Mecánica – Capitulo 1 – Cinemática

• I.1.1. Movimiento mecánico. Objeto de la mecánica

     1°. La forma más simple de movimiento que hay en la naturaleza es el movimiento mecánico, que consiste en la variación de la posición recíproca de los cuerpos o de sus partes en el
espacio en el transcurso del tiempo. La parte de la física que se ocupa del estudio de las leyes del movimiento mecánico se llama mecánica. En un sentido más estrecho de la. palabra, se suele entender por mecánica la mecánica clásica, en la cual se estudian los movimientos de los cuerpos macroscópicos que se efectúan con velocidades muchísimo menores que la velocidad de la luz en el vacío. La base de la mecánica clásica son las leyes de Newton. Por esto también suele dársele el nombre de mecánica newtoniana. Las leyes del movimiento de los cuerpos con velocidades próximas a la de a luz en el vacío son objeto del estudio de la mecánica relativista (1.5.1.1°), y las leyes del movimiento de las micropartículas (por ejemplo, de los electrones en los átomos, moléculas, cristales, etc.) lo son de la mecánica cuántica (VI. 1.1.1°).

     2°. La mecánica clásica tiene tres partes principales: estática, cinemática y dinámica. En la estática se estudian las leyes de la composición de las fuerzas y las condiciones de equilibrio de los cuerpos. En la cinemática se da la descripción matemática de todos los tipos posibles de movimiento mecánico sin relacionarla con! las causas que determinan cada tipo concreto de movimiento. En la dinámica se analiza la influencia de las interacciones entre los cuerpos sobre su movimiento mecánico.

     3°. Las propiedades mecánicas de los cuerpos se determinan por su naturaleza química, estructura interna y estado, cuyo estudio no es objeto de la mecánica, sino de otras partes de la física. Por esto, para describir los cuerpos móviles reales de acuerdo con las condiciones de cada problema concreto, se utilizan en la mecánica diversos modelos simplificados: el punto material, el cuerpo rígido o sólido invariable, el cuerpo perfectamente elástico, el cuerpo plástico o absolutamente inelástico, etc.

     Se llama punto material un cuerpo cuya forma y dimensiones carecen de importancia en las condiciones del problema dado. Por ejemplo, el movimiento de un buque de un punto a otro se puede considerar en primera aproximación como movimiento de un punto material. Pero en el caso en que sea necesario tener en cuenta un «detalle» de este movimiento, como el balanceo del barco cuando el mar está agitado, el buque debe considerarse como cuerpo extenso de forma determinada. En la literatura, en vez de «punto material» suele llamarse simplemente «punto».

Cualquier cuerpo extenso o sistema de cuerpos de este tipo que formen un sistema mecánico que se haya de investigar puede considerarse como un sistema de puntos materiales. Para esto todos los cuerpos del sistema deben dividirse mentalmente en un número de partes tan grande, que las dimensiones de cada una de ellas sean despreciables por su pequenez en comparación con las dimensiones de los mismos cuerpos.

     4°. Se da el nombre de cuerpo rígido o sólido invariable a aquél, cuyas deformaciones pueden despreciarse en las condiciones de un problema dado. La distancia entre dos puntos cualesquiera de un cuerpo rígido no varía sean cuales fueran las acciones que se ejerzan sobre él. El cuerpo rígido se puede considerar como un sistema de puntos materiales rígidamente unidos entre sí.

     Se llama cuerpo perfectamente elástico aquel, cuya deformación se subordina a la ley de Hooke (VII. 1.3.4°). Una vez que cesa la acción del esfuerzo exterior, este cuerpo recupera totalmente sus dimensiones iniciales y su forma.

     Se dice que un cuerpo es absolutamente inelástico o plástico si, cuando cese la acción de la fuerza exterior, conserva totalmente el estado deformado provocado por dicha acción.

• I.1.2. Sistema de referencia. Trayectoria,espacio recorrido y vector traslaciónde un punto

     1°. La posición de un cuerpo en el espacio sólo puede determinarse con respecto a otros cuerpos. Por ejemplo, tiene sentido hablar de la posición de los planetas con respecto al Sol;
de un avión o de una motonave con respecto a la Tierra, pero no puede indicarse su posición en el espacio «en general», sin relacionarla con cualquier cuerpo concreto. El cuerpo rígido, con el cual está asociado invariablemente un sistema de coordenadas provisto de relojes, que se utiliza para determinar la posición en el espacio de los cuerpos y partículas que se estudian en diferentes instantes, se llama sistema de referencia. A veces se llama sistema de referencia al mismo sistema de coordenadas provisto de relojes, y el cuerpo rígido del cual es solidario se denomina cuerpo de referencia. En cada problema concreto el sistema de referencia se elige de tal modo que simplifique lo más posible su solución. En física se utilizan generalmente sistemas de referencia inerciales (1.2.1.2°).

 2°. El sistema de coordena­das que más se usa es el cartesiano rectangular (fig. I.l.l)/Cuya base ortonormalizada está constituida por tres vectores’unitarios por el módulo y recíprocamente ortogonales i, j y k, trazados desde el origen de coordenadas O. La posición de un punto arbitrario M se caracteriza por el radio vector r que une el origen de coordenadas O con el punto M. El vector r se puede descomponer según la base i, j, k:

donde xi, yj y zk son las componentes del vector r a lo largo de los ejes de coordenadas. Los coeficientes de descomposición x, y, son las coordenadas cartesianas del punto M y también, en virtud de la ortogonalidad de los vectores de la base, las proyecciones del radio vector r sobre los correspondientes ejes de coordenadas.

     El movimiento de un punto material estará completamente determinado si se dan las tres funciones continuas y unívocas del tiempo t:

definen la variación de las coordenadas del punto con el tiempo.

     Estas ecuaciones se llaman ecuaciones cinemáticas del movimiento del punto. Son equivalentes a la ecuación vectorial del movimiento del punto: r = r (t).

     3°. La línea que describe en el espacio un punto en movimiento se llama trayectoria de dicho punto. Las ecuaciones cinemáticas del movimiento del punto dan la ecuación de su trayectoria en forma paramétrica (el parámetro es el tiempo t). En dependencia de la forma de la trayectoria, el movimiento del punto puede ser rectilíneo o curvilíneo. El movimiento del punto se dice que es plano, si su trayectoria se encuentra total mente en un plano.

El movimiento mecánico de un cuerpo es relativo, es decir, su carácter y, en particular, la forma de las trayectorias de los puntos de dicho cuerpo dependen del sistema de referencia que se elija.

     4°. En el caso general, la trayectoria de un punto material no es plana, sino una curva espacial. Para-esta curva se introduce el concepto de plano osculador. Se llama plano osculador en un punto arbitrario M de una curva, la posición límite del plano que pasa por tres puntos cualesquiera de la curva cuando estos tres puntos sé aproximan ilimitadamente al punto M. Recibe el nombre de círculo osculador en un punto M de una
curva, el límite de la circunferencia que pasa por tres puntos  de la curva considerada cuando estos tres   puntos se aproximan ilimitadamente al punto M. El círculo osculador se encuentraen el plano osculador. El centro del círculo osculador y su radio se llaman respectivamente centro de curvatura y radio de curvatura de la curva correspondiente en el punto M. La recta que une el punto M con el centro de curvatura se llama normal principal a la curva en el punto M. La tangente a la curva en el punto M es perpendicular a la normal principal en este punto y también se encuentra en el plano osculador.

     5°. El espacio recorrido por un punto es la suma de las longitudes de todos los tramos de la trayectoria recorridos por este punto en el intervalo de tiempo que se considere. El instante t = t₀ antes del cual el movimiento no se estudia, se llama instante inicial, y la posición del punto en este instante (punto A en la fig. 1.1.2), posición inicial. En virtud del modo arbitrario en que se elige el punto de referencia del tiempo, se suele suponer que t₀ = 0. El espacio s recorrido por el punto desde su posición inicial es una función escalar del tiempo: s = s (t) y, como se ve por la misma definición, el espacio recorrido por el punto no puede ser una magnitud negativa. Si el punto se mueve por un arco de trayectoria AB (fig. 1.1.2) siempre en la misma dirección y en un instante t se encuentra en el punto M, entoncesEn cambio, si el punto se mueve por la trayectoria de un modo más complejo, por ejemplo, en el instante t₁ < t se traslada de A a B y después, moviéndose en sentido contrario, en el instante í retorna al punto M, será

6°. Se llama vector traslación de un punto en un intervalo de tiempo entre t = fj y t = í₂, el vector trazado desde la posición del punto en el instante í_t a su posición en el instante í₂. Este vector es igual al incremento del radio vector del punto durante el espacio de tiempo considerado,

El vector traslación siem­pre está dirigido a lo largo de la cuerda que une los extremos del tramo de la trayectoria correspondiente.

En la fig. 1.1.2 se muestra el vector traslación del punto en el intervalo de tiempo entre t₀  y t, igual a   r —  r₀ = r (t) — r (t ₀)

El vector traslación del punto en el lapso de t a t + Dt es igual a

donde Dx, Dy  y Dz  son los incrementos (variaciones) de las coordenadas del punto durante el intervalo de tiempo considerado.

     7°. Un punto material, moviéndose libremente en el espacio, sólo puede efectuar tres movimientos independientes, es decir, tales que cada uno de ellos no puede representarse en forma de combinación de los demás. En efecto, el movimiento del punto a lo largo de cada uno de los ejes del sistema de coordenadas rectangulares cartesianas no puede realizarse a expensas de su movimiento a lo largo de los otros dos ejes. El número de movimientos independientes que puede efectuar un sistema mecánico se llama número de grados de libertad de este sistema. Así, pues, un punto material libre tiene tres grados de libertad.

§ I.1.3. Velocidad

     1°. Para caracterizar la rapidez del movimiento de los cuerpos se introduce en mecánica el concepto de velocidad. Se llama velocidad media de un punto en movimiento en un intervalo de 
tiempo de t a el vector v_med igual a la razón del incremento del radio vector del punto durante este intervalo de tiempo, a su duración Dt:

     El vector v_med tiene la misma dirección que , es decir, a lo largo de la cuerda que une los extremos del tramo de trayectoria correspondiente.

     2°. Velocidad (o velocidad instantánea) de un punto es una magnitud vectorial v igual a la primera derivada respecto del tiempo del radio vector r del punto que se considera:

     La velocidad de un punto en un instante t es igual al límite de la velocidad media v_med cuando la duración del intervalo Dt disminuye ilimitadamente

     El vector v, velocidad del punto, está dirigido según la tangente a la trayectoria en el sentido del movimiento, lo mismo que el vector dr = v dt de una pequena traslación del punto en un intervalo de tiempo muy pequeno dt.

El espacio ds recorrido por el punto en un tiempo dt es igual al módulo del vector traslación: ds = | dr| .  Por  esto el módulo del vector velocidad del punto es igual a la primera derivada del espacio recorrido respecto del tiempo:

     3°. La descomposición del vector v según la base de un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares tiene la forma:

     La proyección de la velocidad del punto sobre los ejes de coordenadas es igual a las primeras derivadas respecto del tiempo de las correspondientes coordenadas del punto:

y el módulo del vector velocidad

     4°. Si el movimiento del punto es rectilíneo, la dirección de su vector velocidad permanece invariable. Se dice que el movimiento del punto es uniforme si el módulo de su velocidad no varía con el tiempo: v = ds/dt = const. Cuando el movimiento del punto es uniforme, el espacio s recorrido por él depende linealmente del tiempo: s = vt (con la condición de que t₀ = 0, véase 1.1.2.5°).

Si el módulo de la velocidad del punto aumenta con el tiempo (dv/dt > 0), el movimiento se llama acelerado, y si disminuye (dv/dt < 0), se denomina retardado.

     5°. Se da el nombre de velocidad absoluta media del movimiento  variado de un punto en un tramo determinado de su trayectoria, a la magnitud escalar v_med igual a la razón de la longitud Ds de este tramo de trayectoria, al tiempo Dt que tarda el punto en recorrerlo:

     Esta velocidad es igual al módulo del vector velocidad de un movimiento uniforme tal, que en recorrer este mismo espacio tarde el punto el mismo  tiempo que con el movimiento variado.

     Cuando el movimiento del punto es curvilíneo | Dr | < Ds. Por esto, en el caso general, la velocidad absoluta media de v_med  no es igual al módulo de la velocidad media del punto v_med en este mismo tramo de trayectoria (1.1.3.1^o): v_med | v_med|, donde el signo igual corresponde a la parte rectilínea de latrayectoria.

     6°.   En el caso del movimiento plano de un punto M (1.1.2.3°) conviene frecuentemente utilizar las coordenadas polares r y , donde r es la distancia desde el polo O hasta el punto M, y, el ángulo polar medido desde el eje polar OA (fig. 1.1.3). La velocidad v del punto M se puede descomponer en dos componentes perpendiculares entre sí: la velocidad radial v_r y la velocidad tangencial v :

siendo

     Aquí r es el radio vector polar de punto M, y k, el vector unitario dirigido perpendicularmente al   plano del movimiento  del   punto, de  forma que desde su extremo se vea efectuarse la rotación  del  vector  r, al aumentar el ángulo polar, en sentido contrario al de las agujas del reloj.

     El módulo del vector velocidad v de un punto M que realiza un movimiento plano:

     Durante un tiempo pequeno dt el radio vector polar r del punto que realiza el movimiento plano barre un sector circular de área. Por esto la magnitud

se llama velocidad sectorial.