Ejercicios – Electromagnetismo – Corriente eléctrica continua

¿Existirá en las proximidades de la superficie de un conductor, por el cual pasa una corriente continua, un campo eléctrico?

Solución:

Al pasar por un conductor una corriente continua, el campo eléctrico dentro del conductor es constante y esta dirigido a lo largo de este. El trabajo del campo eléctrico realizado en el movimiento de la carga a lo largo del circuito cerrado abcd (fig. 438) es nulo. Los segmentos ad y bc consideramos tan pequeño que podemos prescindir de su trabajo. Esto significa que el trabajo a lo largo de ab es igual al trabajo a lo largo de dc por esto la componente tangencial de la intensidad del campo en las cercanías de la superficie del conductor deberá ser igual a la intensidad del campo dentro de éste.

Representar gráficamente la distribución de las líneas de fuerza de un campo eléctrico en torno de un conductor homogéneo en forma de un arco (fig. 168). Por el conductor pasa corriente continua.

Solución:

La distribución de las líneas de fuerza se muestra en la fig. 439. el aumento de la inclinación de las líneas cerca de la curvatura se explica por el hecho de que la componente tangencial de la intensidad del campo cerca de la superficie del conductor de sección constante, es constante, y la componente normal aminora a medida que nos aproximamos a la curvatura, porque la diferencia de potencial entre los sectores correspondientes que se encuentran en los lados opuestos del arco, disminuye.

Dos conductores con coeficientes de temperatura de resistencia y poseen, a 0º C, resistencias iguales a R01 y R02 . Determinar el coeficiente de temperatura del circuito constituido de estos conductores, si los conductores están unidos en serie y si están unidos en paralelo.

Solución:

Al conectar en serie, la resistencia del circuito será:

Por otro lado, podemos escribir que donde y es el coeficiente de temperatura que buscamos; de hay recibimos que

Al conectar en paralelo, obtenemos

Donde prescindiendo de los términos proporcionales a los productos de los coeficientes de temperatura, por ser muy pequeños, hallamos que:

Determinar la resistencia del circuito que se ve en la fig. 169. Las resistencias de los conductores de conexión AC’C y BC”D pueden ser despreciadas.

Solución:

Los puntos A y C tienen el mismo potencial ya que el conductor que los une posee una resistencia insignificante que podemos menospreciar. Son iguales cámbienlos potenciales de los puntos B y D. Por eso los extremos de las resistencias A, C y por lo tanto B, D podemos considerar conectados entre sí. De este modo, las resistencias AB, CB y CD están conectadas en paralelo. Un circuito equivalente está representado en la fig. 440. La resistencia total será R/3.

De un alambre de longitud L y de resistencia R es necesario hacer un calentador para conectarlo en una red con tensión U. Se sabe que por el alambre puede pasar, Sin miedo a quemarlo, una corriente no mayor que . ¿Qué cantidad máxima de calor q se podrá obtener, en unidad de tiempo, con la ayuda del calentador? Para hacer el calentador, el alambre puede cortarse en pedazos y después unirse en serie o en paralelo.

Solución:

Por la ley de Joule—Lentz, la cantidad de calor para una determinada U será mayor cuanto menor es la resistencia. La resistencia mínima de un pedazo del alambre que puede conectarse en la red con tensión U es r = U/I0. La longitud de este pedazo es . Si cortamos el alambre en pedazos y los conectamos en paralelo, entonces a cada uno de los sectores será aplicada la máxima tensión posible en el circuito U y por cada uno de los sectores pasará la cantidad de corriente máxima I0. Por lo tanto, en cada uno de los sectores se desprenderá la potencia calorífica máxima igual a y en todos los sectores, la potencia, donde n es el número máximo, entero, de pedazos de longitud l en que podemos cortar el alambre.
El resto del alambre de longitud menor que l deberá tirarse fuera, puesto que si hacemos una conexión en paralelo, a través de éste pasará una corriente mayor que I0 y este pedazo se quemará; si lo conectamos en serie con cualquiera de los demás pedazos, obtendremos un pedazo con resistencia mayor que r y en éste se desprenderá una cantidad de calor menor que q0.

Hallar la resistencia de un tetraedro ABCD, hecho de seis hilos de resistencia R cada uno. Los hilos conductores están unidos a los vértices A y B.

Solución:

A causa de la simetría, los puntos D y C tienen el mismo potencial. No pasa corriente por el conductor DC, por eso podemos tirarlo del circuito sin cambiar la resistencia general del circuito, que, después de esto, se calcula fácilmente: r =R /2.

Encontrar la resistencia del hexágono, representado en la fig. 170, conectado al circuito entre los punto A y B. La resistencia de cada conductor del circuito es R.

Solución:

Debido a la simetría se hace evidente que la corriente en el conductor 1—7 es igual a la corriente en el conductor 7—4; la corriente en el conductor 2—7 es igual a la que pasa por el conductor 7—3; la corriente en el conductor 6—7 es igual a la que tiene en el conductor 7—5 (fig. 170). Por eso, la distribución de las corrientes y por consiguiente, la resistencia del hexágono no cambiará, si desconectamos los conductores 2—7, 7—3, 6—7 y 7—5 del centro (fig. 441). La resistencia de este circuito que es equivalente a la del circuito inicial, se calcula muy fácilmente. La resistencia de la parte superior del circuito es 8/3R. La parte inferior tiene la misma resistencia.

La resistencia total se halla de la relación

De donde resulta que Rx = 4/5R

Determinar la resistencia de un cubo, hecho de alambre, al conectarlo en un circuito entre los puntos A y B (fig. 171). La resistencia de cada arista del cubo es igual a R.

Solución:

Esta claro, que gracias a la simetría, los potenciales de los vértices del cubo 2, 3 y 6 son iguales. Son iguales también los potenciales de los vértices 4, 5 y 7 (fig. 171). Por eso los vértices 2, 3, 6 y 4, 5, 7 podemos unir mediante conductores adicionales de resistencia nula. La resistencia del cubo por esta causa no cambiará. De este modo los conductores adicionales se conectan el uno con el otro por seis conductores: 2—7, 2—4,3—5, 3—4, 6—7 y 6—5. La resistencia del circuito (fig. 442) es igual a la resistencia incógnita del cubo:

Un rectángulo ADBC está soldado de alambres de iguales sección S y resistencia específicar. La diagonal AB es hecha también de ese mismo material y sección (figura 172). Determinar la resistencia entre los puntos A y B y la resistencia entre los puntos C y D, si y

Solución:

La resistencia entre los puntos entre A y B es:

, donde , ,. La resistencia entre los puntos C y D se hallará al examinar las corrientes que pasan por las ramificaciones del circuito (fig. 443).

De los conceptos de simetría se hace evidente que las corrientes en los conductores DB y AC y también en los conductores AD y BC son iguales, respectivamente, la una a la otra, siendo la corriente en el conductor AD , porque la suma de las corrientes en el nudo A es nula. En el sector D A C tenemos

,

y en el sector D A B C

,

De donde

,

La resistencia que tratamos de hallar será

En la fig. 173 está representado el circuito del puente de Wheatstone para medir resistencias . Es la resistencia desconocida; es la resistencia estándar; G es el galvanómetro unido al contacto de corredera D con un conductor homogéneo de gran resistencia AB (hilo de resistencia). Demostrar que en ausencia de corriente a través del galvanómetro, tiene lugar la relación. La resistencia de los conductores de conexión puede ser despreciada.

Solución:

Si no pasa corriente por el galvanómetro, entonces los potenciales de los puntos C y D son iguales y la corriente que pasa por la resistencia es igual a la corriente que pasa por la resistencia , y la corriente a lo largo de la ramificación AB (el hilo de resistencia), es igual en todas las secciones. Por la ley de Ohm, recibimos

, ,

Donde ρ es la resistencia específica y S, la sección transversal de la ramificación AB, de donde concluimos que .

¿Qué resistencia es necesario conectar entre los puntos C y D (fig. 174) para que la resistencia de todo el circuito (entre los puntos A y B) no dependa del número de células elementales?

Solución:

Entre los puntos C y D es necesario conectar una resistencia r de modo que la resistencia de la última célula (fig. 444) sea igual a r. En este caso, la última célula puede sustituirse por la resistencia r, luego se repite este proceso con la penúltima célula, etc. Entonces, la resistencia total del circuito no dependerá del número de células y será igual a r. Para r podemos escribir la ecuación: de donde resulta que

En los circuitos de salida de los generadores, para la disminución de la tensión de salida en un determinado número de veces, se utiliza un dispositivo llamado atenuador. El atenuador tiene la forma de un reductor de tensión, montado según el circuito de la fig. 175. Un conmutador especial permite unir con el Terminal de salida el punto, cuyo potencial se produce por el generador, o cualquiera de los puntos , … , cuyo potencial es k veces menor que el potencial del anterior ( k>1). El segundo Terminal de salida y los extremos inferiores de las resistencias están puestos a tierra. Determinar la relación de las resistencias : : siendo cualquiera el número de células.

Solución:

La última célula es un reductor de tensión que disminuye el potencial de enésimo punto en comparación con el punto n k veces. Por lo tanto,

Ó (figura 445).

La relación deberá cumplirse para cualquier célula. Por eso, la resistencia de toda la última célula, las dos últimas, las tres últimas, etc. también deberá ser igual a (véase el problema 491), de donde resulta que

, ,

y finalmente

¿Con qué aparatos es necesario disponer a fin de verificar experimentalmente la ley de Ohm, es decir, demostrar que la intensidad de la corriente es directamente proporcional a la diferencia de potencial?

Solución:

No se puede utilizar sólo los aparatos, cuyo principio de funcionamiento se basa en la desviación de un conductor con corriente en un campo magnético. El ángulo en que deberá inclinarse el indicador de este aparato es proporcional a la intensidad de la corriente que pasa por el aparato. La determinación de la diferencia del potencial por medio de este tipo de aparato, como por medio de cualquier medidor de corriente, se basa en la ley de Ohm: la corriente que pasa por el voltímetro es proporcional a la diferencia do potencial aplicada. Para verificar la ley de Ohm hace falta un voltímetro electrostático junto con un amperímetro común.

A dos condensadores planos iguales, unidos en paralelo, fue transmitida una carga Q. En el momento de tiempo , la distancia entre las placas del primer condensador comienza a aumentar uniformemente según la ley de y la distancia entre las placas del segundo empieza a disminuir uniformemente según la ley . Despreciando las resistencias de los conductores de conexión, hallar la intensidad de la corriente del circuito en el período de movimiento de las placas de los condensadores.

Solución:

Designemos por y las cargas en el primer y en el segundo condensadores en le momento de tiempo t. y están unidas por las relaciones

,

Puesto que

,

Entonces resulta que

De donde deducimos que
,

La disminución de la carga en el primer condensador es igual al aumento de la carga en el segundo condensador. La intensidad de la corriente es La corriente pasará en dirección de la placa cargada positivamente del primer condensador a la placa cargada positivamente del segundo condensador.

Encontrar el trabajo realizado por un campo electrostático (véase las condiciones del problema 494) para aumentar simultáneamente la distancia entre las placas del primer condensador y para disminuir la distancia entre las placas del segundo condensador en una magnitud a.

Solución:

Las fuerzas de atracción que actúan entre las placas de los condensadores son iguales a

Para el primer condensador y

Para el segundo condensador (véase el problema 494). Como las placas del primer condensador se mueven, las fuerzas del campo electroestático realizan un trabajo negativo. Estas fuerzas realizan un trabajo positivo en el segundo condensador. El trabajo realizado por el campo durante el movimiento de cada una de las placas a pequeña distancia , es igual a

Donde .De de este modo, el trabajo de un pequeño sector es proporcional al movimiento x, como esto tiene lugar durante la extensión de un muelle. Por lo tanto el trabajo total es

El trabajo A puede calcularse también de otro modo. Si la resistencia de los hilos de conexión es nula, la cantidad de calor desprendido es también nula. Por eso la variación de la energía electrostática de dos conductores será igual al trabajo del campo electroestático.

En el momento t, las energías del primer y segundo condensadores tendrán por lo tanto, los valores siguientes:

La energía total será

De este modo la energía en un intervalo total de tiempo t disminuye en un valor esta variación será igual al trabajo A del campo electrostático.

Durante el trabajo con un galvanómetro muy sensible el experimentador, sentado en una silla junto a una mesa, descubrió un fenómeno curioso. (El galvanómetro estaba fijo en la pared y los extremos de su arrollamiento estaban conectados a una llave abierta, situada en la mesa). Al levantarse de la silla y tocar la mesa con la mano, el experimentador observó un desplazamiento considerable del galvanómetro. Si el investigador tocaba la mesa sentado en la silla, tal desplazamiento no se observaba. De igual modo, la imagen del galvanómetro no se desplazaba, cuando el hombre tocaba la mesa, sin sentarse anteriormente en la silla. ¿Cómo pueden explicarse estos fenómenos?

Solución:

En la fricción que existe entre la ropa y el asiento de la silla tiene lugar la electrización. El cuerpo del experimentador y el asiento forman un condensador especial. Cuando el experimentador se levanta, la capacidad de este condensador disminuye bruscamente y como consecuencia de esto, se eleva también bruscamente la diferencia de potencial entre el asiento (es decir, «la tierra») y el cuerpo del experimentador. Es evidente que para esto hace falta que el cuerpo esté muy bien aislado de la tierra (zapatos con suela de goma).

En el momento cuando el físico toca la mesa, la diferencia de potencial entre la mano y la tierra se equilibra. Se genera una corriente eléctrica, cuya parte sumamente insignificante pasa a través del galvanómetro. Para el salto de la imagen es necesario que la resistencia entre uno de los extremos de la bobina del galvanómetro y la tierra sea menor que la resistencia entre el otro extremo y la tierra.

El circuito de la corriente se muestra esquemáticamente en la fig. 446. O es el arrollamiento del galvanómetro; K, la llave de conexión; R muestra condicionalmente una resistencia muy grande pero finita entre uno de los extremos del devanado y la
tierra. El salto en el galvanómetro se observa a pesar de la enorme resistencia del circuito debido a la gran diferencia de potencial que aparece al disminuir la capacidad.

En un galvanómetro muy sensible, con el circuito abierto, fue descubierto el siguiente efecto. Si se aproxima un cuerpo cargado a uno de los extremos del arrollamiento del galvanómetro, habrá un salto. Si aproximamos este cuerpo al otro extremo del arrollamiento, el salto ocurrirá en el mismo sentido. ¿Cómo explicar este fenómeno?

Solución:

Está claro que existe una determinada asimetría entre los conductores a los cuales están conectados los extremos del devanado del galvanómetro. Esto puede tener lugar si la resistencia del aislamiento entre uno de los extremos de la bobina y la tierra es menor que entre la tierra y el otro extremo. Además de esto, debe tenerse en cuenta que la resistencia entre los conductores que parten de la bobina del galvanómetro, pese al perfecto aislamiento, es diferente de un valor infinito.

El circuito que explica el paso de la corriente se muestra en la fig. 447. O es el devanado del galvanómetro: y son los conductores que salen de los extremos del devanado; T es la tierra: y representan esquemáticamente unas resistencias muy grandes, pero finitas, que surgen debido al aislamiento no ideal . La línea punteada muestra el circuito de la corriente cuando un cuerpo cargado negativamente fue acercado al conductor. Si el cuerpo se acerca al conductor , el circuito se representa por puntos.

Se ve que en ambos casos, la corriente pasa por el devanado del galvanómetro en la misma dirección. Este problema demuestra

¿Cómo está distribuido el potencial en la pila Daniell, estando abierto el circuito externo?

Solución:

En la fig. 448 el punto A muestra el potencial de electrodo positivo (de cobre) y el punto D muestra el potencial del electrodo negativo (de zinc). En la solución de el electrodo de zinc se electriza negativamente como resultado de la emisión de iones positivos de Zn y el de cobre en la solución de se electriza positivamente debido a que éste recibe los iones positivos de Cu. El potencial del electrólito se representa por la línea y muestran los saltos del potencial en los límites electrodo—electrólito.

La f.e.m. es igual a la diferencia de potencial en los extremos de la pila abierta:

Representar gráficamente la variación aproximada del potencial a lo largo de los circuitos cerrados representados en la fig. 176. determinar la intensidad de la corriente para cada circuito y la diferencia de potencial entre los puntos A y B. Prescindir de la resistencia de los conductores de conexión.

Solución:

Las distribuciones correspondientes del potencial se muestran en la fig. 499, a, b, c y d.

a)

b) . Los potenciales de los conductores que unen las pilas son iguales, pero la corriente no es nula.

c)

d) La diferencia de potencial entre los conductores existe, pero la corriente no pasa.

Fig. 176

Cuando se mezcla un mol de zinc con ácido sulfúrico se desprenden cerca de J de calor, y para la liberación de un mol de cobre de una solución de sulfato de cobre (caparrosa azul) se utilizan cerca de J. Encontrar por estos datos la f.e.m de la pila Daniell.

Solución:

Para cada mol de las sustancias reactivas en la pila se libera una energía Gracias a esta energía, la corriente eléctrica realiza un trabajo , Donde es la f.e.m. de la pila y , la cantidad de electricidad transportadora. Como el cobre y el zinc son divalentes, las cargas de los iones son iguales, en valor, al doble de la carga del electrón. Un mol de sustancia contiene átomos y por consiguiente de donde: V.

Dos pilas Daniell con resistencias internas r1=0.8 y r2= 1.3 y la misma f.e.m. están unidas en paralelo y cerradas por una resistencia externa R. Determinar la relación de la cantidad de zinc que se disuelve en estas pilas en un determinado intervalo de tiempo.

Solución:

La relación de las intensidades de las corrientes que pasan por las pilas es porque su f.e.m. son iguales. Por la ley de Faraday las masas del zinc disuelto son proporcionales a las corrientes:

Una pila Daniell esta hecha de materiales absolutamente puros. Determinar el gasto de zinc y de los cristales de caparrosa azul (), si la pila da una corriente del 0.1 A en el periodo de 8 horas.

Solución:

Cada átomo de zinc pasando a la solución en forma de ion trasmite al circuito exterior dos electrones portadores de la carga al mismo tiempo, los iones se depositan en la lamina de cobre en forma de átomos neutros debido que la concentración de la solución de disminuye. Para mantener la concentración constante es preciso disolver continuamente cristales de en cantidad que compense la salida de los iones y de la solución. Por la condiciones del problema tenemos que una carga paso por la pila. Esto corresponde al paso de la solución de átomos de zinc, que constituye cerca de 0.98 g de zinc. Por consiguiente, de la solución se desprendió la misma cantidad de átomos de cobre (cerca de 0.95g) y para restablecer la concentración de la solución de es necesario disolver 3,73 g de cristales de sulfato de cobre.

En una pila Daniell el cobre fue sustituido por cera cubierta por capa de grafito. Describir los fenómenos que ocurrirán en esta pila, si unimos mediante un alambre el zinc con la capa de de grafito.

Solución:

Al disolver el zinc, los iones positivos pasan a la solución y los electrones que se liberan a través del alambre pasan a la capa de grafito y neutralizan los iones positivos de cobre en la solución de . Por eso el grafito se cubre con una capa de cobre. El fenómeno puede utilizarse en la galvanoplastia.

La solución del ácido sulfúrico esta utilizada como electrolito

¿Cómo variará la f.e.m. de la batería que se ve en la fig. 177, si eliminamos la pared entre los recipientes?

Solución:

La variación de la f.e.m. de la batería depende de la relación entre las dimensiones de los electrodos y el recipiente. Si dos electrodos medios tienen dimensiones casi iguales a la sección del recipiente, la f.e.m. de la batería cambiara muy poco. Si los electrodos son pequeños, la f.e.m. disminuirá aproximadamente en dos veces.

Una barra de carbón homogéneo se encuentre en el fondo de un recipiente con electrolito. A los extremos de la barra esta conectado un voltímetro que posee gran resistencia. Sobre el medio de la barra de carbón se apoya una barra de zinc. ¿Qué mostrara el voltímetro, si la barra de zinc esta en posición vertical? ¿Cómo variara su indicación si la barra de zinc se inclina para la derecha o para la izquierda?

Solución:

Con cada una de las mitades de la barra de carbón, la barra de zinc forma una pila cerrada. De la resistencia exterior de la pila sirve la resistencia de la mitad de la barra de carbón, la resistencia de la barra de zinc y el contacto zinc-carbón (véase el circuito equivalente en la fig. 450).

Cuando la barra de zinc esta en posición vertical, las corrientes y en ambas mitades de la barra de carbono son iguales y la indicación del voltímetro será nula. Si la barra esta inclinada, entonces la resistencia interna de una de las pilas disminuirá y la de la otra aumentara. Las corrientes y no serán iguales entre si y entre los extremos de la barra de carbón surgirá una diferencia de potencial que será indicada por el voltímetro.

Una esfera conductora hueca de radio R = 5 cm, fue colocada en un baño electrolítico lleno de una solución de caparrosa azul. En la superficie de la esfera existe una abertura de radio r = 0.5 mm. ¿En cuanto aumentara el peso de la esfera, si el deposito de cobre dura t = 30 min. Para una densidad de corriente en el electrolito igual a j = 0.01 A/?

Solución:

Si el campo dentro la esfera prácticamente no existe y tampoco existe la corriente en su superficie interna. Por lo tanto, la masa del cobre desprendido es donde A/n es el equivalente electroquímico del cobre y F, el numero de Faraday.

Si un condensador que tiene carga Q se descarga dentro de un baño electrolítico con agua ácida, entonces habrá un desprendimiento del gas oxhídrico. Según la ley de Faraday la cantidad de sustancia desprendida durante la electrolisis, depende solamente de la cantidad de electricidad que paso. Esto significa que si descargamos el condensador dentro de N baños unidos en serie, se desprenderá N veces mas de gas oxhídrico. N puede hacerse suficientemente grande y obtener cualquier cantidad de gas. Quemando este gas, obtendremos cierta cantidad de energía, lo que contradice explícitamente al principio de conservación de la energía, puesto que la energía inicial del condensador cargado no sea infinitamente grande. ¿En que consiste la cuestión?.

Solución:

El problema es el siguiente: Durante la electrolisis tiene lugar la polarización de los electrodos y cada baño adquiere una f.e.m. dirigida en sentido opuesto a la corriente que sale del condensador. Como consecuencia de esto, el condensador no puede descargarse completamente. Cuanto mas grande es el baño, mayor será la f.e.m. Resultante de la polarización y por lo tanto, mayor será la carga que queda en el condensador. La energía del gas oxhídrico será siempre menor de la energía del condensador cargado

Al explotar un gas oxhídrico, para cada gramo de hidrogeno reaccionado se desprenden J de calor. Utilizando estos datos, encontrar para qué valor mínimo de la f.e.m. de una batería puede ocurrir la electrolisis del agua?

Solución:

En la electrolisis del agua los electrodos se polarizan y surge f.e.m. de polarización dirigida en sentido opuesto a la f.e.m. de la batería. Por eso la electrolisis tiene lugar solamente en el caso cuando la f.e.m de la batería es mayor . Al pasar la carga por el electrolito, la batería realiza un trabajo contrario a la f.e.m. De la polarización: Gracias a este trabo se efectúa la descomposición del agua con formación del gas oxhídrico. Basándose en el principio de conservación de la energía, la energía química de gas oxhídrico desprendió durante el caso de la carga es igual a

De acuerdo con la ley de Faraday, el desprendimiento de un gramo de hidrogeno en el cátodo, esta acompañado del paso de una cantidad de electricidad.

Por consiguiente V. la f.e.m de la batería deberá ser mayor que 1.5 V.

Durante la electrolisis los iones positivos y negativos continuamente se neutralizan los electrodos correspondientes. ¿Qué causas mantienen la concentración de los iones en los electrolitos en un nivel constante? , ¿En que partes del electrolito sucede la reposición de los iones neutralizados?

Solución:

Una determinada concentración de iones es el resultado del equilibrio dinámico: la cantidad de iones que aparecen durante la disociación electrolítica, es igual a la disminución del numero de de iones resultantes del proceso inverso: de recombinación (al chocarse los iones de signos opuestos pueden formar una molécula neutra). En las cercanías de los electrodos la concentración de los iones disminuye y el equilibrio perturba. El número de iones surge debido a la disociación que el número de iones recombinados. Precisamente este proceso forma los iones para el electrolito. El proceso tiene lugar cerca de los electrodos. Dentro del electrolito el equilibrio dinámico no cambia.

La intensidad total de corriente los electrolitos se determina como la suma de dos corrientes: la corriente de los iones positivos y la de los negativos, o sea,

Donde e es la carga del ion, n y v son las concentraciones y velocidades de los iones positivos y negativos. ¿Por qué la cantidad de substancia despendida, por ejemplo, en el cátodo, se considera proporcional a la corriente total y no a la corriente en ?

Solución:

Durante 1 segundo alcanzan el cátodo y se depositan en el iones positivos (S es el área del cátodo). Al mismo tiempo se alejan iones negativos. Durante el proceso de salida de los iones negativos, el equilibrio dinámico entre las moléculas neutras del electrolito y los iones ñeque ellas se disocian, se perturba (véase el problema 509). Surgen de nuevo iones negativos y la misma cantidad de iones positivos. Los iones positivos se depositan también en el cátodo y como resultado de este, la cantidad de iones positivos que se depositan en el cátodo por segundo será igual a la corriente total.

La temperatura de las extremidades calientes de una termopila es igual a , y de las extremidades frías es igual a , la f.e.m de la batería es igual. Para mantener una temperatura constante en las extremidades calientes se trasmiten a estas, por unidad de tiempo, dos calorías. A la batería fue unido un baño electrolítico con solución del sulfato de cobre (caparrosa azul). ¿Cuál será la cantidad máxima de cobre (teóricamente) que puede ser depositada en el cátodo por unidad de tiempo?

Solución:

El mayor coeficiente de rendimiento posible en una batería térmica teóricamente es igual a

Donde es la cantidad de calor absorbida en unidad de tiempo por los terminales calientes; la carga que pasa por el circuito en unidad de tiempo; y , las temperaturas absolutas de los terminales. Por la ley de faraday la masa depositada durante un segundo en el cátodo de cobre es igual a .

Sustituyendo el valor de de la primera ecuación, obtenemos que

.

Dos esferas metálicas de radios y , que se encuentran a una distancia la una de la otra, fueron unidas a una batería con fuerza electromotriz = 3000 v. Encontrar la fuerza de interacción de las esferas. La interacción de los conductores de conexión puede ser despreciada.

Solución:

La diferencia de potencial entre las esferas deberá ser igual a . Por lo tanto, , donde y son las cargas de las esferas. Según el principio de conservación de la carga , de donde Por la ley de Coulomb tenemos

Las placas de un conductor `plano fueron conectadas a una batería, cuya f.e.m. es igual a . Calcular el trabajo mecánico realizado por el campo eléctrico para desplazar las placas, si, inicialmente, la distancia entre las placas era igual a y en el final a , siendo. Prescindir del desprendimiento del calor de la batería y en los hilos conductores.

Solución:

Como resultado del movimiento de las placas la magnitud de la carga en el condensador aumenta en un valor

.

En Este Caso la batería realizara un trabajo

La energía electrostática del condensador aumentara en

En la aproximación de dos placas se realizo un trabajo mecánico . Basándose en el principio de conservación de la energía tenemos y por consiguiente.

.

Gracias al trabajo de la batería tuvo lugar el aumento de la energía electrostática del condensador y se realizo el trabajo mecánico .

Determinar las tensiones y en los condensadores (fig. 178), si , ,, . La conductividad de los dieléctricos puede ser despreciada.

Solución:

El trabajo de las fuerzas del campo electrostàtico durante el movimiento de una carga en un circuito cerrado es nulo. Por eso

.

Las cargas en los conductores son iguales, porque la suma de las cargas que se encuentran en los conductores tanto superior como inferior. Es nula. Por consiguiente, , de donde resulta que

Una de Las placas de un condensador, esta conectado a una batería con fuerza electromotriz igual a , esta puesta a tierra (fig. 179). ¿Varían los potenciales de las placas del condensador respecto a la tierra, si desconectamos el conductor a la placa del condensador con la tierra?

Solución:

No varían. Durante la puesta de las placas a la tierra de un nodo alternado, pasan los mismos procesos que tienen lograr cuando la batería no existe. La única diferencia reside en que la diferencia de potencial ente las placas siempre se mantiene constante.

Por un acumulador de resistencia interna r y f.e.m. pasa una corriente igual a I. ¿Cuál es la diferencia de potencial en los terminales del acumulador?

Solución:

Si la corriente pasa en dirección indicada en la fig. 451 (el acumulador se descarga), entonces si la corriente tiene sentido contrario (el acumulador se carga), entonces (véase la respuesta del problema 499, c).

¿Por que una pila galvànica, con f.e.m. de algunos voltios, produce una corriente considerable y una maquina electrostática, con f.e.m. de decenas de miles de voltios, produce una corriente insignificante?

Solución:

La resistencia interior de una pila galvànica no es grande y la de una maquina electrostática es enorme. Esta es la resistencia de los aisladores (decenas y centenas de millones de ohmios).

¿En que caso las pilas galvànicas conectadas en serie y cerradas con una resistencia externa, producirán menos corriente que una de estas pilas conectada a la misma resistencia?

Solución:

Para dos pilas tenemos

Donde es f.e.m.; r, la resistencia interior de las pilas y R, la resistencia exterior. Para una pila (por ejemplo, para la primera) tenemos

Por la condición del problema recibimos que , o sea,

De donde es preciso que

.

Para determinar el lugar de deterioro del aislamiento entre los conductores de una línea telefónica bifilar, de longitud Km., a su extremo fue conectada una batería con f.e.m.V. Luego resulto que si los conductores del otro extremo de la línea están abiertos, la corriente que pasa por la batería es igual a A, si están cortocircuitados la corriente que pasa por la batería es igual a A. La corriente de corto circuito de la batería es A. La resistencia de cada conductor de la línea es igual a .Determinar la resistencia del aislamiento R en el lugar de territorio.

Solución

Basándose en la ley de Ohm, podemos escribir que

,

Donde l es la distancia desde la batería hasta el lugar de deterioro y , la resistencia interior de la batería. Del sistema de ecuaciones dado resulta que

El valor de debe menospreciarse, porque para este valor obtenemos que el lugar de deterioro de la batería esta alejado de la bacteria a 5.9 km. En efecto, siendo tenemos

km.

La resistencia incógnita es .

Las pilas galvanicas con f.e.m. V y V están conectadas de acuerdo con el circuito representado en la figura 180,a un voltímetro cuyo valor cero se encuentra en medio de la escala, muestra la tensión V, y su aguja se inclina para aquel lado como cuando la llave K esta abierta ¿ Que mostrara el voltímetro, si unimos los aparatos según el circuito que se da en la figura 180,b? la corriente que pasa por el voltímetro puede ser despreciada.

Solución

En el sector tenemos

,

Donde ; y son las resistencias interiores de las pilas. Por las condiciones del problema sabemos que el potencial del punto A es menor que el potencial del punto B. por eso . Para otro circuito tenemos:

,

Donde . Resolviendo el sistema De ecuaciones “dado, hallamos que V.

Resolver el problema 520, con la condición que cuando la llave K está cerrada (fig. 180, a), la aguja del voltímetro se inclina para el lado opuesto que con la llave abierta.

Solución

En el caso dado el potencial del punto A, estando la llave cerrada, es mayor que el potencial del punto B, ya que estando la llave abierta . Por eso . Las demás ecuaciones tienen la misma forma que las ecuaciones del problema 520. Por consiguiente

V

Dos pilas con f.e.m. V y V están unidas de acuerdo con el circuito representado en la fig. 181. la resistencia es . Las resistencias internas de las pilas son iguales a cada una. Determinar las intensidades de las corrientes que pasan por las pilas y la resistencia R. las resistencias de los hilos conductores se desprecia.

Solución

Supongamos (arbitrariamente) que las corrientes tengan las direcciones indicadas en la fig. 452, entonces, basándose en la ley de Ohm, podemos escribir las igualdades

,

.

Como en ningún punto del circuito tiene lugar la acumulación de cargas, recibimos que

.

Resolviendo este sistema de ecuaciones, hallamos las corrientes , y ;

A,A, A

Los resultados positivos obtenidos por nosotros confirman la certeza de las direcciones de las corrientes escogidas inicialmente.

¿Para que valor con la resistencia R con el circuito del problema 52, no pasara la corriente por la pila galvánica con f.e.m ? ¿Para cuales valores de R la corriente que pasa por esta pila será dirigida con la f.e.m. de la pila?

Solución

Si , entonces , y como antes ; de ahí resulta que . Si la corriente se dirige en sentido opuesto a entonces el sistema de ecuaciones tendrá la siguiente forma

, ,

, ,

De donde .

Esta condición se satisface si ; por lo tanto deberá verificarse la desigualdad

Ó .

¿Es posible con ayuda de 24 acumuladores, teniendo cada uno f.e.m V y resistencia interna , obtener la corrienteA, en el circuito externo por una resistencia, juntándolos en unos grupos iguales.

Solucion

Hay dos posibilidades de conectar los acumuladores. Se puede, dentro de aislados grupos, conectar los acumuladores en serie y los propios grupos, en paralelo o inversamente, dentro del grupo unirlos en paralelo y los propios grupos en serie. Designando por N el número total de acumuladores y por n el número de acumuladores dentro de un grupo aislado, en el primer caso tendremos

Como f.e.m. de un grupo es igual a, la resistencia del grupo es y el número de grupos conectados en paralelo es igual a.I1 Alcanzará el valor máximo, si es mínimo. El mínimo de una expresión de forma puede calcularse del siguiente modo. La dependencia

,(1).

que está representada gráficamente en la fig. 453, tiene un mínimo en el punto X0 en que coinciden las raíces de la ecuación del segundo grado (1). Por eso, por lo tanto y

A.

En el segundo caso, recibimos

.

La corriente tendrá un valor máximo siendo Por lo tanto

De este modo, es imposible recibir una corriente que supere 20A.

Una estufa eléctrica, calculada para una tensión de V, necesita ser modificada, sin cambiar y disminuir la espiral, para V de modo que su potencia permanezca la misma. ¿Que es necesario para hacer esto?

Solucion

El modo de modificación se ve con claridad en la fig. 454

¿Por qué, al conectar a la red un aparato calentador de una gran potencia (por ejemplo, una plancha eléctrica), el caldeo de la bombilla en un apartamento disminuye notoriamente, luego pasado un pequeño intervalo de tiempo aumenta, alcanzando aproximadamente la intensidad anterior?

Solucion

La potencia consumida por el aparato calentador en el primer momento es mucho mayor que la potencia nominal, puesto que la resistencia de la espiral fría es pequeña. Consecuentemente será grande la caída de la tensión en los conductores que van de la línea principal al apartamento. Mientras que se calienta la espiral, la potencia consumida aminora, aproximándose a la nominal.

Una tetera eléctrica tiene dos arrollamientos. Al conectar uno de ellos, el agua hervirá durante un tiempo t1, y si conectamos el otro, entonces hervirá durante un tiempo t2 ¿Después de cuánto tiempo hervirá la misma cantidad de agua, si conectamos dos arrollamientos al mismo tiempo: 1) ¿en serie? 2) En paralelo?

Solucion

Como en todos los casos la tetera se conecta a la misma red eléctrica, es más conveniente utilizar la fórmula para la cantidad de calor desprendido en forma de ; de ahí resulta que. .

Como U y Q son iguales para todos los casos, la última igualdad puede escribirse del siguiente modo: , donde . Designando las resistencias de los devanados por y, recibimos .y Al conectar los devanados en paralelo, recibimos

.

Al conectar en serie obtenemos:

De donde ,

Un hervidor eléctrico tiene tres arrollamientos. Si unimos dos arrollamientos en paralelo, conectando en serie el tercer a los otros dos, entonces, para diferentes combinaciones de los arrollamientos, el agua en un recipiente hierve en 20, 40 y 16 minutos respectiva- mente. ¿En cuánto tiempo hervirá el agua, si unimos todos los arrollamientos 1) en serie? 2) en paralelo?

Solucion

1) , 2) (Véase la solución del problema 527).

Para transmitir la energía eléctrica a grandes distancias con ayuda de un transformador, aumentan la tensión de modo que la potencia permanezca la misma y la intensidad de la corriente se haga menor. De acuerdo con la ley Joule- Lentz, la cantidad del calor, desprendido en los conductores, es igual a y consecuentemente, las pérdidas de energía al desprenderse el calor, serán diminutas a corrientes pequeñas. Por otro lado, , o sea, la cantidad del calor desprendido incrementa con el aumento de la tensión. Explicar: ¿Por qué el aumento de tensión conduce a la economía de energía eléctrica durante su transmisión a grandes distancias?

Solucion

Al calcular la perdida del calor en los conductores de la línea de alta tensión utilizamos la fórmula, donde U es la diferencia de potencial en los extremos de la línea (la caída de la tensión en los conductores) y no la tensión en el devanado secundario del transformador de elevación. Esta diferencia de potencial no es grande (como tiene lugar en la tensión del devanado del transformador) y disminuye con la reducción de la corriente que pasa por la línea.

Un acumulador con f.e.m y resistencia interna esta cerrado por una resistencia externa y desprende en él una potencia de .

Determinar la diferencia de potencial en los terminales del acumulador. ¿Cuál es la causa de la ambigüedad de los resultados?

Solucion

La potencia desprendida en la resistencia exterior es igual a , en le caso dado, y por lo tanto ; de este modo, de donde resulta

Y ó .

Los diferentes valores del resultado están relacionados con el hecho de que una misma potencia puede desprenderse en diferentes resistencias exteriores R, si a cada resistencia corresponde una determinada corriente:

Para

Para

Dos hornillos eléctricos, conectados en paralelo a la red urbana, consumen un potencial total igual a N.

Si los conectamos en serie la potencia será mayor que la potencia de cualquier otro par de hornillos eléctricos conectados en serie que consumen una potencia N, siendo conectados en paralelo. ¿Qué potencias consumen estos hornillos siendo conectados en la misma red por separado?

Solucion

Al conectar en paralelo, tenemos:

Al conectar en serie, tenemos:

= =

En el numerador de la ultima expresión aparece el producto de dos valores, cuya suma es constante (igual a N). Este producto será máximo, cuando los valores que analizamos son iguales; de ahí resulta que , o sea,

¿Qué potencia máxima útil (potencia desprendida en una resistencia externa) puede producir un acumulador con f.e.m. y resistencia interna igual a ? ¿Cuál deberá ser , este caso, la resistencia en el circuito externo?

Solucion

La potencia máxima útil (véase el problema 530) es igual a . Designemos = x. Es necesario hallar para qué valor de U tendremos un máximo para x.

La dependencia grafica de x en función de U se muestra en la fig.455. La curva tiene la forma de una parábola si a cada x corresponden dos valores de U. Par aun determinado valor de x tendremos una ecuación cuadrática respecto a U. x tendrá un valor máximo cuando ambas raíces de la ecuación son iguales. Por consiguiente, para un valor máximo de x el discriminante de la ecuación deberá ser nulo:de ahí resulta que:

,

.

En este caso, recibimos

,

,

O sea, la resistencia exterior es igual al a interior.

Determinar el rendimiento del acumulador mencionado en los problemas 530 y 532. ¿De qué modo depende el rendimiento de la resistencia externa, permaneciendo constante la resistencia interna? ¿Cómo variará en este caso la potencia útil? ¿Podrá ser igual a la unidad?

Solucion

Según la definición el coeficiente de rendimiento en la relación entre la potencia útil y la potencia total desprendida por el acumulador, o sea, donde es la diferencia de potencial en la resistencia exterior R. Por consiguiente, En el problema 530 ;. En el problema 532 , cuando , entonces la potencia útil desprendida será

(Lo mismo que la total) y tenderá hacia cero.

La carga de un acumulador con fuerza electromotriz inicial se realiza por una estación de carga, donde la tensión de la red es igual a U. La resistencia interna del acumulador es r. Determinar la potencia útil gastada para cargar el acumulador y la potencia gastada para el desprendimiento del calor en el acumulador.

Solucion

Por la ley de Ohm, tenemos , de este modo. La potencia útil gastada para cargar el acumulador, es:

La cantidad de calor desprendido por unidad de tiempo, será:

La potencia total consumida es:

¿Sobrepasara la potencia útil gastada en la carga de un acumulador, a la cantidad del calor desprendido en éste?

Solucion

La potencia útil es:

(Véase el problema 534). La cantidad de calor desprendido por unidad de tiempo es:

Generalmente, durante la carga << y por lo tanto, Una pequeña parte de la potencia de la estación de carga se gasta en el desprendimiento del calor.

Por un conductor pasa una corriente I=10A. Р El área de la sección transversal del conductor es S=50, y el número de electrones libres en de éste es. Definir la dirección de la velocidad v de los electrones, considerándola igual para todos los electrones.

Solucion

Durante un tiempo t por la sección transversal A del conductor pasarán todos los electrones que se encuentran en el volumen (fig. 457). De tal modo, la intensidad de la corriente es:

(e es la carga de un electrón); de ahí obtenemos

.

Un paralelepípedo metálico rectangular, con las dimensiones de lados , se mueve con aceleración a en dirección al lado menor (fig.182).

Encontrar la intensidad del campo eléctrico que surge como consecuencia de la aceleración del movimiento del paralelepípedo, así como la densidad de las cargas eléctricas en las superficies laterales del mismo perpendiculares a la dirección de la aceleración.

Solucion

Los electrones en un metal pueden considerarse libres. La redistribución de los electrones dentro del paralelepípedo terminará cuando el campo eléctrico que surge como consecuencia de la redistribución, esté en condiciones de transmitir a los electrones una aceleración a. De este modo, la intensidad incógnita del campo puede hallarse de la relación:

ma= eE (m y e son la masa y la carga del electrón), de donde resulta que E= (m/e)a.

Las superficies laterales del paralelepípedo perpendiculares al movimiento estarán cargadas: la superficie anterior estará cargada positivamente y superficie posterior, negativamente. La densidad de las cargas es igual a .

Un cilindro metálico macizo de radio R gira con una velocidad angular constante . Hallar la dependencia de la intensidad del campo en función de la distancia hasta el eje del cilindro y la diferencia de potencial entre la superficie del cilindro y el eje.

Solucion

Los electrones libres giran junto con el cilindro. Por consiguiente, el electrón que se encuentra a una distancia r del eje tiene una aceleración Esta aceleración puede surgir solamente bajo la acción de un campo eléctrico dirigido a lo largo del radio a partir del centro del cilindro y que es igual a , donde e y m son la carga y la masa del electrón.

La diferencia de potencial es , porque la fuerza media que actúa sobre la carga unitaria durante su desplazamiento desde el eje hasta la superficie del cilindro, es .

Hay un disco metálico de radio R (fig. 183) que gira con una velocidad angular . El disco esta conectado a un circuito eléctrico por medio de unos contactos corredizos que tienen contacto con el eje del disco y su borde. La resistencia del disco es insignificante en comparación con la resistencia de la carga Determinar la cantidad del calor desprendido por unidad de tiempo. Explicar desde el punto de vista de la teoría electrónica de los metales: ¿Qué es lo que frena el disco?

Solucion

En el disco en rotación tiene lugar la redistribución de las cargas y surge un campo eléctrico, cuya intensidad es donde r es la distancia hasta el centro del disco; e, la carga del electrón; m, su masa. El grafico de dependencia se representa en la fig. 458. La diferencia de potencial entre el centro y el borde del disco es numéricamente igual al área del triangulo sombrado en la fig. 458, o sea, La cantidad de calor Q desprendido en la resistencia por unidad de tiempo es

(1)

donde I es la corriente que pasa por el circuito (puede determinarse por la ley de Ohm).

Los electrones que se mueven del centro a los bordes hacen frenar la rotación del disco. Supongamos que a una distancia R.

Existen N iones situados a iguales distancias el uno del otro. A cada choque con un ion el electrón adquiere una cantidad de movimiento p bajo la acción del impulso de la fuerza que actúa sobre el electrón por parte del ion:

El momento de la cantidad de movimiento adquirido por el electrón a cada choque es igual a:

Si la corriente en el circuito es I, entonces el momento de la cantidad de movimiento transmitida a los electrones por todos los N iones por unidad de tiempo es

Para , recibimos

El trabajo realizado por los N iones por unidad de tiempo es

Al comparar las ecuaciones (1) y (2), recibimos que (2)