas del cuerpo A.

La energía potencial del cuerpo deformado (en ausencia de la deformación, o sea, cuando x = 0, esta energía se considera nula)

§ 1.3.4. Ley de conservación de la energía mecánica

     1° Se llama energía mecánica o energía mecánica total, la energía del movimiento mecánico y de la interacción. La energía mecánica W de un sistema de puntos materiales es igual a la suma de su energía cinética W_c y de la energía potencial W_p de la interacción de estos puntos entre sí y con los cuerpos
externos:

     El incremento elemental de la energía mecánica del sistema durante un pequeno intervalo de tiempo dt

donde  es la suma algebraica de los trabajos elementales realizados durante el tiempo dt por todas las fuerzas no potenciales, externas e internas, que actúan sobre el sistema. El  es la variación que durante el tiempo dt experimenta la energía potencial del sistema y, respectivamente, su energía mecánica total, debida al carácter no estacionario de las fuerzas potenciales externas (1.3.3.1°).

     2°. Si el sistema es conservativo (1.3.1.7°), = 0 y . Respectivamente, la energía mecánica de este sistema W = const, es decir, es válida la siguiente ley de conservación de la energía mecánica: cuando un sistema conservativo se mueve, su energía mecánica no varía.

     En particular esta ley es justa para los sistemas conservativos cerrados: la energía mecánica de un sistema cerrado no varía con el tiempo, si todas las fuerzas internas que actúan en dicho sistema son potenciales o no realizan trabajo.

     La ley de conservación de la energía mecánica está relacionada con la homogeneidad del tiempo. Esta propiedad del tiempo se manifiesta en que las leyes del movimiento de un sistema cerrado (o de un sistema que se encuentra en un campo exterior estacionario) no dependen del punto (instante) de referencia del tiempo que se elija. Por ejemplo, en la caída libre de un cuerpo en el campo potencial estacionario de la gravedad cerca de la superficie de la Tierra, la velocidad del cuerpo y el espacio recorrido por él sólo dependen de lo que dure la caída libre y de la velocidad inicial, pero no del instante concreto en que el cuerpo empezó a caer.

     3°. La energía mecánica de un sistema cerrado no conservativo varía a expensas del trabajo que realizan todas las fuerzas internas no potenciales:

     Las fuerzas giroscópicas (1.3.1.7°) no realizan trabajo ni hacen aportación a δA_n._p, es decir, la existencia de estas fuerzas en el sistema no provoca variación de su energía mecánica.

     La acción de las fuerzas disipativas (1.3.1.7°), por ejemplo las fuerzas de rozamiento, ocasiona una disminución paulatina de la energía mecánica del sistema cerrado. Este proceso se llama disipación de la energía. Respectivamente, un sistema cuya energía mecánica disminuye continuamente con el tiempo, recibe el nombre de sistema disipativo. Durante la disipación de la energía se produce la transformación de la energía mecánica del sistema en otras formas de energía (por ejemplo, en energía del movimiento desordenado de las moléculas). La transformación de la energía mecánica se efectúa de acuerdo con una de las leyes generales de la naturaleza, la ley de conservación de la energía (11.2.2.7°).

     Según esta ley, la energía puede pasar de una forma a otra y redistribuirse dentro del sistema, pero su cantidad total en un sistema cerrado debe permanecer constante. De la ley de conservación y transformación de la energía se deduce que la variación de la energía de un sistema no cerrado que se produce al interaccionar éste con el medio exterior (con los cuerpos y campos externos), debe ser numéricamente igual y de signo contrario a la variación de la energía del medio exterior. En otras palabras, la variación de la energía del sistema al interaccionar con el medio exterior debe ser  igual  a la energía que dicho sistema recibe del exterior en el proceso que se considere.

     4°. En todos los sistemas mecánicos reales actúan fuerzas de resistencia y de rozamiento, como consecuencia de lo cual todos estos sistemas son no conservativos. Pero en algunos casos se pueden considerar aproximadamente como conservativos y aplicarles la ley de conservación de la energía mecánica. Esto es posible si en el proceso considerado el trabajo A_n._p de todas las fuerzas no potenciales que actúan sobre el sistema son desprecíales por su pequenez en comparación con la energía mecánica W del sistema, es decir, si, de manera que

donde=es la variación de la energía mecánica del sistema.

     5°. Se llama estado de equilibrio mecánico de un sistema el estado del cual dicho sistema sólo puede ser sacado como resultado de la acción de una fuerza exterior. En este estado todos los puntos materiales del sistema se hallan en reposo, ya que la energía cinética del sistema es igual a cero. El estado de equilibrio mecánico se dice que es estable si una pequena acción exterior sobre el sistema sólo produce una pequena variación
de su estado. Al ocurrir esto surgen en el sistema fuerzas que tienden a restituirlo a su estado de equilibrio. El estado de equilibrio mecánico se llama inestable si el sistema, por pequena que sea la acción externa que se ejerza sobre él, sale de dicho estado y no retorna más a él. En este caso surgen fuerzas que hacen que el sistema se siga desviando del estado de equilibrio.

     La ley de conservación de la energía mecánica permite indicar las condiciones de equilibrio de los sistemas conservativos: en los estados de equilibrio estable la energía potencial del sistema tiene mínimos, y en los estados de equilibrio inestable, máximos.

     6°. Basándose en la ley de conservación de la energía mecánica se puede esclarecer cuál es la región de las posibles configuraciones del sistema conservativo (1.3.3.1°). La energía cinética del sistema W_c 3 0. Por esto, si se da el valor W de la energía mecánica del sistema, este último sólo puede encontrarse en los estados que satisfacen la condición W_p L W. La fig. 1.3.5 corresponde al caso más simple, en que un punto material efectúa un movimiento unidimensional a lo largo del eje OX en un campo externo de potencial estacionario. La energía potencial del punto es función solamente de una coordenada x, es decir, W_p = W_p (x). La gráfica de esta dependencia, representada en la fig. 1.3.5, se llama curva de potencial. Si se fija el valor W de la energía mecánica del punto material que muestra la fig. 1.3.5, dicho punto se puede mover permaneciendo en una de las tres regiones siguientes: x L x₁ (región /), x₂ L xL  x₃ (región ///) y x 3 x₄ (región V).

Éstas se encuentran separadas entre sí por las regiones II y IV de las llamadas barreras de potencial aeb y cgd, dentro de cuyas fronteras no puede hallarse el punto. En las fronteras de las barreras de potencial (puntos a, b, c y d) el punto material invierte el sentido de su movimiento, con la particularidad de que en la región / el punto puede alejarse indefinidamente hacia la izquierda desde la frontera o de la barrera, y en la región V, hacia la derecha desde la frontera d. En la región /// el punto material oscila entre los puntos b y c, encontrándose en el llamado pozo de potencial bfc.

 

§ 1.3.5. Choque perfectamente elástico e inelástico

     1°. Se llama choque, colisión o percusión el encuentro de cuerpos en el cual, durante un pequeno intervalo de tiempo, se produce una importante variación de sus velocidades. Son ejemplos de choque el golpe descargado con un martillo sobre una pieza puesta en el yunque para ser forjada o sobre la cabeza e un clavo para clavarlo, etc.

Se da el nombre de línea de choque a la normal común trazada a las superficies de los cuerpos que participan en la colisión en el punto en que entran en contacto durante el choque. Se dice que el choque es central, si en el instante de la colisión los centros de inercia (1.2.3.3°) de los cuerpos percutientes se encuentran en la línea de choque. De ejemplo de este choque sirve la colisión de dos esferas. El choque recibe el nombre de directo si, antes de la colisión, las velocidades de los centros de inercia de los cuerpos que se encuentran están dirigidas paralelamente a la línea de choque. En el caso contrario se dice que el choque es oblicuo.

     2°. Al chocar, los cuerpos se deforman y en los puntos de contacto surgen fuerzas, de acción efímera pero muy importantes, llamadas fuerzas de choque. Para los sistemas de cuerpos que chocan estas fuerzas son internas (se supone que los cuerpos que chocan son libres (1.2.2.3°) o que las ligaduras que se les imponen son tales, que no surgen reacciones de ligadura por el choque)  es decir, no varían el impulso total del sistema. Las fuerzas externas que actúan continuamente sobre el sistema (como, por ejemplo, la gravedad) son generalmente muy pequenas en comparación con las de choque. Por esto, aunque los impulsos de las fuerzas de choque (1.2.4.2°), durante el tiempo T que dura la colisión, son comparables con los impulsos de los cuerpos que chocan (1.2.3.4°), el impulso resultante de todas las fuerzas externas que actúan continuamente durante este mismo intervalo de tiempo T, es pequeno comparado con los impulsos de los cuerpos. Respectivamente, el trabajo que realizan las fuerzas externas sobre el sistema durante el tiempo T, también es pequeno en comparación con la energía mecánica del sistema. De este modo, en el proceso de la colisión, el sistema de cuerpos se puede considerar aproximadamente como cerrado (1.2.2.4°), y para calcular los resultados del choque hay que utilizar las leyes de conservación del impulso (1.2.7.1°), del momento del impulso (momento de la cantidad de movimiento) (1.4.4.1°) y de la energía (11.2.2.7°). Si durante el choque los cuerpos se deforman como perfectamente elásticos, las fuerzas de choque son potenciales y en el sistema se cumple la ley de conservación de la energía mecánica (1.3.4.2°).

     3°. El choque de dos cuerpos se llama absolutamente inelástico si después de él ambos cuerpos se mueven como si fueran uno sólo. Ejemplos bastante aproximados de choque absolutamente inelástico son los procesos como el golpe de la maza de un martinete en el pilote que se clava, o el impacto de una bala en una carretilla cargada de arena, en la cual se atasca aquélla. El choque inelástico se produce en los cuerpos que se encuentran procesos de distinto tipo (deformación plástica, rozamiento, etc.) como resultado de los cuales la energía cinética del sistema se transforma parcialmente en energía interna del mismo (11.2.1.2°).

     Si dos cuerpos de masas m₁ y m₂ animados de movimiento de traslación con las velocidades v₁ y v₂ sufren un choque central, directo, absolutamente inelástico, después de él estarán también animados de movimiento de traslación con la velocidad

     Observación. En el caso de un choque absolutamente inelástico arbitrario que sea directo y central, esta fórmula permite hallar la velocidad del centro de inercia de los cuerpos que se unen al chocar. Pero como resultado de esta colisión se puede producir también una rotación del sistema alrededor de su centro de inercia, de acuerdo con la ley de conservación del momento del impulso (1.4.4.1°).

     4°. La variación de la energía cinética de un sistema de dos cuerpos que se encuentran produciéndose un choque central, directo, absolutamente inelástico, es

     En particular, si el segundo cuerpo estaba en reposo antes del choque (por ejemplo, el pilote que se clava con el martinete o la pieza de forja que descansa en el yunque, la disminución relativa de la energía cinética del sistema, al producirse el noque central, directo, absolutamente inelástico será

     El choque central, directo,  absolutamente  inelástico se utiliza en la técnica para cambiar la forma de los cuerpos (forja, estampado, remachado, etc.) o para desplazar cuerpos en un medio que ofrece gran resistencia (clavar clavos, pilotes, etc.). En el primer caso conviene que la relación — DW_c/W_c1  se aproxime lo más posible a la unidad, es decir, es necesario que  (la masa de la pieza que se forja y del yunque debe ser muchísimo mayor que la masa del martillo). En el segundo caso, al contrario, hace falta que las pérdidas de energía cinética durante el golpe sean las menores posibles, o sea, que (la masa del martillo debe ser mucho mayor que la del clavo que se desea clavar).

     5°. El choque de dos cuerpos se llama perfectamente elástico si en él no varía la energía mecánica del sistema, es decir, si los cuerpos son perfectamente elásticos.

     Ejemplo 1. Choque directo, central, perfectamente elástico de dos cuerpos (por ejemplo, de dos esferas) de masa m₁ y m₂ que antes de la colisión estaban animados de movimiento de traslación con las velocidades v₁ y v₂ a lo largo del eje OX (fig. 1.3.6, a) que pasa por sus centros de inercia. Las velocidades de los cuerpos después del choque u_x y u₂ (fig. 1.3.6., b) se pueden hallar partiendo de las leyes de conservación del impulso y de la energía mecánica:

Las velocidades u₁ y u₂ están dirigidas a lo largo del eje OX, y sus proyecciones sobre este eje son

     En particular, si las masas de los cuerpos son iguales, al chocar intercambian sus velocidades: u_lx = v_2x y u_2x = v_lx.

Si la masa del segundo cuerpo es mucho mayor que la del primero, entonces u_lx » 2v_2x — v_1x  y  u_2x » v_2x.

     6°. Ejemplo 2. Choque central, oblicuo, perfectamente elástico. Si los cuerpos son lisos, el impulso de las fuerzas de rozamiento durante el choque se puede despreciar. En este caso no varían las componentes tangenciales de las velocidades de los cuerpos, es decir, las componentes perpendiculares a la línea de choque:  y .  Las componentes normales, dirigidas a lo largo de la línea de choque, varían lo mismo que si éste fuera directo:

     En particular, en el choque oblicuo, perfectamente elástico, de una esfera lisa con una pared plana fija (, u₂ = v₂ = 0)

es decir, la esfera rebota en la pared de acuerdo con la ley de reflexión especular: el ángulo de reflexión es igual al ángulo de incidencia. El valor numérico de la velocidad se conserva: u₁ = v₁. El vector variación del impulso de la esfera Dp₁, al chocar está dirigido perpendicularmente a la pared:

El impulso de la fuerza de choque que actúa sobre la pared es igual a 2m₁v_ln.