Una bola pequeña y pesada fue lanzada en dirección horizontal con una velocidad inicial . Hallar las aceleraciones normal y tangencial de la bola, al pasar un tiempo desde el comienzo del movimiento.

Solución:

La aceleración total de la bola en cualquier punto de la trayectoria, es igual a (aceleración de caída libre). La aceleración normal es , donde es el ángulo formado por la tangente a la trayectoria con la vertical. La aceleración tangencial es . De las consideraciones geométricas elementales, se puede obtener:

Por lo tanto

Determinar la magnitud de la aceleración del cuerpo que se desliza sin velocidad inicial por el canal helicoidal con paso y el radio al final de la enésima vuelta (fig. 11). Menospreciar el rozamiento.

Solución:

El movimiento del cuerpo puede ser analizado como la superposición del movimiento por la circunferencia de radio en un plano horizontal y de la caída por la vertical. Así la velocidad del cuerpo, en un momento dado, puede ser considerada como una suma geométrica de dos componentes: , que está dirigida horizontalmente, y que está dirigida verticalmente (fig. 288). El ángulo es el ángulo formado por la línea helicoidal del canal con la horizontal.

La aceleración del cuerpo en el movimiento curvilíneo es igual a la suma geométrica de las aceleraciones tangencial y normal. La aceleración normal que corresponde al movimiento por la circunferencia es . El movimiento
por la vertical es rectilíneo por eso
La aceleración incógnita es donde y son las aceleraciones tangenciales correspondientes al movimiento circular y a lo largo de la vertical. La aceleración tangencial total, evidentemente, es igual a Podemos encontrarla si desenvolvemos mentalmente en el plano la superficie del cilindro, en la cual está atornillado el canal helicoidal. En este proceso el canal se transforma en un plano inclinado de altura nh y de longitud de la base . Está claro que Para la determinación de para la determinación de encontramos b partiendo del principio de conservación de la energía . Por lo tanto, Sustituyendo las aceleraciones encontramos en la expresión para la aceleración incógnita, recibimos:

La velocidad de la corriente del río crece proporcionalmente a la distancia desde la orilla, alcanzando su valor máximo en el centro del río. Junto a las orillas la velocidad de la corriente es igual a cero. Un bote flota por el río de modo que su velocidad con relación al agua es constante y perpendicular a la corriente. Hallar la distancia, a la cual será llevado el bote por la corriente durante el paso si la anchura del río es . Determinar también la trayectoria del bote.

Solución:

Tomemos como origen de referencia del sistema de coordenadas el punto a, punto de partida del bote. La dirección de los ejes esta indicada en la (fig.289) el movimiento del bote en:

Dirección perpendicular a la corriente sucede con una velocidad constante . Por eso el bote se encontrará a una distancia de la orilla dentro del tiempo después de la partida. Examinemos el movimiento del bote hasta el medio del río
. A una distancia de la orilla la velocidad de la corriente será Sustituyendo en la expresión de la velocidad de la corriente obtenemos que: .De la última relación se deduce que el movimiento del bote en dirección paralela a las orillas será realizado con aceleración constante . El bote alcanzará el medio del río durante el tiempo
.En este mismo intervalo de tiempo, el bote será llevado aguas abajo a una distancia Al moverse desde el medio del río (punto D) basta la orilla opuesta el bote será llevado por la corriente a una distancia adicional . De tal modo, la distancia buscada será igual a Durante el movimiento del bote hasta el medio del río, tenemos:

De estas relaciones determinamos . La trayectoria del bote desde el punto hasta : (parábola). La segunda mitad de la trayectoria tendrá el mismo carácter que la primera.

Dos carriles están unidos formando entre sí un ángulo recto. Por ellos se mueven dos carritos unidos median­te una barra articulada de longitud . El carrito (fig. 12) comienza a moverse del punto de intersección de los carriles y sube uniformemente con una velocidad. Determinar la ley del movimiento y la velocidad del carrito .

Solución:

La ley de movimiento del carrito es , La ley de movimiento del carrito es el movimiento del carrito B a lo largo del carro horizontal puede ser representado como la suma de dos movimientos independientes: un movimiento verticalmente hacia arriba con velocidad y un movimiento de rotación alrededor del punto , con cierta velocidad Mediante las consideraciones geométricas elementales deducimos que donde
es la distancia del carrito hasta el origen de las coordenadas. De ahí obtenemos

Un cuerpo fue lanzado con velocidad inicial , bajo un ángulo con la horizontal. ¿Cuánto tiempo dura este vuelo? ¿A qué distancia del lugar de lanzamiento caerá el cuerpo? ¿Con qué valor del ángulo a la dis­tancia del vuelo será la máxima?

¿A qué altura estará el cuerpo dentro de un intervalo de tiempo desde el comienzo del movimiento? ¿Cuáles serán la magnitud y el sentido de la velocidad del cuerpo en este momento? Considerar que es mayor que el tiempo de la elevación del cuerpo hasta la altura máxima. Menospreciar la resistencia del aire.

Solución:

Las coordenadas y las velocidades del cuerpo respecto al sistema de referencia representado en la (fig. 290), en cualquier momento de tiempo se determinan por las siguientes expresiones:

En estas expresiones son las proyecciones de la velocidad inicial en los ejes , respectivamente. Las ecuaciones (1), (2), (3) y (4) permiten responder a todas las preguntas planteadas en el problema. El tiempo
de vuelo se determina por la ecuación (2). Para , tenemos , de donde . La distancia del vuelo es . El valor máximo de se obtiene para . En este caso tenemos . La altura, en la cual se encontrará el cuerpo, pasado un tiempo , es igual a . La velocidad del cuerpo en el momento de tiempo es , donde

De ahí la velocidad es Esta velocidad forma con la vertical un ángulo que se determina por la igualdad

Determinar la trayectoria del movimiento del cuerpo lanzado bajo un ángulo respecto a la horizontal (véa­se el problema 40).

Solución:

Las coordenadas del cuerpo cambian con el tiempo según la ley:

Excluyendo de estas expresiones el tiempo, recibimos la siguiente ecuación:

Esta es la ecuación de una parábola. Designando por las coordenadas del vértice de la parábola (punto en la (fig.290), podemos escribir la ecuación de la trayectoria de la siguiente forma: donde:

Es necesario lanzar desde el suelo una pelota a través de una pared vertical de altura H que se encuentra a una distancia S (fig. 13). ¿Para qué velocidad inicial mínima esto se realizará? ¿Bajo qué ángulo con relación a la horizontal deberá estar dirigida en este caso la velocidad?

Solución:

La trayectoria de la pelota pasa por el punto con coordenadas Por lo tanto (véase el problema 41):
De esta expresión recibimos:
,
donde . El valor mínimo de se obtiene para y es:

La prueba de la espoleta de una granada de fragmenta­ción se realiza en el centro del fondo de un pozo cilíndrico de profundidad H. Los fragmentos que se for­man durante la explosión y cuyas velocidades no sobre­pasan vq no deben caer en la superficie de la tierra. ¿Cuál debe ser el diámetro mínimo D del pozo?

Solución:

Conociendo , de la ultima ecuación recibimos dos valores para que corresponde a la trayectoria curva y recta, o dos valores iguales (en caso crítico), o ninguno (fragmento de granada no alcanza el borde del pozo). De este modo el pozo debe ser tal que esta ecuación no tenga soluciones:

De estas expresiones se deduce que si entonces puede tener cualquier valor; si entonces.

Un cuerpo fue lanzado al agua desde un despeñadero abrupto de altura H. La velocidad inicial del cuerpo v0 forma un ángulo con la horizontal. ¿A qué distan­cia de la orilla caerá el cuerpo? ¿Dentro de qué tiempo después de comenzar el movimiento, el cuerpo estará a una altura h sobre el agua? ¿Qué velocidad tendrá el cuerpo en el momento de su caída al agua?

Solución:

Las coordenadas y las velocidades del cuerpo en cualquier momento de tiempo respecto al sistema de referencia, representado en la (fig.292), se determina por las mismas ecuaciones que en el problema 41. En el momento de caída del agua la coordenada del cuerpo es .Por eso el tiempo de vuelo se determina por la ecuación:

De esta expresión recibimos que

Puesto que , es preciso tomar el signo positivo. La distancia hasta la orilla es

El tiempo necesario para que el cuerpo alcance una altura sobre el agua es:

Si , entonces existe sentido físico solamente para el signo positivo. Para

, existe sentido físico para ambas soluciones. El cuerpo, durante su caída, estará dos veces a la misma altura sobre el agua.

La velocidad final puede ser encontrada con mas facilidad mediante el principio de conservación se la energía.

De esta ecuación se deduce que

¿Bajo qué ángulo respecto a la horizontal es necesario lanzar una piedra desde el despeñadero abrupto del río para que ésta caiga al agua a una distancia máxima de la orilla? La altura del despeñadero es y la velocidad inicial de la piedra es .

Solución:

En el sistema de referencia, representado en la (fig. 293), las coordenadas de la piedra en cualquier momento de tiempo se determinan por las siguientes ecuaciones:

En el momento de caída de la piedra , donde es la distancia de vuelo de la piedra. Resolviendo estas ecuaciones con relación al ángulo , decimos que

Esta expresión tiene sentido solamente para

De ahí obtenemos que , de esta manera . Para valores menores de a cada valor de le corresponde dos valores del ángulo, cuya diferencia es tanto menor cuanto mas próximo sean los valores de al máximo. Por lo tanto, para la distancia máxima de vuelo:

¿Con qué velocidad mínima deberá ser lanzado un cuerpo desde la cumbre de una torre de altura h para que éste caiga a una distancia S del pie de la torre?

Solución:

El movimiento del cuerpo se describe por las ecuaciones;

De donde recibimos:

donde es un ángulo cualquiera. Por consiguiente, tenemos:

Un objeto lanzado bajo un ángulo α respecto al horizonte se está observando por un anteojo colocado en el punto de lanzamiento. ¿Para qué ángulos α habrán momentos durante el movimiento del cuerpo cuando su velocidad será perpendicular al eje del anteojo?

Solución:

En cualquier momento de tiempo, el anteojo forma con la horizontal tal ángulo , que donde

(son las coordenadas del objeto). El vector de velocidad del objeto forma con la horizontal un ángulo además Por la condición del problema: utilizando la formula recibimos la ecuación Resolviendo esta ecuación tenemos

Esta expresión tiene sentido solamente para (se obtienen dos diferentes o iguales valores reales de

Un bombardero en picado tira una bomba desde la altura , estando a una distancia del objetivo. La velocidad del bombardero es. ¿Bajo qué ángulo respecto a la horizontal debe picar el bombardero?

Solución:

El trayecto , recorrido por la bomba en dirección horizontal, es , donde es el tiempo de caída de la bomba. El trayecto recorrido por la vertical es (fig. 294). Excluyendo el tiempo de estas ecuaciones, obtenemos

La solución tiene sentido físico sólo teniendo el signo positivo. El signo negativo corresponde a , o sea el caso en que la bomba se tira cuando el avión vuela hacia arriba.

Una bola cae libremente desde la altura sobre un plano inclinado que forma un ángulo con la horizontal (fig. 14). Encontrar la relación de las distancias entre los puntos, en los cuales la bola saltando toca el plano inclinado. Los choques de la bola con el plano se consideran absolutamente elásticos.

Solución:

La solución del problema se simplificará sensiblemente, si los ejes de las coordenadas están dirigidos a lo largo del plano inclinado y perpendicularmente a él. (fig. 295). En este caso, las proyecciones de la aceleración de la bola en los ejes serán iguales a y respectivamente. La velocidad de la bola en el momento del primer choque con el plano inclinado será La velocidad inicial de la bola, después del primer choque, es y forma con el eje un ángulo (fig. 295). La distancia entre los puntos del primero y segundo choques con el plano inclinado es

donde es el tiempo de vuelo. Este tiempo se determina por la ecuación

Resolviendo esta ecuación, obtenemos que y La velocidad de la bola en el momento del segundo choque se determina por las igualdades:

Terminados los choques, estas velocidades serán

La distancia entre los puntos del segundo y tercer choques es igual a

donde es el tiempo de vuelo. Puesto que la velocidad inicial a lo largo del eje es la misma que durante el primer choque, entonces t2=t1; y, por consiguiente,

De modo análogo puede demostrarse que la distancia entre los puntos siguientes es De este modo, recibimos la relación:

Del punto (fig. 15) se tiran simultáneamente dos objetos con la misma velocidad inicial bajo diferentes ángulos y respecto a la horizontal. ¿Cuál será la velocidad del movimiento de los objetos el uno respecto al otro? ¿Cuál será la distancia entre los objetos al pasar un tiempo ? (El movimiento de los objetos es de avance).

Solución:

Las componentes de las velocidades de los cuerpos a lo largo de los ejes e se determinan, en cualquier momento de tiempo, de la siguiente manera:

                  
                        

Sea la velocidad del primer cuerpo con relación al segundo. Entonces

De modo este, la velocidad es igual a

Los cuerpos se mueven el uno respecto al otro con velocidad constante. Pasado un intervalo de tiempo , la distancia entre ellos será

De una torre fueron tirados piedras en todas las direc­ciones posibles con velocidad inicial Resultó que la piedra que alcanzó la tierra por una trayectoria más suave, tenía en el momento de la caída un vector de velocidad que formaba un ángulo con la horizontal. Determinar la altura de la torre.

Solución:

La velocidad de cualquier piedra, en un lanzamiento dirigido a la tierra es igual a Una piedra que vuela por una trayectoria más suave, posee la mayor velocidad horizontal que es igual a . Por lo tanto,

, de donde .

Una bola elástica se tira desde una mesa de altura h, transmitiéndole cierta velocidad horizontal. En el momento cuando la bola experimentaba uno de los infinitos choques elásticos con el suelo, de la misma mesa fue lanzada horizontalmente otra bola con tal velocidad, que ésta choque con la primera. ¿A qué altura chocaron?

Solución:

La primera bola salta del suelo, teniendo la componente vertical de la velocidad . Su coordenada vertical es , mientras que la coordenada vertical de la segunda bola es. En el momento de encuentro y1=y2, de donde concluimos que las bolas se encontraran a una altura de 0.75h.

Un proyectil se lanza de un cañón con velocidad inicial .Determinar la «zona de seguridad», es decir, el lugar geométrico de todos los puntos del espacio, donde el proyectil no podrá caer.

Solución:

Según las solución del problema 43 deducimos que el proyectil no alcanzará el punto situado a una altura y, si la distancia horizontal de este punto hasta el cañón no satisface la desigualdad

.

Así, el límite de la llamada «zona peligrosa» se determina por la ecuación

La sección de tal superficie (paraboloide) tiene la forma de una
parábola que coincide con la trayectoria del proyectil, lanzado
horizontalmente con velocidad del cañón, situado a una
altura .

La oruga de un tractor está compuesta de n eslabones. La longitud de cada eslabón es igual a a. Los radios de las ruedas, en las cuales se colocan las orugas, son R. El tractor se mueve con la velocidad v. Se supone que la oruga no se comba.

1) ¿Cuántos eslabones de la oruga se mueven en un momento dado, de un modo progresivo, cuántos reposan (respecto a la tierra) y cuántos eslabones toman
parte en el movimiento giratorio?

2) El tractor recorrió un trayecto S >> na. ¿Cuánto tiempo cada eslabón de la oruga se movía progresiva­ mente, cuánto tiempo reposaba y cuánto tiempo participaba en el movimiento giratorio?

Solución:

1) Designemos por L = na la longitud de la oruga. Entonces es la distancia entre los ejes de las ruedas.
En el movimiento de translación participan eslabones. El igual número de eslabones se encuentra en reposo con relación a la tierra. En el movimiento giratorio toman parte eslabones.

2) El tiempo de movimiento del tractor es . En una rotación completa de la oruga, un eslabón recorre el trayecto 2l, moviéndose de avance con velocidad igual a 2v. El tiempo del movimiento de avance del eslabón en una rotación es . En total la oruga da vueltas. De este modo, el tiempo para el movimiento de avance de un eslabón es . El eslabón permanece en reposo el mismo tiempo y participará en el movimiento giratorio durante el tiempo

.

Para que vire un tractor que se mueve con una veloci­dad , el tractorista frena una de las orugas de modo que el eje de la rueda motriz comienza a avanzar con velocidad . La distancia entre las orugas es ¿De qué radio será la vuelta que da el centro del trac­tor?

Solución:

Designemos por R el radio que buscamos y por ω la velocidad angular del movimiento del tractor por el arco. Entonces resulta que, . (Fig. 296)
De estas ecuaciones recibimos que

,

En las montañas puede observarse el siguiente fenómeno: una estrella desaparece rápidamente «a simple vista» tras una cumbre alejada. (Naturalmente, el mismo fenómeno puede observarse también en una planicie si hay una construcción bastante alta y bien alejada.) ¿Con qué velocidad es preciso correr para ver la estrella durante todo el tiempo a una misma distancia angular de la montaña? La distancia entre el observador y la cumbre de la montaña es de 10 km. La observación se realiza en el polo.

Solución:

Inicialmente el observador se encuentra en el polo (punto, fig. 297). El eje de la Tierra pasa por el punto O perpendicularmente al diseño. OA (es paralelo a BC) está dirigido a la estrella. La montaña se encuentra a la derecha del punto A. es el ángulo en el cual gira el globo terrestre durante el tiempo, ω es la velocidad angular de rotación de la Tierra.
Para ver la estrella el observador debe recorrer, en este intervalo de tiempo, una distancia igual a . La velocidad del observador es .

Un disco continuo rueda sin deslizamiento por el sector horizontal del camino con una velocidad cons­tante v (fig. 16).

Fig. 16

1) Demostrar que la velocidad lineal de rotación respecto al centro O de cualquier punto del disco que se encuentra en su diámetro exterior es igual a la
velocidad del movimiento de traslación del disco.

2) Determinar el valor y el sentido de la velocidad de los puntos A, B, C y D situados en el diámetro exte­rior del disco respecto a un observador fijo.

3) ¿Qué puntos del disco tienen respecto a un obser­vador fijo la misma velocidad, por su valor absoluto, que el centro del disco?

Solución:

1) En el intervalo de tiempo de una rotación completa T, el disco recorrerá un trayecto igual a la longitud de la circunferencia del disco, es decir, , donde r es el radio del disco. De esta manera, la velocidad de avance de cualquier punto del disco es . Por otro lado, la velocidad lineal de rotación con relación al centro O de los puntos que se encuentran en el diámetro exterior del disco, es igual a , donde ω es la velocidad angular de rotación. En estas condiciones tenemos , entonces , lo que se tenía que demostrar.
2) La velocidad de los puntos del diámetro exterior con relación a un observador inmóvil, está compuesta de dos velocidades: el movimiento de avance y giratorio. Para el punto A la velocidad resultante será 2v. Para los puntos B y D las velocidades son iguales en valor absoluto, y su suma es igual a (fig. 298, a). Para el punto C la velocidad resultante con relación a un observador inmóvil, es igual a cero, ya que las velocidades de los movimientos de avance y giratorio son iguales en valor absoluto y están dirigidas en sentidos opuestos.
3) Las velocidades instantáneas de los puntos del diámetro AC crecen directamente proporcional a la distancia del punto C. Por eso, el movimiento del disco, en un determinado momento de tiempo, puede ser analizado como el movimiento giratorio
alrededor de su punto de contacto con el plano. El eje que pasa por el punto C, perpendicularmente al plano del disco, se denomina eje instantáneo de rotación. Este eje se desplaza durante el movimiento del disco, pasando todo el tiempo por
el punto de contacto del disco con el plano. Por lo tanto, en un determinado momento de tiempo, todos los puntos del disco que están equidistantes del punto C, tendrán la misma velocidad resultante con relación al observador inmóvil. Los
puntos, situados a una distancia del eje instantáneo (del punto C) igual al radio del disco, tendrán la misma velocidad en valor absoluto que la velocidad del eje, o sea, v (fig. 298, b).


fig. 17

Una varita AB de longitud l se mueve en el plano del diseño (fig. 17) de modo que en un momento de tiempo dado la dirección de la velocidad de su extremo A forma un ángulo α, y la velocidad del extremo B, un ángulo β con la varita. El valor de la velocidad del extremo A es v. Determinar el valor de la velocidad del extremo B. Encontrar la posición del eje fijo perpendicular al plano del diseño con relación al cual la varita gira en el momento de tiempo que se examina, (o sea, hallar la posición del eje instantáneo de rotación de la varita).

Solución:

La componente de la velocidad a lo largo de la varita para todos los puntos de ésta será única e igual a . Por consiguiente, la velocidad del extremo de la varita B es igual a . El movimiento de la varita puedo analizarse como la suma del movimiento de avance a lo largo de AB con velocidad u y giratorio simultáneo alrededor del eje que es perpendicular al plano del diseño y que pasa por un punto O de la varita. La distancia del punto O hasta el extremo de la varita A puede determinarse fácilmente de la relación

El movimiento de la varita, en un determinado momento de tiempo, también puede analizarse como movimiento giratorio alrededor del eje O’ que es perpendicular al plano del diseño y está situado en la perpendicular de OO’ a la AB. La distancia
OO’ será:

.

Representar gráficamente la distribución de las velo­cidades a lo largo de la varita AB en las condiciones del problema anterior.

Solución:

La distribución de las velocidades de diferentes puntos de la varita está representada en la fig. 299. La velocidad de un punto arbitrario C de la varita en magnitud es igual a

y está dirigida perpendicularmente a la recta trazada del punto O’ (véase el problema anterior) al punto dado C.

Muchas hormigas tiran de un pedazo de corteza del árbol que tiene forma de un triángulo equilátero. Se sabe que en cierto momento de tiempo la velocidad
del vértice B es igual a v y está dirigida a lo largo de la línea AB y la velocidad del vértice C tiene la direc­ción de la línea CB. Encontrar la velocidad del vértice
C en el mismo momento.

Solución:

Un coche de turismo va por una carretera horizontal tras de un camión. Entre los neumáticos dobles de las ruedas traseras del camión se atrancó una piedra ¿a que del camión deberá ir el coche a fin de que la piedra desprendida de las ruedas del camión no dé en el coche? Los dos automóviles van con una velocidad de 50km/h

Solución:

Este problema es más cómodo resolverlo usando un sistema de coordenadas relacionado al movimiento uniforme de los automóviles. En este sistema la carretera se mueve hacia atrás con velocidad los ruedas giran. La velocidad lineal de los puntos situados en la circunferencia de la rueda y la velocidad lineal de la piedra presa serán también iguales a v. la piedra recorrerá la distancia máxima, si se desprende las ruedas en el momento en que su velocidad forma con la horizontal un ángulo de . Encontremos esta distancia. Despreciando la circunstancia de que automóviles están en reposo el uno respecto al otro y sus en el momento del desprendimiento la piedra se halla en un nivel mas alto que el nivel de la carretera, obtenemos la distancia máxima que es la distancia entre los automóviles no podrá ser menor que 19.6m.

En la pantalla cinematográfica se proyecta un carruaje en movimiento. Los radios de las ruedas delanteras del carruaje son 0.35m y de las ruedas traseras, las ruedas delanteras tienen rayos. En una cámara de filtración la película gira con una velocidad de 24 cuadros por segundo. Al considerar que las ruedas del carruaje se mueven sin deslizamiento, determinar la velocidad mínima con la cual debe ir el carruaje para que los espectadores tengan la impresión de que las ruedas delanteras del carruaje en la pantalla están inmóviles. ¿Qué número mínimo de rayos deben tener en este caso las ruedas traseras paras que ellas también parezcan inmóviles?

Solución:

El ángulo entre los rayos vecinos de la rueda delantera es Para Un Espectador la rueda no girará, si en el intervalo de filmación de dos imágenes consecutivas ), ella gira en un ángulo donde es un número entero positivo. Por otro lado, el ángulo de giro de la rueda en el intervalo de tiempo T es , donde es la velocidad angular de la rueda. Por consiguiente, la rueda delantera parecerá estar inmóvil, si t°= En estas condiciones, la velocidad del carruaje es este tendrá el valor mínimo igual a Las ruedas traseras también parecerán estar inmóviles, si de donde obtenemos que para

¿Para qué velocidades del movimiento del carruaje que va de izquierda a derecha (véase los datos del problema 62) los espectadores tendrán la impresión de que?:

1) los rayos de las ruedas giran en sentido antihorario?

2) los rayos de las ruedas delanteras y traseras giran en sentidos opuestos?

El número de los rayos de las ruedas delanteras y traseras es el mismo e igual a 6.

Solución:

Tenemos la impresión de que los rayos girarán en sentido antihorario, si en el intervalo de tiempo T (véase el problema 62) la rueda gira en un ángulo P que satisface la siguiente condición donde k = 1,2,3…Las posiciones consecutivas de los rayos de la rueda, para este caso, están representadas en la figura 300 a Un espectador tendrá la impresión de que cada rayo giro en un ángulo impresión de que cada rayo giró en un ángulo en sentido antihorario. Los valores posibles de la velocidad angular se encuentran, respectivamente, en el intervalo:

Una bobina que consta de la parte cilíndrica y de dos discos iguales y continuos rueda con una velocidad constante , sin deslizamiento mediante su parte cilíndrica por una barra áspera, colocada horizontalmente (fig. 18) el radio de la parte cilíndrica es , de los discos es . ¿Que velocidad tienen los puntos y que se encuentran en el diámetro exterior de uno de los discos?

Solución:

Por el punto C (fig. 301) pasa el eje instantáneo de rotación (véase el problema 57). Por eso, el punto A tiene una velocidad

Igual a El punto posee una velocidad

Igual a

¿Qué puntos de los discos (véase el problema anterior) tienen una velocidad instantánea, igual por su valor a la velocidad del eje de la bobina?

Solución:

La velocidad instantánea, igual a la velocidad del eje de la bobina, es la velocidad de los puntos situados en la circunferencia de radio , cuyo centro es el punto

Trazar las trayectorias de los puntos ,y de la bobina (fig. 19) que rueda mediante su parte cilíndrica por una barra sin deslizamiento.

Solución:

Las trayectorias de los puntos ,y están representadas en la (fig.302) .El punto describe una cicloide simple; los puntos y describe una cicloide alargada y reducida, respectivamente.

Un cojinete de bolas sostiene el externo del eje de un árbol que gira con velocidad angular el diámetro del eje del árbol es (fig.20) y el del aro del cojinete es . Encontrar la velocidad lineal del movimiento del centro de una de las bolas si el aro es fijo y si este gira con velocidad angular. Considerar que en ambos casos las bolas giran por el árbol y el aro sin deslizamiento.

Solución:

La velocidad lineal de los puntos en la circunferencia del árbol es . La velocidad lineal de los puntos del diámetro exterior es .Puesto que las bolas ruedan sin deslizamiento, las velocidades instantáneas de aquellos puntos de la bola, los cuales en un determinado momento tocan el árbol y el diámetro exterior, serán también iguales a . Pero la velocidad instantánea de cualquier punto de la bola puede ser considerada como la suma de dos velocidades: la velocidad del movimiento de su centro y la velocidad lineal del movimiento lineal del movimiento giratorio alrededor del centro. La rotación de la bola se realizara con cierta velocidad angular (fig. 303). Por eso de donde .

En esta expresión cada una de las velocidades angulares pueden ser tanto positiva (rotación en sentido horario), como negativa (rotación en sentido antihorario). Para , tenemos que

Un cono rueda sin deslizamiento por un plano. El eje del cono gira con una velocidad en torno de la vertical que pasa por su vértice. La altura del cono es y el ángulo formado por el eje y la generatriz es . ¿Cuál es la velocidad angular de rotación del cono alrededor de su eje? Determinar la velocidad lineal de un punto arbitrario del diámetro de la base del cono situado en el plano vertical.

Solución:

Como el cono rueda sin deslizamiento, los puntos de la generatriz (fig. 304) deben estar fijos. De esta condición se determina la velocidad de rotación del cono en torno de su propio eje. Para el punto de esta condición obtenemos . La velocidad de un punto arbitrario del diámetro de la base del cono se compone de dos velocidades:

Donde es la distancia del punto dado hasta el centro de la base. Para un punto , situado mas abajo del centro , tendremos:

El punto extremo inferior tiene una velocidad nula y el punto extremo superior, una velocidad.

En la (fig. 21) está representada esquemáticamente la diferencial de un automóvil necesaria para que las ruedas del automóvil no deslicen al pasar por un sector curvilíneo del trayecto. (No obstante, las ruedas deben girar con diferentes velocidades.) El motor hace girar la rueda , con la que está rígidamente unido al eje . Alrededor del eje puede girar libremente un par de engranajes cónicos . Este par de engranajes cónicos por los cuales este primero gira. El eje de las ruedas motrices del automóvil (como regla, las traseras) está cortado por el medio y en los extremos del eje están colocados los engranajes y . Estas mitades del eje pueden girar con diferentes velocidades angulares, siempre unidos con la diferencial. Hallar la relación entre las velocidades angulares de la diferencial. Si los radios de los engranajes son iguales a y los radios de los engranajes y son iguales a

Solución:

En los lugares de embargue de los engranajes cónicos y, así como de y , las velocidades lineales deben ser iguales. Como el engranaje gira alrededor del eje con velocidad y el propio eje gira en otro plano con velocidad , entonces para el embargue de las ruedas y tiene lugar la igualdad .

Para el embargue de las ruedas y se verifica la igualdad análoga siguiente: . Resolviendo estas igualdades obtenemos y .

Para una velocidad determinada de la rueda , accionada por el motor, las velocidades angulares de las ruedas motrices del automóvil se diferenciaran la una de la otra en un valor que vario de cero hasta

Cuatro tortugas se encuentran en los ángulos de un cuadrado con lado . Las tortugas empiezan a andar simultáneamente con una velocidad, constante por su magnitud, dirigiéndose la primera tortuga todos l tiempo a la segunda, la segunda a la tercera, la tercera a la cuarta y la cuarta a la primera.

¿Se encontraran o nó las tortugas? Si se encuentran ¿después de cuánto tiempo ocurrirá esto?

Solución:

Partiendo de los conceptos de simetría, es evidente que, en cualquier momento de tiempo las tortugas estarán en los ángulos del cuadrado, cuyo lado disminuye todo el tiempo (fig. 305). La velocidad de cada tortuga puede descomponer en una velocidad radial (dirigida al centro) y en una velocidad perpendicular a la radial. La velocidad radial, o sea, la velocidad de aproximación al centro, será . Cada tortuga pasara hasta el centro una distancia . De este modo, las tortugas se encantaran en el centro del cuadrado dentro de un intervalo de tiempo .

Desde un sector rectilíneo de la orilla salieron el mismo tiempo dos buques y que inicialmente se encontrara en a una distancia el uno del otro. El buque navegaba por una recta perpendicular a la orilla. El buque siempre mantenía el rumbo hacia el primer buque , teniendo en cada momento la misma velocidad que el buque . Es evidente que dentro de un intervalo del tiempo suficientemente grande el segundo buque irá detrás del primero, encontrándose a cierta distancia de éste último. Hallar esta distancia.

Solución:

El buque se mueve en dirección al buque con velocidad . Al mismo tiempo, el buque se aleja del con velocidad (fig. 306). De esta manera la distancia disminuye con velocidad . El punto (proyección del punto en la trayectoria del buque ) se mueve con velocidad . Como resultado, la distancia aumenta con velocidad . Así, la suma de las distancias pertenece constante durante el movimiento de los buques. En el movimiento inicial el punto coincidía con el punto y por eso . después de un intervalo suficientemente grande de tiempo, el punto coincidirá con el punto . En esta condición tendremos . Dos buques se moverán a una distancia de el uno del otro.

Dos placas de acero y de altura (fig. 22) están en la arena. La distancia entre las placas es . Sobre la placa rueda uniformemente una bola. Cuya velocidad no se conoce exactamente. No obstante se sabe que esta velocidad está en el intervalo de a .

1) ¿Para qué altura no se puede predecir la dirección de la velocidad de la bola por la horizontal en el momento de su caída en la arena? (Hasta su caída en la arena la bola choco contra a placa por lo menos una vez.)

2) ¿Para qué altura mínima de las placas no se puede pronosticar el lugar de caída de la bola en el sector ? Menospreciar el tiempo de choque de la bola contra la placa. El choque se considera absolutamente elástico.

Solución:

El movimiento de la bola puede examinarse como la suma d los movimientos por la vertical (uniformemente acelerado) y por la horizontal (movimiento uniforme).

La solución del problema se simplificará, si construimos el grafico de la dependencia de la coordenada da la bola a lo largo de la horizontal en función del tiempo para los valores limites de la velocidad de y (fig. 307). Las líneas quebradas inferior y superior corresponden a al velocidad de la bola máxima y mínima, respectivamente. Con el tiempo,

Como se ve en el gráfico, la indeterminación de la coordenada de la bola, dada por el segmento de la recta horizontal, encerrada entre las líneas del gráfico, aumenta. El sombreado vertical en la (fig. 307) corresponde al movimiento de la bola de a y el horizontal corresponde al movimiento de a . Las regiones de intersección de los sombreados corresponden a la indeterminación en dirección de la velocidad horizontal.

1) Directamente del gráfico se deduce que la dirección de la velocidad de la bola por la horizontal, después de haber saltado una vez de la placa, será indeterminada para el tiempo de caída . Consecuentemente, .

2) La bola podrá caer en cualquier punto de la base, sobre la cual están situadas las placas, si el tiempo de caída de la bola . Por lo tanto, .