§III.3.1. Trabajo realizado al trasladar una carga eléctrica en un campo electrostático.
1o. El trabajo que se realiza al trasladar una carga eléctrica 
en un campo electrostático de intensidad E (III.2.1.2o), no depende de la forma descrita por esa carga al trasladarse, sino únicamente de las posiciones inicial y final de la misma. Dicho de otra forma, las fuerzas electroestáticas. Lo mismo que las de gravitación, son fuerzas potenciales (1.3.1.6o). El trabajo 
realizado por la fuerza 
que actúa sobre la carga , al trasladarla en un segmento dl, constituye
donde (
) es el ángulo entre las direcciones de los vectores 
y .
En una translación finita de la carga q´ desde un punto a a un punto b, el trabajo será
donde es el producto escalar de los vectores y .
Fig. III.3.1.
2o. Si el campo fue creado por unas carga puntual q, entonces
y el trabajo realizado al trasladar la carga 
desde el punto 
al punto 
en este campo, será
Siendo 
y 
las distancias desde la carga a los puntos y (fig. III.3.1).
Si las cargas 
y tienen el mismo signo, el trabajo 
de las fuerzas eléctricas de repulsión es positivo cuando las cargas se alejan una de otra, y negativo, cuando se alejan entre si.
3o. Al trasladarse una carga eléctrica en el campo creado por un sistema de cargas puntuales y 
, sobre la carga 
actúa una fuerza
Y el trabajo de la fuerza resultante es igual a la suma algebraica de los trabajos que realizan las fuerzas componentes
donde 
y 
son las distancias desde la carga 
hasta las posiciones inicial y final de las carga 
. Cada uno de los trabajos 
y el trabajo total de 
dependen de las posiciones inicial y final de la carga y no de la forma de su trayectoria.
4o. Recibe el nombre de circulación de la intensidad, siguiendo el contorno cerrado 
, la integral curvilínea;
Esta integral equivale numéricamente al trabajo que realizan las fuerzas electroestáticas cuando por un camino cerrado se traslada una carga eléctrica unitaria positiva. Como para un camino cerrado 
de acuerdo don el p.3o tenemos que
,
es decir, el trabajo a que nos referimos es nulo.
El campo de fuerzas cuya intensidad 
satisface esta condición se llama campo de potencial. El campo electrostático es un campo de potencial.
La forma diferencial de la condición de potencialidad del campo electrostático es una de las ecuaciones de Maxwell para el campo electrostático (III-14.2.1).
III.3.2. Potencial de un campo electrostático
1o. El trabajo 
(III.3.1.1o) es igual a la perdida 
de energía potencial (1.3.3.1o) de la carga 
se traslada en el campo electrostático:
y
,
donde 
y 
son los valores de la energía potencial de la carga en los puntos del campo 
y 
(fig. III.3.1).
2o. Si una carga puntual 
es trasladada por la acción de las fuerzas electroestáticas en el campo de una carga puntual 
, la variación 
de su energía potencial para una traslación infinitesimal es
.
Para una traslación finita de carga 
desde un punto 
a un punto 
(fig. III.3.1), la variación 
de la energía potencial de la carga será
(En el SI)
(en el sistema CGSE)
3o. Si la carga 
se traslada en el campo creado por un sistema de cargas puntuales (
) la variación de su energía potencial 
será
(en el SI)
(en el sistema CGSE)
siendo 
y 
las distancias entre las cargas 
y 
antes y después de trasladarse esta ultima.
4o. Para hallar el valor absoluto de la energía potencial que tiene una carga eléctrica en un punto dado de un campo electrostático, hay que elegir un punto de referencia de la energía potencial (I.1.3.1o). La integración de la ecuación del p.2o en el caso general da
en la que C es una constante arbitraria . si se considera que 
cuando r tiende al 
, entonces, 
y la energía potencial de la carga 
que se encuentra en el campo de la carga 
a la distancia r de ella, constituirá
Cuando las cargas 
tiene el mismo signo, la energía potencial de su interacción (repulsión) es positivo y cree (decrece) al aproximarse (alejarse) entre si las cargas. En caso de atracción mutua de las cargas de signos distintos. 
y aumenta hasta cero cuando una de las cargas se aleja hasta el infinito. En la fig. III.3.2 se muestra la variación de la energía potencial de dos cargas puntuales en función de la distancia entre ellas.
5o La energía potencial 
de una carga 
que se encuentra en el campo de un sistema de cargas puntuales 
, es igual a la suma de sus energías potenciales 
en los campos que crean cada unas de las cargas por separado:
Donde 
es la distancia entre las cargas 
6o Se denomina potencial de un campo electrostático la característica energética de este campo, que representa la relación entre la energía potencial 
de la carga 
y la magnitud de dicha carga:
Esta relación no depende de la magnitud de la carga y es numéricamente igual a la energía potencial de la carga de ensayo unitaria (III.2.1.2o) situada en el punto considerado del campo.
Ejemplos:
1) Potencial del campo electrostática creado por una carga puntual 
en un dieléctrico isótropo homogéneo,
2) Potencial del campo creado por un conductor cargado (III.3.4.4o) en un dieléctrico isótropo homogéneo,
(En el SI),
(En el sistema CGSE),
Donde 
es la densidad superficial de las cargas en el conductor (III.2.2.3o),
3) Potencial de una esfera conductora aislada, de radio 
y carga 
,
7o El trabajo 
que realizan las fuerzas eléctricas al trasladar una carga 
desde un punto 
un punto 
de un campo electrostática, constituye
Donde 
y 
son las energías potenciales de la carga
; 
, los potenciales del campo en los puntos 
y 
respectivamente; y 
es la diferencia de potencial. Si el punto 
se halla en el infinito, 
. Entonces el trabajo 
de traslación de la carga 
desde el punto 
al infinito será.
En virtud del carácter arbitrario del punto 
, el subíndice 
se puede suprimir y
El potencial en un punto dado del campo electrostático es numéricamente igual al trabajo que efectúan las fuerzas electrostáticas al trasladar una carga unitaria positiva desde ese punto del campo hacia el infinito. Este trabajo también es igual numéricamente al que realizan las fuerzas externas (contra las fuerzas del campo electrostático), trasladando una carga unitaria positiva desde el infinito a un punto dado del campo.
8o Al estudiar los campos electrostáticos, en todos los problemas importa conocer la diferencia de potencial entre puntos determinados del campo y no los valores absolutos de los potenciales de estos puntos. Por esto la elección del punto de potencial nulo viene determinada únicamente por la conveniencia de facilitar la resolución de un problema dado. Con frecuencia resulta conveniente considerar nulo el potencial de la Tierra.
§III.3.3 Relación entre el potencial y la intensidad de un campo electrostático.
1o El trabajo elemental 
realizado en una traslación infinitesimal de una carga q´ en un campo electrostático, basándose en las formulas de (III.3.2.1o) y (III.3.2.6o), constituyéndose en las formulas de (III.3.2.6o), constituye
O bien 
Pero 
donde 
es el elemento de longitud de la línea de fuerza (III.1.1.40 ) (fig.III.3.3) , por lo que 
. La derivada 
representa la rapidez con que varia el potencial a lo largo de la línea de fuerza, numéricamente igual a la variación del potencial correspondiente a la unidad de longitud de esta línea de fuerza.
2o La proyección 
del vector 
sobre la dirección de la traslación 
por esto
Es evidente que 
por lo que 
y alcanzan los valores máximo si 
esta dirigida tangencialmente hacia la línea de fuerza.
En las proximidades de un punto dado en el campo electrostático, el potencial varia mas rápidamente en dirección de la línea de fuerza. El vector 
esta dirigido hacia la disminución mas rápida del potencial.
30 una forma mas general de la relación entre la intensidad y el potencial de un campo electrostático es
En la que grad 
es el vector gradiente de potencial dirigido hacia la parte en que el potencial aumenta más de prisa e igual numéricamente a la rapidez de su variación por unidad de longitud en esta dirección. Si el potencial 
se considera como función de las tres coordenadas cartesianas del punto dado, entonces
Donde 
son vectores unitarios dirigidos según los ejes 
. Entre las proyecciones del vector intensidad del campo electrostático sobre los ejes de coordenadas, y el potencial del campo existen las relaciones siguientes:
4o. Si la carga eléctrica se traslada en dirección 
perpendicular a la línea de fuerza, es decir, perpendicular al vector 
, entonces 
y 
(p.1o) ó sea 
. En todos los puntos de una curva ortogonal a las líneas de fuerza el potencial es el mismo.
El lugar geométrico de los puntos de igual potencial se llama superficie equipotencial. De lo antedicho se deduce que las superficies equipotenciales deben ser en todas partes ortogonales a las líneas de fuerza.
El trabajo realizado al trasladar una carga eléctrica por una misma superficie equipotencial es nulo.
En torno a cualquier sistema de cargas eléctricas se puede trazar un conjunto infinito de superficies equipotenciales cualesquiera sean iguales.
5o. Existen dos procedimientos para representar gráficamente lo campos electrostáticos: valiéndose de las líneas de fuerza y por medio de las superficies equipotenciales. Conociendo la disposición de las líneas de fuerza del campo electrostático se pueden construir las superficies equipotenciales y, viceversa, sabiendo como están situadas las superficies equipotenciales, en cada punto del campo se puede hallar la magnitud y la dirección de la intensidad de este ultimo, es decir, se pueden construir las líneas de fuerza.
§III.3.4 conductores en un campo electrostático
1o. En los conductores metálicos sólidos existen portadores de corriente – electrones de conexión (electrones libres) – que, por la acción de un campo eléctrico externo, puede trasladarse por el volumen del conductor. Los electrones de conexión surgen cuando la sustancia del conductor metálico pasa de un estado menos condensado a otro más condensado – del estado gaseoso al líquido o sólido. En este caso se produce la (¨ socialización ¨) de los electrones de valencia (VI.2.3.9o), los cuales se separan de (´ sus ´) átomos y forman un gas electrónico peculiar.
2o. Las propiedades eléctricas de los conductores en las condiciones de la electroestática vienen determinadas por el comportamiento de los electrones de conducción y de los iones positivos del metal (VII.1.1.3o) (¨ restos atómicos ¨) se compensan mutuamente. Si un conductor metálico se encuentra en un campo electrostático externo, por la acción de este campo los electrones de conducción de distribuyen en el conductor de tal modo que, en cualquier punto del conductor, el campo eléctrico de los electrones de conducción y de los iones positivos esta compensado por el campo electrostático externo.
En cualquier punto dentro de un conductor que se halle en un campo electrostático, le intensidad del campo eléctrico resultante es nula.
3o. En la superficie del conductor, el vector intensidad 
debe estar dirigido según la norma a la superficie. En el caso contrario la componente 
del vector 
haría que las cargas se trasladasen por la superficie del conductor, lo que contradice la distribución estática de dichas cargas, de este resultado deriva una serie de consecuencias:
a)Dentro del conductor, en todos los puntos, 
; en su superficie, en todos los puntos, 
, donde 
es la componente normal del vector intensidad;
b)Todo el volumen del conductor que se encuentra en el ampo electrostático es equipotencial, tal que en cualquier punto de él
Y 
c)La superficie del conductor es equipotencial (III.3.3.4o) puesto que para cualquier línea sobre ella
Y 
d)En el conductor cargado, las cargas no compensadas se encuentran únicamente en la superficie. Esto se deduce de el teorema de Ostrogradski – Gauss (III.2.3.3o), según el cual, la carga total 
que hay dentro del conductor en un volumen limitado por una superficie cerrada cualquiera 
, constituye
Ya que 
en todos los puntos de la superficie.
4o. Si el campo electrostático lo crea un conductor cargado, el desplazamiento y la intensidad de este campo cerca de la superficie se calcula por las fórmulas
(En el SI),
En las que 
es la normal externa a la superficie del conductor 
, la densidad superficial de las cargas en el conductor (III.2.2.3o) 
, la permitividad relativa del medio (III.1.2.4o); y 
, la constante dieléctrica en el SI (III.1.2.7o).