Ejercicios – Mecánica – Dinámica del movimiento rectilíneo

Una barra homogénea se mueve aceleradamente bajo la acción de una fuerza . La masa de la barra es . Determinar las fuerzas que actúan sobre la parte de la barra sombreada en el dibujo. Las dimensiones lineales se dan en la (fig. 24) menospreciar la fricción.

Solución:

actúa en dirección horizontal hacia la derecha.

actúa verticalmente hacia arriba

Una barra homogénea de longitud experimenta la acción de dos fuerzas aplicadas a sus extremos y dirigidas en sentido opuesto (fig. 25). ¿Con qué fuerza está estirada de uno de sus extremos?

Solución:

La masa de la parte izquierda de al barra es y la de la parte derecha es

, donde es la masa de toda la barra. Bajo la acción de las fuerzas aplicadas a la barra, cada parte de ella se mueve con la misma aceleración . Por tanto,

Resolviendo este sistema, obtenemos la fuerza de extensión

Una barra de masa m está en el suelo de un ascensor. El ascensor baja con aceleración a. Determinar la fuerza con que la barra actúa sobre el suelo del ascensor. ¿Con qué aceleración del ascensor las deformaciones de la barra desaparecen? ¿Con qué fuerza la barra actúa sobre el suelo del ascensor si éste comienza a subir con aceleración a?

Solución:

A la barra fueron aplicadas dos fuerzas mg y N. La fuente de la fuerza N es el suelo deformado del ascensor. De la ecuación del movimiento de la barra resulta que . Según la tercera ley de Newton, la barra (como consecuencia de que está deformada) actúa sobre el suelo del ascensor con una fuerza N. Si , entonces , es decir, la barra no actúa más sobre el suelo (en la barra desaparecen las deformaciones). Para el movimiento acelerado dirigido hacia arriba, tenemos .

Un niño de masa M corre en dirección a la parte elevada de una tabla inmóvil de masa m, que se encuentra en un plano inclinado con ángulo de base . La fricción entre la tabla y el plano no existe. ¿Qué camino pasó el niño hasta el momento en que su velocidad, que inicialmente era , disminuyó 2 veces, considerando la misma dirección?

Solución:

A fin de que la tabla no resbale, la componente de la fuerza, aplicada a la tabla por el niño, deberá estar dirigida a lo largo de la tabla hacia arriba. Por consecuencia, la tabla actúa sobre el niño con una fuerza igual y de sentido contrario, dirigida a lo largo de la tabla hacia abajo. Escogiendo la dirección positiva del eje de las coordenadas a lo largo del plano inclinado hacia arriba, escribimos la ecuación del movimiento del niño:
,

La tabla se encuentra en equilibrio, por eso tenemos . Resolviendo el sistema dado, encontramos

Una barra homogénea está colgada de un hilo. El hilo se corta. ¿Qué partículas de la barra tendrán mayor aceleración en el momento inicial: las que están en la parte superior o en la inferior?

Solución:

Las partículas de la barra en la sección superior tendrán mayor aceleración . La aceleración de las partículas de la barra situadas en la sección inferior, en el momento inicial de tiempo, será .

Una barra homogénea se encuentra en un soporte horizontal. El soporte se retira repentinamente. ¿Qué partes de la barra tendrán mayor aceleración en el momento inicial: las que están en la parte superior o en la inferior?

Solución:

En el momento inicial del tiempo las partes de la barra, situadas en la sección superior, tendrán la aceleración , y las situadas en la sección inferior, la aceleración .

Un hombre con las manos levantadas se encuentra en la plataforma de una balanza médica. ¿Cómo varían las indicaciones de la balanza si el hombre baja las manos aceleradamente?

Solución:

La indicación de la balanza disminuye.

En un platillo de balanza se encuentra una botella. Dentro de ella hay una mosca. Mientras la mosca duerme la balanza está equilibrada. ¿Se desequilibrará la balanza si la mosca, al despertarse, se desprende de la pared de la botella y vuela primeramente en dirección horizontal y después en dirección vertical hacia arriba con aceleración ?

Solución:

Durante el movimiento de las alas, el aire situado debajo de las mismas se comprime y el aire situado sobre las alas, se rarifica. Como resultado de la deformación del aire surge la fuerza sustentadora N. De la ecuación del movimiento deducimos que . Según la tercera ley de Newton, las alas de la mosca actúan sobre el aire con la fuerza N dirigida hacia abajo. Debido a ello, el platillo de la balanza en el que se encuentra la botella con la mosca, bajará.

En los extremos de un hilo que se apoya sobre una polea con el eje fijo están colgadas a una altura del suelo dos cargas, cuyas masas son y . En el momento inicial las cargas están en reposo. Determinar la tensión del hilo cuando las cargas se mueven y el tiempo durante el cual la carga de masa alcanza el suelo. No tomar en consideración las masas de la polea y del hilo.

Solución:

En la Fig. 308 se muestran las fuerzas que actúan sobre las cargas. Las ecuaciones de movimiento para las cargas se escriben de la siguiente manera:

,

,

Donde T es la fuerza de tensión del hilo y a es la aceleración.(Las aceleraciones de las cargas son iguales, ya que consideramos el hilo inelástico. La imponderabilidad del hilo y de la polea determina la constancia de T). Resolviendo el sistema de ecuaciones, obtenemos , . El tiempo de movimiento es .

Al eje de una polea móvil se sujeta una carga de peso P . ¿Con qué fuerza F es necesario tirar del extremo de la cuerda, apoyada sobre la segunda polea, para que la carga P se mueva hacia arriba con aceleración a? ¿Para qué la carga esté en reposo? Menospreciar la masa de las poleas y de la cuerda.

Solución:

Si las masas de las poleas y de la cuerda son suficientemente pequeñas, entonces , . Resolviendo las ecuaciones obtenemos . Para , tenemos .

Determinar las aceleraciones de los pesos con masas , , y la tensión de las cuerdas en el sistema representado , si . Las masas de las cuerdas y de las poleas son insignificantemente pequeñas en comparación con las masas de los pesos.

Solución:

Las ecuaciones del movimiento para los pesos con masas , , , tienen la siguiente forma:

,

,

,

donde a, b y c son las aceleraciones respecto a la polea inmóvil A. La aceleración se considera positiva, si está dirigida hacia abajo. Si la masa de la cuerda es insignificante en comparación con las masas ,, ; entonces la tensión será constante en toda la cuerda. De aquí concluimos que y la fuerza con que la cuerda, pasando a través de la polea A, actúa sobre la polea B es .

Analicemos la parte de la cuerda que se encuentra en el momento dado del tiempo en la polea B. Sobre esta parte el extremo izquierdo pendiente de la cuerda actúa con una fuerza igual a y el extremo derecho actúa con una fuerza . Como la masa de cualquier parte de la cuerda es muy insignificante la suma de todas las fuerzas que actúan sobre ella deberá tender a cero. Por consiguiente, la polea B actúa sobre la parte de la cuerda situada en la polea con una fuerza , dirigida hacia arriba. Según la tercera ley de Newton, la cuerda deformada, a su vez, actúa sobre la polea con una fuerza . Como la masa de la polea B es insignificante, tenemos que . Al pasar cierto tiempo (muy corto) después del comienzo del movimiento de los cuerpos, la deformación de las cuerdas cesa y las longitudes después de esto, no cambian con el tiempo. Esto significa que la aceleración de la polea B será igual a y la aceleración de las cargas y , respecto a la polea B serán iguales y dirigidas en sentidos contrarios. Designando por d la aceleración de la carga respecto a la polea B, recibimos que

,

,

Donde . Por consiguiente, tenemos finalmente el siguiente sistema de ecuaciones:

,

,

.

Resolviendo este sistema de ecuaciones, tenemos (considerando )

,

.

,

.

En el caso general

.

Una cuerda se apoya sobre dos poleas fijas y en sus extremos se colocan los platos con pesos de cada uno. La cuerda entre las poleas fue cortada y unida a un dinamómetro . ¿Qué muestra el dinamómetro? ¿Qué peso debe ser adicionado a uno de los platos, para que la indicación del dinamómetro no varíe después de ser retirado el peso de otro plato? Las masas de los platos, de las poleas, de la cuerda y del dinamómetro se menosprecian.

Solución:

La indicación del dinamómetro inicialmente es igual a .

Si las indicaciones del dinamómetro no cambian, entonces sobre el peso actúa la fuerza de tensión del hilo dirigida hacia arriba, igual a . Por consiguiente, este peso se mueve hacia arriba con aceleración . Con igual aceleración se mueve hacia abajo el otro peso. El peso adicional en el segundo plato se determina de la ecuación

,

de donde .

En una cuerda apoyada sobre una polea están colgadas las cargas de masas y . La polea en estado inmóvil (las cargas no se mueven) se equilibra en una balanza de palanca como se ve en la . ¿En cuánto será necesario variar el peso en el plato derecho, para que al librarse la polea y moverse seguidamente las cargas, el equilibrio se mantenga?

Solución:

A fin de restablecer el equilibrio es necesario retirar del plato derecho de la balanza un peso

Un sistema consta de dos poleas con ejes fijos y una polea móvil . Sobre las poleas se apoya una cuerda en cuyos extremos fueron colgadas las cargas con masas y ; y en el eje de la polea móvil fue colgada una carga de masa . Los sectores de la cuerda que no se encuentran en las poleas se hallan en el plano vertical. Determinar la aceleración de cada una de las cargas si las masas de las poleas y de la cuerda, así como la fricción pueden menospreciarse.

Solución:

Como la masa de las poleas y de la cuerda se menosprecian, la tensión de la cuerda será única en todas las partes .

Tenemos entonces

,

,

,

.

Resolviendo el sistema, obtenemos

,

,

.

Determinar las aceleraciones de los pesos en el sistema mostrado en la . Las masas de las poleas, de la cuerda y la fricción pueden prescindirse. ¿En qué dirección girarán las poleas cuando los pesos comienzan a moverse?

Solución:

Puesto que la masa de las poleas y de la cuerda es insignificante, la tensión de la cuerda es igual en todas las partes. Por eso tenemos

,

,

.

Resolviendo el sistema, obtenemos y . Ambos pesos caen libremente con aceleración g. Las poleas B y C giran en sentido antihorario; la polea A gira en sentido horario.

Determinar las tensiones de las cuerdas en las cuales están colgados los pesos en el sistema de la . La masa de las cuerdas y de las poleas se menosprecia. No hay fricción. Las masas de los pesos , , , , , , , son dadas.

Solución:

Supongamos que en cierto momento de tiempo un i-ésimo peso se encuentra a una distancia del techo. Partiendo de la inelasticidad de todas las cuerdas, deducimos que la suma de todas estas distancias permanece constante durante el movimiento, es decir

. En el intervalo de tiempo cambiará cada una de estas distancias, por eso, dentro del tiempo , tendremos:

.

Al restar una ecuación de la otra, recibimos, después de dividir por , que:

En vista de que esta igualdad debe verificarse para cualquier , las aceleraciones de los pesos están relacionados por . Como las masas de las poleas y el rozamiento en sus ejes son insignificantes, la tensión de una misma cuerda, apoyada sobre cualquier polea, a ambos lados de ella, es única e igual a la mitad de la tensión de la cuerda en que dicha polea está colgada. De aquí deducimos que la tensión de todas las cuerdas, en las cuales se cuelgan los pesos, son iguales entre sí. Designando esta tensión por T, escribimos la ecuación del movimiento del í-ésimo peso en la forma siguiente:

,

o

Sumando todas las ocho ecuaciones de este tipo, recibimos que:

.

De donde

.

Determinar la aceleración del peso de masa en el sistema de la . Se prescinde de las masas de las cuerdas y de las poleas. No hay fricción. Las masas , , , se dan en la figura.

Solución:

Designemos por T la tensión de la cuerda, en que se cuelgan los pesos de masas y . Entonces la tensión de la cuerda en la cual está colgado el peso , será igual a , y la tensión de la cuerda en la cual está colgado el peso , será igual a .

Las ecuaciones del movimiento para los pesos se escribirán en la siguiente forma:

,

,

,

.

Gracias a la inelasticidad de las cuerdas, las aceleraciones de los pesos se unen por la relación:

.

(Esta relación puede obtenerse utilizando el mismo método de resolución del problema 89.) Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenido para valores dados de , , , , encontramos que

Un carrito de masa está unido a una carga de masa mediante una cuerda. En el momento inicial el carrito tenía la velocidad inicial y se movía a la izquierda por un plano horizontal (fig. 35). Determinar el valor y sentido de la velocidad del carrito, el lugar, donde ella se encontrará y el trayecto que recorrerá después de pasar

Solución:

Para este caso las ecuaciones de dinámica se escribirán en la siguiente forma:

donde es la tensión de la cuerda. Resolviendo, obtenemos: De las ecuaciones de cinemática, hallamos Resolviendo este sistema de ecuaciones, recibimos que dentro de el carrito se encontrará en el mismo lugar y tendrá una velocidad m/s dirigida a la derecha. Él carrito recorrerá un trayecto igual a

Determinar las aceleraciones de los cuerpos de masas,, para el sistema mecánico representado en la fig. 36. No existe fricción entre las superficies que están en contacto. Las masas de la polea y de la cuerda pueden menospreciarse.

Solución:

En la fig. 312 están representadas por flechas todas las fuerzas que actúan sobre los cuerpos,,. Designemos por a la aceleración de los cuerpos y y por las aceleraciones horizontal y vertical del cuerpo . Escribiremos las proyecciones del movimiento en direcciones horizontal y vertical:

Según los conceptos geométricos, deducimos que Resolviendo estas ecuaciones encontramos:

La solución es válida para (véase el problema 35).

Una barra de masa puede moverse sin fricción tanto hacia abajo como hacia arriba entre dos casquillos fijos. El extremo inferior de la barra toca la superficie lisa de una cuña de masa La cuña está sobre una mesa horizontal plana (fig. 37). Determinar la aceleración de la cuña y de la barra.

Solución:

En la fig. 313 se muestran todas las fuerzas que actúan sobre la barra y sobre la cuña. Designemos por la aceleración de la barra respecto a la mesa inmóvil y por , la aceleración de la cuña. Escribamos las proyecciones de las ecuaciones del movimiento de la barra y de la cuña, en direcciones horizontal y vertical:

,

,

La ecuación de relación cinemática entre las aceleraciones de la barra y de la cuña se deduce de los conceptos geométricos: Resolviendo las ecuaciones, recibimos:

,

Fig. 38

En una barrilla de longitud fue asentada una cuenta de vidrio de masa . La cuenta puede desplazarse por la barrilla sin fricción. En el momento inicial la cuenta se encontraba en el medio de la barrilla. Esta se mueve de modo progresivo por un plano horizontal con aceleración en una dirección que forma un ángulo con la barrilla (fig. 38). Determinar la aceleración de la cuenta relativamente a la barra, la fuerza de reacción de la barra sobre la cuenta y el tiempo durante el cual la cuenta deja la barra.

Solución:

La única fuerza que actúa sobre la cuenta es la fuerza de reacción de la barrilla , que está dirigida perpendicularmente a la barrilla. La aceleración absoluta de la cuenta (aceleración respecto a un observador inmóvil), estará dirigida para el lado de acción de la fuerza de reacción La aceleración relativa estará dirigida a lo largo de la barrilla (fig. 314); Del triángulo de aceleraciones resultará que: Basándose en la segunda ley de Newton, obtenemos que la fuerza de reacción es . El tiempo de movimiento de la cuenta por la varilla se determina por la ecuación de donde recibimos que

Fig. 39

.

Una cuerda, carente de peso, se apoya sobre una polea de eje fijo y pasa a través de un orificio (fig. 39). Durante el movimiento de la cuerda, el orificio actúa sobre la cuerda con una fuerza de fricción constante . En los extremos de la cuerda se cuelgan unos pesos, cuyas masas son y . Determinar la aceleración de los pesos.

Solución:

Examinemos un pedazo de la cuerda que se encuentra en la hendidura. Supongamos que la cuerda se mueve hacia abajo. Entonces, sobre el pedazo de la cuerda actúan las fuerzas de tensión de la cuerda desde ambos lados y la fuerza de fricción (fig. 315). Como menospreciamos la masa del pedazo examinado de la cuerda, recibimos que . Las ecuaciones de dinámicas se escribirán en la siguiente forma:

Resolviendo este sistema, obtenemos:

Fig. 40

.

A los extremos de un muelle fueron sujetadas dos vigas, cuyas masas son y (. Bajo la acción de dos fuerzas iguales que actúan sobre las vigas como se ve en la fig. 40, el muelle fue comprimido. Las vigas están sobre una mesa. ¿Qué sucederá si las fuerzas dejan de actuar? El coeficiente de rozamiento de las vigas con la mesa es

Solución:

1) Si las vigas no se moverán

2) Si se moverá la viga menor

3) Si las vigas se moverá en direcciones opuestas

(Se supone que mientras actúan las fuerzas,no existe rozamiento

En la pared posterior de un vagón hay un cuadro colgado de una cuerda apoyada de un clavo. ¿Cómo se moverá el cuadro con relación al vagón si la cuerda se rompe, en el caso cuando:

1) ¿La velocidad del vagón aumenta?

2) ¿La velocidad del vagón disminuye? En ambos casos la magnitud absoluta de la aceleración del vagón es . El coeficiente de rozamiento del cuadro con la pared del vagón es

Solución:

1) Si la velocidad del vagón aumenta, el cuadro se desplazará a lo largo de la pared posterior del vagón hacia abajo con aceleración (Si el cuadro permanecerá en reposo.)

2) Si la velocidad del vagón disminuye, el cuadro se moverá hacia abajo con aceleración y hacia adelante con aceleración

Dos pesos de masas y están unidos entre si por medio de una cuerda que pasa a través de una polea. Las superficies, en las cuales se encuentran los pesos, forman con el plano horizontal ángulos (fig. 41).

La carga a la derecha está más abajo que la de la izquierda en un valor . Después de pasar un tiempo desde el comienzo del movimiento, ambos pesos se encontraron a la misma altura. Los coeficientes de rozamiento entre los pesos y los planos son iguales a Determinar la relación entre las masas de los pesos.

Solución:

De acuerdo con la segunda ley de Newton, tenemos:

Los pesos se encontrarán en el mismo nivel, después de recorrer el trayecto que satisface las siguientes ecuaciones:

Excluyendo y del sistema de tres ecuaciones, obtenemos

Desde un punto por los canales situados en el mismo plano vertical y que forman diferentes ángulos con la vertical, comienzan a deslizarse simultáneamente unos granos de arena. Encontrar el lugar geométrico de los puntos en los que se hallarán los granos de arena dentro de un tiempo si el coeficiente de rozamiento de cada grano con el canal es

Solución:

Examinemos el canal que forma un ángulo arbitrario con la vertical (fig. 316). Si entonces el trayecto recorrido por el grano de arena es donde Las coordenadas del grano de arena son: de donde

O

Consideremos que y designemos Entonces

La última ecuación puede escribirse en la siguiente forma:

Esta es la ecuación de una circunferencia de radio con el que centro situado a una distancia

más abajo del punto y a una distancia a la izquierda de la vertical. Por otro lado de la vertical, el lugar geométrico de los puntos buscados es un arco análogo.

Una montaña de hielo forma con la horizontal un ángulo igual a; por esta montaña de abajo hacia arriba lanzan una piedra que durante pasa una distancia y después comienza a deslizarse hacia abajo. ¿Cuánto tiempo dura el deslizamiento de la piedra hacia abajo? ¿Cuál es el coeficiente de rozamiento entre la piedra y la montaña?

Solución:

De las ecuaciones del movimiento obtenemos para la aceleración de la piedra las siguientes expresiones:

Cuando el movimiento es hacia arriba, Cuando el movimiento es hacia abajo. Las ecuaciones cinemáticas se escribirán del siguiente modo:

Resolviendo el sistema de estas cinco ecuaciones, recibimos:

Un carrito de masa se mueve sin fricción por unos rieles horizontales con una velocidad . En la parte anterior del carrito se pone un objeto de masa . Su velocidad inicial es igual a cero. ¿Para qué longitud del carrito el objeto no caerá de éste? Prescindir de las dimensiones del objeto en comparación a la longi­tud del carrito . El coeficiente de rozamiento entre el objeto y el carrito es

Solución:

El carrito inicialmente tiene movimiento uniformemente retardado. La velocidad del carrito es donde es la fuerza de rozamiento igual a El objeto tiene movimiento uniformemente acelerado. La velocidad del objeto es . Si el carrito es largo, las velocidades del objeto y del carrito podrán igualarse. Esto tendrá lugar en el momento de tiempo Después de ello, el objeto y el carrito comenzarán a moverse con velocidad constante El carrito para este momento de tiempo cubrirá el trayecto y el objeto, El trayecto recorrido por el objeto respecto al carrito es igual Este trayecto deberá ser menor que . De este modo el objeto no abandonará el carrito, si o sea

Una viga de masa está situada en un plano horizontal. Sobre la viga se encuentra un cuerpo de masa (fig. 42). El coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y la viga, así como entre la viga y el plano es Analizar el movimiento para diferentes valores de la fuerza

Solución:

Si no hay movimiento. Supongamos que Analicemos el caso de ausencia de deslizamiento del cuerpo por la viga. Las ecuaciones del movimiento en este caso, tendrán la siguiente forma:

de donde

que es posible, si

Si entonces el cuerpo deslizar por la barra. En este caso las ecuaciones del movimiento tendrán la siguiente forma:

De donde

Que es fácilmente verificar en el caso de

Una viga de masa está sobre un plano horizontal liso, por el cual puede moverse sin fricción. Sobre la viga hay un cuerpo de masa (fig. 42). El coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y la viga es ¿Con que valor de la fuerza que actúa sobre la viga en dirección horizontal, el cuerpo comienza a deslizarse sobre la viga? ¿Dentro de cuánto tiempo el cuerpo caerá de la viga? La longitud de la viga es 1.

Solución:

Las ecuaciones del movimiento de la viga y del cuerdo tienen la siguiente forma:

(1)

(2)

Donde es la fuerza de rozamiento, son las aceleraciones. Supongamos que no hay deslizamiento, entonces De las ecuaciones del movimiento podemos determinar la aceleración y la fuerza de rozamiento. La fuerza de rozamiento es Para que no haya deslizamiento la fuerza de rozamiento debe satisfacer la siguiente desigualad: es decir, Si entonces surge el deslizamiento. Las ecuaciones (1) y (2) en este caso deben escribirse en la siguiente forma:

De estas ecuaciones obtenemos : Es evidente que La aceleración del cuerpo respecto a la viga estará dirigida en sentido opuesto del movimiento y en magnitud será igual a El tiempo de movimiento del cuerpo por la viga será

.

Fig. 43

Una mesa de peso puede moverse sin fricción en un plano horizontal. Sobre la mesa está un peso . Al peso se ata una cuerda que pasa a través de dos poleas fijadas en la mesa (fig. 43). El coeficiente de rozamiento entre el peso y la mesa es ¿Con qué aceleración se moverá la mesa si al extremo libre de la cuerda fue aplicada una fuerza constante igual a Examinar dos casos:

1) La fuerza está dirigida horizontalmente;

2) La fuerza está dirigida verticalmente hacia arriba.

Solución:

1) Las fuerzas que actúan sobre la mesa y el peso están representadas en la fig. 317. Las ecuaciones del movimiento en dirección horizontal tienen la siguiente forma: para la mesa con las poleas

para el peso,

Supongamos que la fuerza sea tan pequeña que el peso no desliza por la mesa. Entonces resulta que y Aumentando gradualmente la fuerza , nosotros aumentamos, también gradualmente, la fuerza de rozamiento Pero si la mesa y el peso están inmóviles, el uno respecto al otro, la fuerza de rozamiento entre ellos no podrá superar el valor Por lo tanto, el deslizamiento del peso por la mesa comienza cuando

En nuestro caso , por consiguiente el peso no se deslizará y resulta que

2) Las ecuaciones del movimiento para la mesa con las poleas y el peso, en este caso, tienen la siguiente forma:

Las aceleraciones de la mesa y del peso están dirigidos en sentidos opuestos y por eso el deslizamiento será obligatorio. Entonces La aceleración de la mesa es:

La mesa se moverá hacia la izquierda.

En una barrilla de longitud está asentada una cuenta de vidrio de masa . El coeficiente de rozamiento entre la cuenta y la barra es igual a . En el momento inicial la cuenta se encontraba en el centro de la barrilla. Esta se desplaza progresivamente en un plano horizontal con aceleración en una dirección que forma un ángulo con la barrilla (fig. 38). Determinar la aceleración de la cuenta respecto a la barrilla, la fuerza de reacción por parte de la barrilla sobre la cuenta y el tiempo después del cual la cuenta cae de la barrilla. No tomar en consideración la fuerza de la gravedad.
Solución:

Al moverse la cuenta sufre la acción de dos fuerzas: la fuerza de rozamiento y la fuerza de reacción . La aceleración absoluta estará dirigida según la fuerza resultante . De la fig. 318 se deduce que:

de donde

Si la cuenta no se moverá respecto a la barrilla y, en este caso, la fuerza de rozamiento es igual a

Un cañón antiguo que no tiene un mecanismo de retroceso se encuentra en una superficie horizontal. El cañón dispara, bajo un ángulo con el plano horizontal, un proyectil, cuya masa es y la velocidad inicial es . ¿Qué velocidad tendrá el cañón inmediatamente después del disparo si la masa del cañón es y la aceleración del proyectil en lámina del cañón es mucho mayor que la aceleración de la caída libre? El coeficiente de rozamiento entre el cañón y la superficie es .

Solución:

Basándose en la segunda ley de Newton, tenemos que la variación de cantidad de movimiento del sistema cañón – proyectil, en el momento de disparo , deberá ser igual al impulso de las fuerzas que actúan sobre el sistema: en la horizontal,

Donde es el impulso de las fuerzas de rozamiento, en la vertical,

Donde es el impulso de las fuerzas de presión normal (reacción del área horizontal) y es el impulso de las fuerzas de la gravedad. Considerando que obtenemos:

O, ya que recibimos:

Esta solución es válida para Para el cañón permanece inmóvil.

El cohete tiene una reserva de combustible toneladas. La masa del cohete (incluyendo el combustible) es toneladas. El combustible quema en 40 segundos. El gasto de combustible y la fuerza de tracción son constantes.

1) El cohete está colocado horizontalmente sobre una carretilla. Determinar la aceleración del cohete en el momento de lanzamiento. Encontrar la dependencia de la aceleración en función del tiempo de movimiento del cohete y representar esta dependencia gráficamente. Por el gráfico valorar la magnitud de la velocidad del cohete a los 20 segundos después de comenzar el movimiento. Menospreciar la fricción.

2) El cohete fue lanzado verticalmente hacia arriba. Las mediciones mostraron que después de 20 segundos, la aceleración del cohete era de . Calcular la fuerza de resistencia del aire que actuaba sobre el cohete en este momento. La aceleración se considera constante.

3) Para medir la aceleración del cohete, en él se pone un aparato que representa en sí un muelle fijado en un tubo vertical. En reposo el muelle está estirado por una carga colocada en su extremo en . Determinar la dependencia de la extensión del muelle respecto a la aceleración del cohete. Dibujar la escala del aparato.

Solución:

1) La aceleración en el momento inicial es En función del tiempo la aceleración cambia según la ley: donde es la masa del combustible gastada por el cohete en un segundo. El gráfico de aceleración tiene la forma que se ve en la fig. 319. La velocidad dentro de es numéricamente igual al área sombreada en el dibujo, o sea,

2) La segunda ley de Newton se escribirá así:

Segundas condiciones del problema: y

De ahí obtenemos la fuerza de resistencia del aire:

3) La ecuación de Newton para el peso tiene la siguiente forma:

Donde es la masa del peso en el extremo del muelle; , la aceleración del cohete; , el coeficiente de elasticidad del muelle; , el alargamiento del muelle. Según la condición del problema, entonces, La escala del aparato deberá ser uniforme. La aceleración corresponde a un centímetro de graduación de la escala.

Dos cubos están bien juntos sobre una superficie horizontal lisa. La arista de cada cubo es y la masa es . Uno de los cubos está atravesado por una bala de masa que se mueve en dirección de la línea que une los centros de los cubos. Considerando que la fuerza de resistencia horizontal, que surge mediante el movimiento de la bala es constante e igual a , determinar en qué límites debe encontrarse la velocidad inicial de la bala, para que ésta pase por el primer cubo y quede atascada en el segundo.

Solución:

En el sistema de referencia, relacionado al segundo cubo, tenemos

Donde es la aceleración de la bala en el primer cubo; su velocidad al salir del cubo; la aceleración de la bala en el segundo cubo; su velocidad al salir del segundo cubo. Suponiendo , encontramos el límite inferior de la velocidad y suponiendo , obtenemos el límite superior. Por consiguiente