Ejercicios – Mecánica – Estática

En los extremos de una cuerda apoyada sobre dos poleas, están colgadas dos cargas iguales (fig. 45). ¿A qué distancia bajará la tercera carga de la misma masa, si ésta se sujeta en el centro de la cuerda? La distancia entre los ejes de las poleas es igual a. El rozamiento en los ejes de las poleas existe, pero es muy pequeño.

Solución:

En la posición de equilibrio (fig. 323) tenemos y por lo tanto . La distancia que buscamos es . El equilibrio se establece después de que se amortigüen las oscilaciones provocadas por el descenso de la carga.

Una cuña isósceles de ángulo agudo está clavada en una hendidura. ¿Para qué valor del ángulo la cuña no será expulsada de la hendidura si el coeficiente de rozamiento entre la cuña y el material de la hendidura es k?

Solución:
La igualdad de las proyecciones de las fuerzas en dirección vertical (fig. 324) conduce a la siguiente ecuación:

Donde N es la fuerza de presión normal y es la fuerza de rozamiento. (La masa de la cuña puede menospreciarse.) Por consiguiente obtenemos y .

¿Cuál es la relación entre los pesos P y Q si se conoce que el sistema mostrado en la fig. 46 está en equilibrio? Las longitudes de las barras y la longitud del brazo de son dos veces mayores que la longitud de las barras y de la longitud del brazo de KO, respectivamente. Los pesos de las barras y de la palanca pueden ser prescindidos.

Solución:

Si el peso P baja en una altura h, entonces el punto K bajará en y el peso Q subirá en . Valiéndose de la regla fundamental de la mecánica, recibimos que , de donde resulta que .

Para poder mover una caja rectangular de longitud l y de altura h, a su arista superior, perpendicular a la cara se aplica una fuerza horizontal F. ¿Qué valor debe tener el coeficiente de rozamiento k entre la caja y el piso, para que la caja se mueva sin volcar?

Solución:

Si la caja no se vuelca, el momento de la fuerza F que lo hace girar en sentido antihorario alrededor de la arista de la base es menor o igual al momento de la fuerza de gravedad que hace girar la caja en sentido horario. Para que la caja se deslice, la fuerza F debe ser mayor que la fuerza de rozamiento máxima aplicada a la caja. Por consiguiente, recibimos , de donde .

Una barra homogénea, cuyo peso es P, está en el suelo. El coeficiente de rozamiento entre la barra y el suelo es k. ¿Qué es más fácil: volcar la barra en el plano horizontal respecto a su centro o mover la barra de un modo progresivo? En ambos casos dos personas mueven la barra.

Solución:

Para hacer girar la barra es necesario que el momento de las fuerzas aplicadas a los extremos de la barra sea mayor que el de las fuerzas de rozamiento, cuando estas fuerzas alcanzan su valor máximo. Las fuerzas de rozamiento se distribuyen uniformemente a lo largo de la barra (fig. 325). El brazo medio de las fuerzas de rozamiento que actúan sobre la parte izquierda o derecha de la barra es igual a , donde l es la longitud total de la barra. El momento de todas las fuerzas de rozamiento respecto al centro de la barra es . Por eso para hacer girar la barra es necesario que las fuerzas F aplicadas satisfagan la desigualdad . De donde . Para el desplazamiento de traslación de la barra es preciso que . Por consiguiente será más fácil girar la barra.

Una grúa de puente, cuyo peso es , tiene un tramo de (véase en la fig. 47). El cable, al que se cuelga la carga se encuentra a una distancia de uno de los rieles. Determinar las fuerzas de presión de la grúa sobre los rieles, al levantar una carga de de peso con una aceleración .

Solución:

La ecuación de movimiento de la carga tiene la siguiente forma: (fig.326). La suma de las fuerzas que actúan sobre la grúa verticalmente es nula. Por eso .

La suma de los momentos de las fuerzas respecto al punto A es nula, por lo tanto. .

Resolviendo este sistema de ecuaciones, encontramos que

Una palanca está doblada de tal modo que sus lados y son iguales y forman entre sí ángulos rectos (fig. 48). El eje de la palanca está en el punto B. Una fuerza P está aplicada en el punto A perpendicularmente al brazo de la palanca . Determinar el valor mínimo de la fuerza que es necesario aplicar en el punto D, para que la palanca se encuentre en equilibrio. El peso de la palanca puede menospreciarse.

Solución:

Para el equilibrio de la palanca la fuerza aplicada al punto D debe crear un momento igual a . La fuerza será mínima para el brazo máximo igual a . Por consiguiente, y está dirigida perpendicularmente a .

Entre dos cajas iguales, situadas en el suelo, fue colocado un palo que no alcanza el suelo (fig. 49). Una fuerza horizontal se aplica a la parte superior del palo, ¿Cuál de las dos cajas se moverá primero?

Solución:

Si no existe rozamiento entre el suelo y las cajas, las cajas se moverán simultáneamente. Si el coeficiente de rozamiento no es nulo, entonces primero se moverá la caja situada a la derecha (véase la fig. 49), porque la fuerza aplicada a la caja por parte del palo será mayor que la fuerza aplicada a la caja izquierda.

En efecto, por parte de la caja derecha sobre el palo actúa la fuerza contraria a F y por parte de la caja izquierda la fuerza , de igual dirección que F. La suma de las fuerzas en equilibrio es igual a cero. Por lo tanto, y la fuerza antes que la fuerza alcanzará el valor máximo de la fuerza de rozamiento de reposo.

Una esfera homogénea y pesada fue colgada por una cuerda, cuyo extremo está fijo en una pared vertical. El punto de unión de la cuerda con la esfera se encuentra en la misma vertical que el centro de la esfera. ¿Qué valor debe tener el coeficiente de rozamiento entre la esfera y la pared para que la esfera se encuentre en equilibrio?

Solución:

La suma de los momentos de las fuerzas que actúan sobre la esfera respecto al punto A es igual a cero (fig. 327) y, por consiguiente, nos conduce a la ecuación

.

Como entonces

Un ladrillo se halla en un plano inclinado perfectamente ajustado (fig. 50). ¿Cuál de las mitades del ladrillo, la derecha o la izquierda, ejerce mayor presión sobre el plano inclinado?

Solución:

A fin de que el cuerpo se encuentre en equilibrio, es necesario que la suma de los momentos de las fuerzas que tienden a girar el cuerpo en sentido horario sea igual al momento de las fuerzas que tienden a girar el cuerpo en sentido antihorario alrededor de cualquier punto (por ejemplo, alrededor del centro de gravedad). En el caso dado, el momento de las fuerzas de rozamiento que giran el ladrillo en sentido horario debe ser igual al momento de las fuerzas de presión del plano sobre el ladrillo será mayor que sobre la parte izquierda. Según la tercera ley de Newton, la fuerza de presión sobre la parte izquierda.

Para levantar un rodillo cilíndrico pesado de radio R a un escalón rectangular, se aplica a su eje una fuerza en dirección horizontal igual al peso del rodillo. Determinar la altura máxima del escalón.

Solución:

Par hacer subir el rodillo a un escalón es necesario que el momento de las fuerzas que hacen girar el rodillo en torno del punto A (fig.328) en sentido antihorario sea por lo menos igual al momento de las fuerzas que lo hacen girar en sentido horario

De donde obtenemos que . Ya que

En dos planos inclinados que forman ángulos y con la horizontal se encuentra una esfera que pesa P. Determinar la fuerza de presión de la esfera sobre cada uno de los planos inclinados si se sabe que no hay rozamiento entre la esfera y uno de los planos.

Solución:

Como en uno de los planos la fuerza de rozamiento es nula, entonces ella será nula también en el otro plano. En caso contrario, la esfera giraría alrededor del centro, pues el momento de las demás fuerzas con relación a este centro es igual a cero (debido a que son iguales a cero los brazos de cada una de las fuerzas respecto al centro de la esfera). Las sumas de las proyecciones de las fuerzas, en dirección vertical y horizontal, son iguales a cero (fig. 329). Por lo tanto recibimos

Donde y son las fuerzas de presión que buscamos. De ahí sigue que

En la pared frontal del cajón de un armario hay dos manijas situadas simétricamente. La distancia entre ellas es l y la longitud del cajón es a. El coeficiente del rozamiento entre el cajón y el armario es k. ¿Es posible abrir siempre el cajón, actuando sólo sobre una de las manijas con una fuerza perpendicular a la pared del cajón?

Solución:

Designemos por F la fuerza aplicada a una manija. Como resultado de la acción de la fuerza F, el cajón se moverá y, debido a ello, surgirán en los puntos A y B las fuerzas elásticas y (fig. 330) que actuaran sobre el cajón por parte del armario. Estas fuerzas aplicadas al cajón son iguales la una la otra; . Suponiendo que el momento de todas las fuerzas respecto al centro del cajón C es igual a cero, tenemos . El cajón se moverá si la fuerza aplicada F es mayor que el valor máximo de la fuerza de rozamiento de reposo, es decir, . Para satisfacer la última desigualdad es preciso que .

Sobre un tronco rugoso, situado horizontalmente, fue equilibrada una tabla homogénea (Fig. 51). Después de que aumentaron el peso de uno de sus extremos, se observo que el equilibrio se alcanza cuando en la tabla forma un ángulo con el plano horizontal ¿Cuál es el coeficiente de rozamiento entre la tabla y el tronco?

Solución:

La tabla inclinada bajo un ángulo respecto a la horizontal en un tronco rugoso es análoga al cuerpo mantenido por las fuerzas de rozamiento sobre un plano inclinado qe tiene un ángulo de base . Entonces tenemos que en las condiciones de equilibrio . Considerando , obtenemos que

El extremo superior de una escalera se apoya en una pared vertical lisa y el extremo vertical de la escalera esta sobre un suelo áspero. El coeficiente de rozamiento entre la escalera y el suelo es k. determinar para que ángulo entre la escalera y la pared, la escalera quedara en equilibrio.

Solución:

Las fuerzas aplicadas a la escalera se muestran en la Fig. 331. en caso de equilibrio, la suma de las proyecciones de las fuerzas, a lo largo de la vertical y horizontal, serán igual a cero. De este modo, y Considerando que la suma de los momentos de fuerzas con relación al punto B es nula, obtenemos una ecuación más:

Resolviendo el sistema, tenemos que . Como la fuerza de rozamiento satisface la desigualdad entones para el equilibrio obtenemos la siguiente condición que es necesaria y suficiente: .

Resolver el problema anterior considerando que la pared no es lisa y que el coeficiente de rozamiento entre la escalera y la pared es también igual a k.

Solución:

Las fuerzas aplicadas a la escalera se representan en la Fig. 332. Considerando que la suma de las fuerzas y la de los momentos de fuerzas son iguales a cero, obtenemos que

Una barra fina homogénea AB de longitud l esta en la superficie horizontal de una mesa. Una cuerda de longitud 2l fue atada al extremo B de la barra Fig. 52. ¿Cómo se moverá la barra si el otro extremo de la cuerda C se eleva lentamente a lo largo de la recta vertical inmóvil DO que atraviesa el extremo A de la barra? Despreciar el peso de la cuerda.

Solución:

Si en el momento cuando el extremo de la barra B comienza a elevarse, el valor de la fuerza de rozamiento será suficiente para impedir que el extremo A se deslice, entonces la barra comenzará a girar alrededor del punto A. En caso contrario, el extremo A comienza a deslizar hasta el momento cuando la fuerza de rozamiento no sea suficiente para mantener la barra en equilibrio (Fig. 333). Luego la barra comenzara a girar entorno al extremo A. Determinemos que valores deberá tener el coeficiente de rozamiento k para que el deslizamiento cese bajo el ángulo determinado entre la barra y la cuerda. La igualdad de las fuerzas en el momento cuando la barra esta casi en posición horizontal, conduce a las ecuaciones

La igualdad de os momentos de fuerza respecto al punto A se escribirán en la siguiente forma:

.

Utilizando el sistema de ecuaciones dado, encontramos que

A fin de que la barra no deslice, es necesario que

¿Para que valores del coeficiente de rozamiento el hombre que corre por un camino recto y duro, no resbalara? El ángulo máximo entre la línea vertical y la línea que una el centro de gravedad del hombre que corre con el punto de apoyo , es igual a α.

Solución:

La suma de los momentos de fuerza que actúan sobre el hombre respecto a su centro de gravedad es igual a cero .Por eso la fuerza F de reacción de la tierra esta obligatoriamente dirigida al centro de gravedad del hombre C(fig.334).la componente horizontal de esta fuerza no puede ser mayor que la fuerza máxima de rozamiento de reposo ,o sea , , de donde .

Una escalera fue apoyada contra la pared vertical lisa de una casa. el ángulo entre la escalera y la superficie horizontal de la tierra es . La longitud de la escalera es l . su centro de gravedad se encuentra en el medio.¿Como esta dirigida la fuerza con que la tierra ejerce sobre l escalera?

Solución:

Sobre la escalera actúan fuerza de gravedad P, la fuerza F de reacción de la tierra y la reacción del apoyo N. como la pared es lisa , la fuerza N (Fig.335) es perpendicular e ella . la dirección de la fuerza F es mas fácil determinar , si encontramos el punto respecto el cual los momento de las P y N son nulos . Este punto será el punto de intersección de las rectas ON y OP. Entonces el momentos de fuerza F respecto a este punto deberá ser también igual a cero . Por lo tanto, la fuerza deberá estar dirigida de modo que su prolongación pase por el punto O, como vemos en la Fig. 335, la dirección de la fuerza F forma con la escalera un ángulo . La fuerza de reacción de la tierra que actúa sobre la escalera estará dirigida a lo largo de la escalera solamente cuando las demás fuerzas estén aplicadas al centro de masas de la escalera o actúa a lo largo de ella.

Una escalera, cuyo centro de gravedad se encuentra en el medio, esta apoyada contra la pared y el suelo absolutamente liso Fig. 53 ¿Cuál debe ser la tensión de la cuerda atada al medio de a escalera para que esta no caiga?

Solución:

la escalera caerá inclusive si se sostiene por la cuerda atada al medio de la escalera. Los momentos de fuerzas de reacción del suelo y de la pared, así como el momento de la fuerza de tensión de la cuerda con relación al punto O son nulos para cualquier tensión T Fig. 336. El momento de la fuerza de gravedad respecto al mismo punto es diferente de cero. Por eso la escalera obligatoriamente caerá.

Por una escalera, apoyada contra una pared vertical lisa esta subiendo un hombre. La escalera comienza a resbalar solamente cuando el hombre alcanza una altura determinada. Explicar ¿Por qué?

Solución:

La pared actúa sobre la escalera con una fuerza de reacción , perpendicular a la pared. Sobre el extremo inferior de la escalera actúan las fuerza (reacción de apoyo) y (fuerza de rozamiento) Fig. 337. Si, al simplificar, no tenemos en cuenta la masa de la escalera, entonces, además de estas fuerzas sobre ello actúan el peso del hombre P. De la igualdad de las proyecciones de las fuerzas, en dirección horizontal y vertical, obtenemos que Y . Supongamos que en el momento inicial el hombre se encuentra en la parte interior de la escalera (punto A). La igualdad de los momentos de las fuerzas respecto al punto O conduce a la ecuación . De este modo tenemos que cuando mas alto esta el hombre, mayor será la fuerza pero.

Un cuadro esta colgado en una pared vertical mediante un cordón AC de longitud l, el cual forma un ángulo α con la pared. La altura del cuadro BC es igual a d (Fig. 54). La pared inferior del cuadro no esta fija. ¿Para que valor del coeficiente de rozamiento entre el cuadro y la pared el cuadro estará en equilibrio?

Solución:

En Equilibrio, la suma de las fuerzas que actúan sobre el cuadro (Fig. 338) Es nula. Por consiguiente y . La fuerza de rozamiento deberá satisfacer la desigualdad ó . La igualdad de los momentos respecto al punto B se da por la ecuación

de donde

Cuatro barras homogéneas están unidas, la una a la otra, en forma de articulación, en los puntos B, C y D (Fig. 55). Las dos barras extremas AB y DE pueden girar libremente con relación a los puntos fijos A y E que se encuentran en la línea horizontal. Las longitudes de las barras son iguales de dos en dos: AB a ED y BC es igual a CD. Las masas de la barras son iguales. Demostrar que en equilibrio los ángulos α y β se relacionan a la siguiente forma .

Solución:

Determinemos primeramente la dirección de la fuerza f con que la barra BC actúa sobre la barra CD. Supongamos que esta fuerza tenga una componente vertical dirigida hacia arriba. Entonces según la tercera ley de Newton, la barra CD actúa sobre la barra BC con una fuerza, cuya componente vertical esta dirigida hacia abajo. Pero esto contradice a la simetría del problema. De este modo la componente vertical de la fuerza f deberá ser igual a cero. La fuerza que actúe sobre la barra CD por parte de la barra DE tendrá las componentes horizontal y vertical, como se muestra en la Fig. 339, a.

Considerando que la suma de todas las fuerzas que actúan sobre la barra CD es nula, concluimos que F = mg y . Suponiendo que el momento de las fuerzas respecto a D es nulo, podemos escribir las siguientes igualdades

ó .

En la fig. 339, b se representan las fuerzas que actúan sobre la barra DE. De la condición que el momento de las fuerzas respecto al punto E es nulo, deducimos que

ó .

Por consiguiente, .

¿Cuál es el coeficiente de rozamiento entre el suelo y una caja que pesa 100 N, si la fuerza mínima necesaria para hacer mover la caja del lugar es igual a 60 N?

Solución:

Las fuerzas que actúan sobre la caja se dan en la Fig. 340. Las condiciones de equilibrio tienen la siguiente forma: y . En el momento de la perdida de equilibrio la fuerza de rozamiento alcanza su valor máximo que, sustituyéndose en las ecuaciones anteriores, nos da . El valor de Q será mínimo para el valor del ángulo que corresponde al valor máximo del denominador. Para determinar el máximo del denominador lo transformamos, introduciendo en lugar de k un nuevo valor tal, que . Así tenemos ó Como el valor máximo del es igual a 1, concluimos que de donde .

En un cilindro de masa m fue arrollada una cuerda inflexible con peso despreciable (Fig. 56). ¿Con que fuerza mínima y bajo que ángulo con relación a la horizontal es necesario tirar de la cuerda para que el cilindro, girando, se mantenga en su lugar?

El coeficiente de rozamiento entre el cilindro y el suelo es igual a k.

Solución:

Las fuerzas que actúan sobre el cilindro se muestran en la Fig. 341. Como el cilindro no tiene movimiento de traslación, podemos escribir que

y

La fuerza de rozamiento es Sustituyéndola en las ecuaciones anteriores, obtenemos:

El denominador de esta expresión puede escribirse en forma de , donde . Por tanto, la fuerza mínima con que debe tirarse de la cuerda es . El ángulo recibimos de la ecuación de donde

En la figura 57 esta presentando un esquema simplificado de la maquina de vapor y del mecanismo de biela y manivela de una locomotora. La figura 57. a y b corresponden a los momentos cuando el vapor se encuentran en las partes izquierda y derecha del cilindro respectivamente. Calcular la fuerza de tracción para estos casos, cuando el punto A se halla en una vertical con el eje de la rueda motriz. La presión del vapor en el cilindro es p, el área del embolo es S, el radio de la rueda motriz es R, la distancia OA es igual a r. la masa del mecanismo de biela y manivela, del embolo y la rueda motriz pueden ser menospreciada.

Solución:

Las fuerzas que actúan sobre el émbolo y sobre la tapa posterior del cilindro son iguales a (Fig. 342, a). Sobre el punto A de la rueda, en la dirección horizontal, actúa también la fuerza transmitida por el émbolo mediante el mecanismo de biela y manivela.

La suma de los momentos de las fuerzas que actúan sobre la rueda respecto a su eje es nula. (Se prescinde de la masa de la rueda.) Por consiguiente tenemos que donde es la fuerza de rozamiento. Como la suma de las fuerzas que actúan sobre la rueda también es nula la fuerza que actúa sobre el eje por parte de los engranajes del tren es igual a . Según la tercera ley de Newton sobre el tren por parte de eje actúan las fuerzas . Por consiguiente, la fuerza de tracción es .

En la segunda posición del pistón y del mecanismo de la biela y manivela se interceptan las fuerzas que se muestran en la Fig. 342, b. análogamente al caso anterior la fuerza de tracción es . Como era de esperar, la fuerza de tracción es igual a la fuerza de rozamiento, ya que la fuerza de rozamiento es la única fuerza externa que actúa sobre el tren.

Los ladrillos se colocan sin liga de forma que una parte de cada ladrillo sobresale ante el siguiente (Fig. 58). ¿A que distancia máxima el extremo derecho del ladrillo superior puede sobresalir el inferior que sirve de base para todos los ladrillos? La longitud de cada ladrillo es l.

Solución:

La mayor longitud de la parte saliente del ladrillo superior es igual a l/2. El centro de gravedad de dos ladrillos superiores a se encuentra a una distancia l/4 con relación al extremo del segundo ladrillo (Fig. 343). Por consiguiente, en esta longitud el segundo ladrillo puede ser desplazado respecto al tercero. El centro de gravedad de tres ladrillos superiores de donde o sea, el tercer ladrillo puede sobresalir el cuarto el cuarto no más en l/6. De modo análogo podemos determinar que el cuarto ladrillo sobresale el quinto en l/8, etc. El carácter del cambio de la longitud de la parte saliente con el aumento del número de ladrillos es evidente. La distancia máxima en que la parte derecha del ladrillo superior puede sobresalir el ladrillo inferior, que sirve de base, se escribe en forma de una serie:

Para un aumento ilimitado del número de ladrillos esta suma tiende al infinito. En efecto, la suma de la serie:

Hallar el centro de gravedad de un alambre fino y homogéneo, doblado en forma de semicírculo de radio r.

Solución:

En la circunferencia de radio r inscribimos un polígono regular (Fig.344). Determinemos, luego el momento de las fuerzas de gravedad (respecto al eje AK), aplicadas a los centros de los lados del polígono AB, BC, CD, DE, etc., considerando que a fuerza de gravedad actúa perpendicularmente al dibujo. Este momento es igual a , donde ρ es la masa de una unidad de longitud de alambre.

Analizando la semejanza de los triángulos correspondientes se puede demostrar que los productos , etc., son iguales, respectivamente, a AB’h, B’C’h, C’D’h etc., donde h es igual a la potencia del polinomio. De este modo el momento es igual a

Si el numero de los lados crece ilimitadamente, el valor h tiende a r y el momento a . Por otro lado el momento es igual al producto de la fuerza de la gravedad del alambre, , a una distancia x del centro de gravedad del eje AK. Entonces tenemos que .= de donde .

Determinar la posición del centro de gravedad de un semicírculo homogéneo y fino de radio

Solución:

Dividimos el semicírculo en triángulos y segmentos, como muestra la fig. 345. El centro de gravedad de un triángulo se encuentra, como se conoce, en la intersección de las medianas.

En este caso el centro de gravedad de cada triángulo se encuentra a una distancia del punto ( es la apotema). Para un aumento ilimitado del número de los lados los centros de gravedad de los triángulos se encontrarán en una circunferencia de radio y las áreas de los segmentos tenderán a cero. De este modo, el problema se reduce a la determinación del centro de gravedad de una semicircunferencia de radio De la solución del problema 150 se deduce que es la distancia del centro de gravedad de semicircunferencia al punto y es igual a

Determinar la posición del centro de gravedad de un alambre fino y homogéneo, curvado en forma de un arco de radio (fig. 59).

Solución:

Aprovechando el método de solución de los problemas 150, 151 se puede demostrar que el centro de gravedad se encuentra en el punto situado a una distancia del centro de curvatura del arco (véase la fig. 59).

Determinar la posición del centro de gravedad de una lámina fina y homogénea cortada en forma de un sector de radio que posee un ángulo central (fig. 60).

Solución:

Aprovechando el método de solución de los problemas 150, 151, 152 se puede demostrar que el centro de gravedad se encuentra en el punto alejado del punto a una distancia

Determinar la posición del centro de gravedad de una lámina fina y homogénea que se representa en sí un rectángulo con lados y del cual fue cortado un semicírculo de radio (fig. 61).

Solución:

Para determinar la posición del centro de gravedad de una lámina con un corte podemos considerarla continua si en ella fue colocado un semicírculo de masa negativa, igual en magnitud a la de la parte cortada. El momento de las fuerzas de gravedad de las masas, tanto positiva como negativa, respecto al eje , es igual a

Si la fuerza de gravedad actúa perpendicularmente al dibujo, es la masa de la unidad de área de la lámina (véase la resolución del problema 151). Por otro lado, este momento es igual al producto de la fuerza de gravedad de la lámina por la distancia de su centro de gravedad hasta el eje Por consiguiente resulta que de donde