Ejercicios – Electromagnetismo – Inducción electromagnética. Corriente alterna

Por dos cremalleras metálicas dirigidas se mueve, sin rozamiento y con velocidad constante, un conductor de longitud l y resistencia eléctrica igual a r. Las cremalleras están unidas por un conductor inmóvil de resistencia R. Todos los conductores están distribuidos en un mismo plano y se encuentran en un campo magnético homogéneo de inducción igual a B, dirigida perpendicularmente al plano de los conductores (fig. 200).

La resistencia eléctrica de las cremalleras es pequeña con relación con r y R. Determinar la diferencia de potencial del campo eléctrico entre los puntos A y B. Explicar la causa del surgimiento de la corriente eléctrica.

Solución

Los electrones de conducción del conductor A B se mueven con velocidad v encontrándose en un campo magnético y, por consiguiente, sobre ellos actúa la fuerza de Lorentz dirigida a lo largo del conductor desde el punto B hasta el punto A. En este caso la fuerza de Lorentz que actúa por unidad de carga es ya que La fuerza electromotriz según la definición, es numéricamente igual al trabajo realizado sobre la carga unitaria positiva durante su movimiento por un circuito cerrado. Como la fuerza de Lorentz actúa solamente sobre la sección. En el circuito surge una corriente

.

Nosotros nos convencemos muy fácilmente de que el trabajo mecánico realizado por las fuerzas exteriores se transforma completamente en calor de Joule. El campo eléctrico en el circuito tiene una naturaleza electrostática, o sea, las cargas superficiales son la fuente de este campo. Para hallar la diferencia de potencial apliquemos la ley de Ohm a la sección del circuito AB:

Por consiguiente, . La intensidad E del campo electrostático en un conductor móvil es igual a

Y esta dirigida de B a A.

Por dos cremalleras verticales AB y CD, unidas por la resistencia R, puede deslizar, sin rozamiento, un conductor de longitud l y masa m. El sistema se halla en un campo magnético homogéneo de inducción B, dirigida perpendicularmente al plano de la figura (fig. 201). ¿Cómo se conducirá el conductor móvil en el campo de la fuerza de gravedad, si se desprecia la resistencia del propio conductor y de las cremalleras?

Solución

Supongamos que la velocidad de movimiento del conductor en un determinado momento de tiempo es v. Entonces la f.e.m. en este momento de tiempo será igual a y la intensidad de la corriente, Como consecuencia de la acción del campo magnético sobre el conductor con la corriente aparece la fuerza f que obstaculiza la caída libre del conductor: Por consiguiente, en el momento de tiempo dado, la aceleración se halla de la relación

Vemos fácilmente que la aceleración a disminuye a medida que aumente la velocidad y, en el momento cuando se produce la igualdad de las fuerzas la aceleración se hará nula. El conductor, a partir de este momento, se moverá con velocidad constante igual a .

Por dos cremalleras metálicas paralelas, situadas en un plano horizontal y cerrado por un condensador de capacidad C, puede moverse, sin rozamiento, un conductor de masa m y longitud 1. Todo el sistema se encuentra en un campo magnético homogéneo de inducción B que está dirigida hacia arriba. En el centro del conductor, perpendicularmente al mismo y paralelamente a las cremalleras, se aplica la fuerza F (fig. 202).

Determinar la aceleración del conductor móvil, si la resistencia de las cremalleras, de los hilos conductores y del conductor móvil es igual a cero. ¿En cuáles tipos de energía se transforma el trabajo de la fuerza F? Considerar que en el momento inicial la velocidad del conductor es nula.

Solución

La f.e.m. inducida que aparece en el conductor es .

La carga en las armaduras del condensador se halla de la relación : . La corriente que pasa por el circuito es donde a es la aceleración desconocida. Como consecuencia de la interacción de esta corriente con el campo magnético surge la fuerza que actúa sobre el conductor móvil. Basándose en la regla de Lentz, esta fuerza estará dirigida en sentido opuesto a la fuerza F. El valor . La aceleración incógnita puede hallarse de la relación: de donde es un valor constante. El trabajo de la fuerza F en el trayecto S se utilizará para aumentar la energía cinética del conductor y la energía electrostática del condensador.

Un cuadro rectangular está situado en el plano de un conductor rectilíneo infinito, por el cual circula una corriente, y los lados AD y BC son paralelos al conductor (fig. 203). En el medio del lado DC está conectado un aparato que mide la cantidad de carga que pasa por el cuadro (en la figura no está representado).

El cuadro puede ser colocado en una nueva posición, representada en la fig. 203 por las líneas punteadas, por dos métodos: 1) desplazándola paralelamente a sí misma; 2) girándola en 180° en torno del lado BC. ¿En qué caso será mayor la carga que pasa por el aparato?

Solución

Durante la variación del flujo magnético que penetra en el cuadro en un pequeño valor dentro de un intervalo pequeño de tiempo , en éste se induce una f.e.m. y

Pasa una corriente que puede considerarse constante gracias al pequeño . Por lo tanto, la carga que pasa por el aparato durante el tiempo es

Donde R es la resistencia del cuadro; la carga depende sólo de la variación del flujo durante el tiempo . La carga total que pasa por el aparato es igual a la suma de las cargas elementales :

La variación del flujo magnético en ambos casos tiene el mismo signo (el flujo disminuye), pero en el primer caso el flujo varía de un determinado valor positivo a otro menor que el valor positivo. En el segundo caso la variación del flujo tiene lugar desde el mismo valor inicial hasta cero y luego hasta un cierto valor negativo. De este modo, en el segundo caso, la variación total del flujo es mayor que en el primero y por consiguiente, en el segundo caso la carga que pasa por el aparato es mayor.

Una bobina de n espiras fue conectada a un galvanómetro balístico. El área de cada espira es S. (El galvanómetro balístico mide la cantidad de cargas eléctricas que pasan por él.) La resistencia de todo el circuito es R. Inicialmente, la bobina se encuentra entre los polos de un imán, en la región donde el campo magnético es homogéneo y su inducción es B y perpendicular al área de las espiras. Después la bobina fue desplazada para un espacio, donde no existe campo magnético. ¿Cuál es la cantidad de electricidad que pasa por el galvanómetro?

Solución

Basándose en la ley de inducción electromagnética (de Faraday) y en la ley de Ohm, tenemos

Puesto que el flujo magnético inicial es y el final es , la cantidad de electricidad que pasa será

Un circuito rectangular ABCD se desplaza, en movimiento de avance, en un campo magnético de una corriente I que pasa por un conductor rectilíneo largo 00′. Los lados AD y BC son paralelos al conductor. Determinar el valor y la dirección de la corriente inducida en el circuito si éste se desplaza con una velocidad constante La resistencia del circuito es R (fig. 204).

Solución

Como la f.e.m. inducida es entonces

, (1)

Donde es el flujo magnético que penetra en el circuito ABCD. Si prescindimos de la inductancia de este circuito, resulta

,

Donde es la distancia en que se desplaza el circuito durante el tiempo . Haciendo en esta igualdad y sustituyendo la expresión encontrada en (1), obtenemos

La corriente estará dirigida en sentido horario.

Un anillo de alambre de radio r se encuentra en un campo magnético, cuya inducción es perpendicular al plano del anillo y varía con el tiempo según la ley Determinar la intensidad del campo eléctrico en la espiral.

Solución

Según la ley de Faraday tenemos La f.e.m. inducida es numéricamente igual al trabajo realizado por el campo eléctrico para desplazar la carga unitaria positiva a lo largo de una espira, o sea, de donde De este modo recibimos finalmente que

Es necesario subrayar que el campo eléctrico dado no se crea por las cargas eléctricas, pero sí por el campo magnético que cambia con el tiempo. Recordamos que el trabajo realizado por un campo electrostático para desplazar una carga eléctrica por un circuito cerrado, es siempre nulo. Nosotros entendemos por el campo electrostático un campo eléctrico creado por cargas electrostáticas.

Un anillo de sección rectangular (fig. 205) fue hecho de un material de resistencia específica . El anillo se encuentra en un campo magnético homogéneo. La inducción del campo magnético esta dirigida según el eje del anillo y aumenta proporcionalmente con el tiempo . Encontrar la intensidad de corriente inducida en el anillo.

Solución

Dividamos el anillo en anillos pequeños de g de ancho cada uno. Analicemos un anillo pequeño de altura h, de radio interno x y radio externo. Si g es pequeño en comparación con x, entonces la resistencia de tal anillo puede expresarse por la fórmula:

El valor de la f.e.m. inducida que actúa dentro de este anillo a condición de que es . La corriente que pasa por tal anillo es:

Para determinar la intensidad de la corriente que pasa por todo el anillo es necesario determinar cual es la suma del siguiente tipo

La expresión entre paréntesis es una progresión aritmética. Debido a ello tenemos:

Este resultado será tanto más exacto, cuanto menor es el valor d. Suponiendo que d tienda a cero, recibimos

La mitad de un anillo de alambre de radio tiene resistencia y la otra mitad, . El anillo se encuentra en un campo magnético homogéneo, cuya inducción es perpendicular al plano del anillo y varia con el tiempo según la ley ( es una magnitud constante). Hallar la intensidad del campo electrostático en el anillo.

Solución

Determinar la intensidad de corriente en los conductores del circuito diseñado en la fig. 206, si la inducción del campo magnético homogéneo es perpendicular al plano del diseño y varía con el tiempo según la ley . La resistencia, por unidad de longitud de los conductores, es igual a

Solución

En el circuito ABCD actúa la f.e.m. induciday en el circuito BEFC actúa Un circuito equivalente elemental con pilas que sustituyen las f.e.m. inducidas, para nuestro circuito tiene la forma representada en la fig. 472. Basándose en la ley de Ohm, podemos escribir

Como consecuencia de conservación de la carga y la constancia
del potencial tenemos I1 =I2 + I3. Del sistema de las ecuaciones dado pueden hallarse con facilidad todas las tres corrientes:

Tomando en consideración las expresiones para 1 y 2 , tendremos

En un anillo conductor, circular y uniforme, fue creada una corriente continua de inducción I. El campo magnético variable, que crea esta corriente, es perpendicular al plano del anillo y esta concentrado en las proximidades de su eje de simetría que pasa a través del centro del anillo (fig.207) .¿Cuál es la diferencia de potencial entre los puntos A y B? ¿Qué mostrará un electrómetro conectado a estos puntos?

Solución

La diferencia de potencial entre cualesquiera puntos del anillo deberá ser nula. Pues, en el caso contrario llegaremos a la contradicción aplicando la ley de Ohm a una sección corta y a una sección larga del anillo. Esto es también evidente del punto de vista de la simetría. La ausencia de la diferencia de potencial significa que el campo electrostático dentro del anillo es nulo.

La corriente aparece debido a la presencia de la f.e.m. de inducción distribuida uniformemente a lo largo del anillo: =, donde y son las f.e.m. inducidas en las secciones cortas y largas del anillo; r y R son las resistencias de las secciones respectivamente. A pesar de la ausencia de diferencia de potencial entre los puntos A y B, el electrómetro indicará una diferencia de potencial entre la barra y la armadura. El problema reside en el hecho de que en los conductores AC y BD la corriente es nula. Por consiguiente, en cada punto de estos conductores, el campo eléctrico extraño de origen inducida se equilibra por la intensidad del campo electrostático que surge debido a la redistribución de las cargas en los conductores bajo la influencia de la f.e.m. inducida. El trabajo de las fuerzas electrostáticas durante el movimiento por el circuito cerrado ACDBA es nulo. En la sección AB no existe campo electrostático. Durante el movimiento de una carga por los conductores AC y BD el trabajo de las fuerzas electrostáticas es igual a la f.e.m. inducida en estos conductores y tiene signo contrario. Por lo tanto, para que el trabajo de las fuerzas electrostáticas, a lo largo de un circuito cerrado, sea nulo es necesario que la diferencia de potencial entre los puntos C y D sea igual a la f.e.m. inducida en los conductores AC y DB y coincida con ésta en signo. Como la f.e.m. inducida en el circuito cerrado ACDBA es nula (el campo magnético no penetra en este circuito), entonces en la sección AB la f.e.m. inducida es igual a la magnitud y contraria en el signo a la f.e.m. en los conductores AC y BD, si prescindimos del trabajo de las fuerzas ajenas de inducción en la sección entre la barra y la armadura del electrómetro en comparación con el trabajo en los conductores AC y BD. Por eso el electrómetro indicará una diferencia de potencial aproximadamente igual a la f.e.m. en la sección AB.

Un campo magnético variable crea en un conductor circular ADBKA una fuerza electromotriz constante (véase el problema 592). Las resistencias de los conductores ADB, AKB y ACB (fig.208) son iguales a R1, R2 y R3, respectivamente ¿Qué intensidad de la corriente indicará el amperímetro C ? El campo está concentrado en el eje del conductor circular.

Solución

Este problema se distingue del 592 en que la diferencia de potencial no es nula. Escribamos la ley de Ohm para todas las tres secciones del conductor

designando las corrientes en las secciones ADB, AKB, y ACB por y las f.e.m. inducidas por , respectivamente:

En virtud de la conservación de la carga y de la condición de estabilidad podemos escribir que . Sumando las dos primeras ecuaciones, recibimos

Al restar la primera ecuación de la tercera, obtenemos

Pero la f.e.m. inducida en el circuito ACBDA es nula, porque el campo magnético no penetra en él. Por lo tanto,

El sistema de ecuaciones da el siguiente valor para la corriente incógnita

La resistencia del conductor ACB (véase el problema 593) es R3 = 0. Encontrar las intensidades de corrientes I1, I2, I3 y la diferencia de potencial UA — UB.

Solución

Siendo la resistencia R3 diferente de cero, podemos hallar de las ecuaciones del problema 593:

,

Si , entonces . En el caso general tendremos

Cuando ,

,

siendo(ya que en la sección ADB ), de donde es la f.e.m. inducida en la sección ADB.

Por dos cremalleras metálicas paralelas cerradas por la resistencia R, se mueve un conductor de longitud l. La velocidad del desplazamiento del conductor es igual a v. Todo el sistema se encuentra en un campo magnético homogéneo, cuya inducción está dirigida perpendicularmente al plano, en el cual están situadas
las cremalleras, y varía con el tiempo según la ley . En el momento inicial, el área abcd es igual a S0. Determinar la intensidad de corriente en el circuito (fig. 209).

Solución

En los conductores que forman el circuito, como consecuencia de la variación del campo magnético con el tiempo, aparece un campo eléctrico (rotacional, o sea, no electrostático). El trabajo de este campo eléctrico, gastado para desplazar una carga positiva a lo largo de todo el circuito, es numéricamente igual a la f.e.m. inducida que designamos por . Esta puede determinarse basándose en la ley de Faraday y considerando la variación del flujo magnético relacionado con la variación de la inducción magnética con el tiempo. De esta manera recibimos

Además, durante el movimiento del conductor en un campo magnético surge una f.e.m. como resultado de la acción de la fuerza de Lorentz sobre las cargas del conductor. Esta f.e.m. es

La f.e.m. resultante que actúa dentro del circuito es igual a

puede obtenerse de la ley de Faraday, teniendo en cuenta simultáneamente ambas causas que provocan su surgimiento. Es necesario escribir que , donde . Como

Entonces

Cuando tiende a cero, resulta

De tal modo

Valiéndose de la ley de Ohm, hallamos la intensidad de corriente

La corriente en el circuito está dirigida de a a b.

En un campo magnético homogéneo se halla un anillo de alambre, que es capaz de girar en torno del diámetro, perpendicular a las líneas de inducción magnética. La inducción del campo comienza a crecer. Encontrar las posibles posiciones de equilibrio del anillo e indicar la posición de equilibrio estable. ¿Qué cambiará si la inducción empieza a decrecer?

Solución

En ambos casos el equilibrio se establecerá si el momento de las fuerzas que actúan por parte del campo magnético sobre la corriente inducida en el anillo, es nulo, o la corriente inducida no existe. Esto tendrá lugar si el plano del anillo está situado a lo largo de las líneas de fuerza del campo (la corriente inducida es nula), o si el plano del anillo es rigurosamente perpendicular a las líneas de fuerza (el momento de las fuerzas es nulo). De acuerdo con la regla de Lentz en el campo magnético creciente, la primera posición del anillo será estable y la segunda inestable. En el campo magnético decreciente pasa lo contrario, el equilibrio será estable si hay un ángulo recto entre el plano del anillo y las líneas de fuerza, y será inestable cuando el plano del anillo es paralelo a las líneas de fuerza.

En un cilindro de material no magnético están arrollados N espiras de alambre (solenoide). El radio del cilindro es r y su longitudes l (r«l). La resistencia del alambre es R. ¿Cuál debe ser la tensión en los extremos del alambre, a fin de que la corriente crezca directamente proporcional al tiempo, o sea, para satisfacer la igualdad ?

Solución

Según la condición tenemos que la intensidad del campo magnético es directamente proporcional al tiempo: , entonces la f.e.m. autoinducida es

y está dirigida en contra de la corriente. La tensión en los extremos del solenoide deberá ser igual a

En este caso, .

El solenoide (véase el problema 597) está conectado a una batería, cuya f.e.m. es igual a . En el momento de tiempo t = 0 se cierra la llave. ¿Cuál será la intensidad de corriente en el circuito del solenoide, si prescindimos de las resistencias R del solenoide, de la batería y de los hilos conductores?

Solución

Si , la f.e.m. autoinducida permanece constante, puesto que la tensión en los terminales del solenoide es . De la solución del problema 597 deducimos que, siendo constante, la corriente cambia proporcionalmente al tiempo ,

cuando Por consiguiente, . Si la resistencia es finita y no es nula, la corriente aumentara de acuerdo con esta misma ley hasta el momento cuando la caída de tensión en la resistencia R será suficientemente pequeña en comparación con .

Calcular el trabajo de la batería (véase el problema 598) durante el tiempo . ¿En que tipo de energía se transforma este trabajo?

Solución

El trabajo de la batería en un tiempo será igual a , donde es la cantidad de electricidad que pasa durante el tiempo por solenoide. La corriente en solenoide crece directamente proporcional al tiempo: (véase la solución del problema 598).

Por eso será igual al producto de la intensidad media de la corriente por el tiempo , o será numéricamente igual al área del triangulo sombreado (véase la fig.473):

,

De donde el trabajo será igual a

.

Este trabajo se utilizara para aumentar la energía del campo magnético. Nosotros podemos escribir que A=W, donde W es la energía del campo magnético. Tomando en consideración que y colocando la expresión para la corriente, esta energía puede representarse en la siguiente forma:

.

El anillo de un súper conductor esta situado en un campo magnético homogéneo, cuya inducido crece de cero a . El plano del anillo es perpendicular a las líneas de inducción de campo magnético. Determinar la intensidad de corriente inducida que surge en el anillo. El radio del anillo es r, la inductancia es .

Solución

Como la resistencia del anillo es nula, su f.e.m. resultante deberá siempre ser nula. Esto puede tener lugar solamente en el caso cuando la variación de flujo magnético total que penetra en el anillo será igual a cero. Por lo tanto, la variación del flujo electromagnético externo es igual en magnitud y tiene signo contrario a la variación del flujo magnético creado por la corriente inducida . Tomando en consideración que el flujo crece desde 0 hasta y la corriente inducida varia en este caso desde 0 hasta , recibimos , de donde resulta que .

Un campo magnético homogéneo con inducción se encuentra un anillo súper conductor de radio r. Las líneas de la inducción magnética son perpendiculares al plano del anillo. En el anillo no circula corriente. Hallar el flujo magnético que penetra en el anillo después de haber sido desconectado el campo magnético.

Solución

El flujo magnético a través del anillo no puede variar (véase el problema 600). Por consiguiente . En el comienzo este flujo se creaba por el campo magnético externo y después de ser desconectado este, el flujo se creaba por corriente inducida en el anillo.

Delante del polo de un electroimán fue colgado de un hilo largo un anillo súper conductor (fig.210). ¿Qué ocurrirá con el anillo, si por el arrollamiento del electroimán dejamos pasar corriente alterna?

Solución

Si prescindimos de la resistencia óhmica del anillo, el flujo total de la inducción magnética a través del anillo no varia (véase el problema 600). Esto significa que el campo de las corrientes inducidas en el anillo estará siempre dirigido en sentido contrario al campo del electroimán. Por lo tanto, el anillo ser repelerá.

De un conductor de longitud fue hecho un solenoide de longitud . El diámetro del solenoide es . Determinar la inductancia de solenoide.

Solución

Si por el devanado del solenoide pasa una corriente , entonces, por definición del coeficiente de autoinducción , el flujo de inducción magnética a través de solenoide es

(1)

El flujo de inducción magnética es

Donde es la inducción del campo magnético del solenoide; , la sección de cada espira ; , el número total de espiras del solenoide. Como sabemos, la inducción del campo magnético de un solenoide largo es

Donde n es el número de espiras por unidad de longitud del solenoide. En las condiciones de nuestro problema, tenemos

, .

Por consiguiente, el flujo de la inducción magnética es

(2)

Comparando (1) y (2), encontramos que

Por un solenoide de 1m de longitud que posee 2000 espiras de 10cm de diámetro, pasa una corriente de 1A.

El solenoide se estira uniformemente con velocidad de 40cm/s, además la diferencia de potencial aplicada al solenoide varía continuamente de tal modo, que la corriente permanece constante. ¿Cuál será la variación de la diferencia de potencial en el momento, en que el solenoide se extiende el doble? La variación del diámetro del solenoide durante la extensión puede ser despreciada.

Solución

Por la definición de flujo magnético a través del solenoide es , donde es la inducción del campo magnético del solenoide;, es la sección de cada espira; , el numero de espiras del solenoide. Como sabemos (véase el problema 603), la inducción del solenoide por la cual pasa corriente es . En las condiciones del problema dado , entonces la variación del flujo magnético pasa solamente debido a la variación de la longitud del selenio (de su geometría). En otras palabras, el flujo a través del solenoide . Cambiara debido a la variación del coeficiente de auto inducción :

.

Podemos mantener la corriente constante durante la extensión del solenoide, si cambiamos la diferencia de potencial en sus extremos en un valor, que cualquier momento es igual y opuesto a la f.e.m. autoinducida . Calculamos . Para eso es suficiente hallar :

.

Cuando tiende a cero, tendremos

El solenoide se extenderá el doble durante el tiempo que se puede determinar con facilidad de la igualdad , de donde y en el momento , tenemos

Es necesario cambiar este valor la diferencia de potencial en los extremos del solenoide.

Un campo magnético, dentro de un solenoide abierto, es homogéneo y su inducción varía con el tiempo según la ley . Determinar la tensión que surge como consecuencia d ello en los extremos del solenoide. El solenoide tiene espiras y su radio es igual a r.

Solución

Un solenoide que tiene N espiras y radio r es conectado en serie a una resistencia óhmica R. El campo magnético dentro del solenoide es homogéneo y la inducción del mismo varía con el tiempo según la ley . Determinar la tensión entre los puntos A y B, y la corriente Ien el circuito. (Fig. 211).

Solución

A un solenoide fue conectado un condensador de capacidad C y resistencia óhmica R. El solenoide tiene N espiras de radio r. El campo magnético dentro del solenoide es homogéneo y su inducción varía con el tiempo según la ley . Determinar la tensión entre los puntos A y B, la tensión . Entre B y C, así como la corriente I en el circuito, (fig. 212)

Solución

Donde

1) Del medio de una bobina con núcleo de hierro (el arrollamiento es un conductor de cobre grueso con gran número de espiras) fue hecha una derivación C (fig. 213). Entre los puntos B y C se crea una tensión constante . Encontrar la tensión entre los puntos A y B.

2) Entre los puntos B y C fue aplicada ana tensión alterna (por ejemplo, de la red urbana) con amplitud . Hallar la amplitud de la tensión alterna entre los puntos A y B

Solución

1) Como los extremos A y B están desconectados la corriente no pasa por la sección AC. Por lo tanto, la disminución de la tensión en la sección AC es nula. Por eso la tensión es .

2) En el caso cuando entre los puntos B y C esta aplicada una diferencia de potencial variable, la corriente que pasa por la sección BC crea un flujo magnético variable que crea en la sección AC una f.e.m. inducida. Ya que , la amplitud de la f.e.m. inducida también será igual a . Por eso, la amplitud de la tensión , entre los puntos A y B, será (autotransformador de elevación de la tensión).

El devanado de un auto transformador regulable está arrollado en un núcleo de hierro que tiene de un toroide rectangular (fig.214). Para la protección contra las corrientes de Foucault, el núcleo fue construido de placas finas de hierro, aisladas la una de la otra por una capa de barniz. Esto se puede hacer de diferentes modos: 1) montando el núcleo de finos anillos colocados uno sobre otro; 2) arrollando una cinta larga que tiene una anchura h; 3) haciéndolo de placas rectangulares de dimensiones l x h, distribuyéndolas a lo largo de los radios de los cilindros. ¿Qué método es el mejor?

Solución

El método más inconveniente es el tercero, porque las corrientes de Foucault

capa aisladora. El primer método permite librarse de la mayor parte de las

corrientes rotacionales, pero no todas, puesto que en una capa de devanado del

autotransformador existen muchas espiras en torno del núcleo y una espira a lo

largo de éste. El mejor es el segundo método que se utiliza en la práctica.

Por una bobina que no tiene resistencia óhmica pasa por una corriente alterna sinusoidal. La inductancia de la bobina es L. Representar gráficamente la variación del producto de la corriente por la tensión (potencia instantánea) en función del tiempo. Explicar el carácter de la curva. ¿Cuál es la potencia media por período, utilizada por la bobina?

Solución

Si R = 0, entonces la corriente I se atrasa en fase con relación a la tensión U en un

valor π / 2. Los gráficos U = U sen ωt, I = I sen( ωt – π / 2) y al potencia

instantánea W = I U se muestra en al fig.474. El signo de W cambia cada 1 / 4 del

período.

Al valor de W corresponde la energía recibida por la bobina de al fuente. Cuando el valor de W es negativo, la energía fluye inversamente: de al bobina a la fuente. La bobina en un término medio de período, no utiliza potencia, la potencia media es nula.

Encontrar el valor efectivo de la corriente alterna, si ésta varía según la ley:

Solución

El valor de la corriente continua que desprende en un conductor la misma cantidad del calor que la alterna durante el mismo intervalo de tiempo, se denomina valor efectivo de la corriente alterna. Calculemos la cantidad de calor desprendido en un período

por otro lado, Q =I R T / 8 + I RT / 8 = I R T / 4,

Q = I R T, de donde I = I / 2.

¿Por qué la presencia de una tensión muy alta en el devanado secundario de un transformador elevador no conduce a grandes pérdidas de energía en el desprendimiento del calor en el propio devanado?

Solución

Cuando la corriente eléctrica alterna pasa por un conductor, la cantidad de calor

desprendido es W = I R T . La expresión para la cantidad de calor desprendido tiene la forma W = ( UR ) t, que está válida solamente cuando se verifica la ley de Ohm en su forma común: I = U / R. En el devanado del transformador la inductancia es muy grande, por eso la ley de ohm en su forma común y por lo tanto la expresión W = ( U / R ) t, no se verifican. La cantidad de calor desprendido es pequeña, puesto que es pequeña la intensidad de la corriente y es pequeña también la resistencia óhmica del devanado.

¿Por qué en los circuitos de corriente alterna, que contienen un gran número de

aparatos eléctricos de inductancia considerable (por ejemplo, bobinas), los

condensadores se conectan en paralelo a estos aparatos?

Solución

Si L ω R, entonces el desfasaje entre la corriente y la tensión es muy grande y la potencial utilizada por la red no puede ser grande. La conexión de los condensadores disminuye este desfasaje, porque la corriente que atraviesa el condensador adelanta la tensión, compensando con ello el retardo de fase en la corriente en los aparatos con gran inductancia. Como resultado, la potencia utilizada por la red aumenta

Para determinar la potencia transmitida por una corriente alterna a una bobina, con coeficiente de autoinducción L y resistencia óhmica R, a veces se utiliza el método de tres voltímetros que consta de lo siguiente: se conecta una resistencia conocida R y tres voltímetros como se muestra en la fig.216.

Al medir con ayuda de estos voltímetros las tensiones efectivas: U, en la bobina; U, en la resistencia R y U, entre los terminales de la bobina y la resistencia, se determina la potencia incógnita W. ¿Cuál será esta potencia?
Solución

En un solenoide largo que tiene N1 espiras, longitud 1 y área de la sección S, fue

arrollado compactamente, en toda su longitud, un segundo solenoide, que tiene N2

espiras y la misma sección S. Determinar el coeficiente de inducción mutua de los

solenoides. (El coeficiente de inducción mutua L12, de dos circuitos es numéricamente igual al flujo de inducción magnética que atraviesa el segundo circuito, en el caso de pasar por el primero una corriente I = 1 A).

Solución

Designemos por el índice 1 el solenoide con el número de espiras N1 y por el

índice 2, el solenoide con el número de espiras N2. La inducción del campo magnético

del solenoide 1 es

B1 = ( N1 / l ) I .

Este campo crea a través del solenoide 2 un flujo magnético igual a

= B1SN2 = ( N1 N2 / l ) SI.

de donde para el coeficiente de inducción mutua L12, obtenemos la expresión

L12 = ( N1 N2 / l ) S. ( 1 )

De modo análogo obtenemos la expresión para el flujo de inducción magnética creado por el solenoide 2 que penetra en el solenoide 1:

= ( N1 N2 / l ) SI.

de donde, para el coeficiente de inducción mutua L21, obtenemos la expresión

L21 = ( N1 N2 / l ) S. ( 2 )

De (1) y (2) hallamos que L12 = L21.

En un solenoide largo fue arrollado compactamente una bobina. La corriente en el

solenoide crece directamente proporcional al tiempo. ¿Cuál es el carácter de la

dependencia de la corriente en la bobina en función del tiempo?

Solución

La velocidad de variación del flujo magnético es constante y por consiguiente la f.e.m. inducida en la bobina también es constante. Si la bobina se conecta en un circuito

cerrado, por ella pasará corriente continua. Igualmente como otra cualquiera corriente

continua, ella no se establece de una vez. El tiempo de su establecimiento se determina

por el coeficiente de autoinducción de la bobina y por su resistencia.

Dos anillos superconductores de radio r, se encuentran a una distancia d el uno del otro, además d  r. Los centros de los anillos están en una recta 00′, perpendicular a los planos de ambos anillos. Los anillos pueden desplazarse solamente a lo largo de esta recta.

En el momento inicial por los anillos pasan, en una misma dirección, corrientes del mismo valor I0. ¿Qué corrientes se establecerán en los anillos después de que éstos se acerquen? (fig. 217).

Solución

El flujo total de la inducción magnética Φ que atraviesa un anillo superconductor, como muestra la solución del problema 600, no podrá variar. Por lo tanto cuando los anillos se acercan el aumento del flujo a cuenta de la inducción mutua se compensa por su disminución como resultado de la reducción de la corriente que pasa por el anillo. Si la distancia entre los anillos es grande, su inducción mutua puede prescindirse y, entonces, Φ = LI, donde L es la inductancia del anillo. Cuando los conductores se acercan mucho el uno al otro, entonces el flujo magnético a través de cada anillo será donde I es la corriente incógnita. Por lo tanto, I = I/2, o sea, las corrientes en los anillos disminuyen en dos veces.

Describir el carácter del movimiento de los anillos del problema 617, si en el

momento inicial pasan por ellos corrientes de diferentes intensidades.

Analizar solamente las fuerzas de interacción magnética

Solución

Supongamos que en el momento inicial la corriente I en el primer anillo sea

mayor que la corriente I en el segundo anillo. Cuando los anillos se acercan, las

corrientes que pasan en ellos se disminuirán (véase el problema 617). En un momento

de tiempo determinado, la corriente I se hará nula y por consiguiente, se hará nula la fuerza de interacción de los anillos. No obstante, los anillos seguirán acercándose el uno al otro por inercia. En el segundo anillo se aparecerá una corriente en sentido contrario a la corriente inicial, y la corriente en el primer anillo comenzará a crecer. Entonces, los flujos de la inducción magnética a través de cada anillo permanecerán invariables.

Entre los anillos surgirá una fuerza de repulsión y debido a ello, su movimiento

comenzará a frenarse.

Los anillos no podrán acercarse muy cerca el uno al otro, porque para esto deben verificarse simultáneamente las igualdades

LI=LI – LI, LI=LI – LI,

que es posible solamente si I= I.Los anillos paran para un instante, a una distancia cualquiera el uno del otro, y después comenzarán a separarse. En este caso, en el segundo anillo va a disminuirse la corriente I hasta el momento en que ésta no se haga igual a cero. Si I=0, la corriente I adquirirá el mismo valor que tenía durante la aproximación de los anillos en el momento del cese de la corriente I. Luego comenzará la atracción de los anillos, etc. El proceso se repetirá periódicamente.

Demostrar que, al despreciar la corriente de un transformador sin carga y la resistencia óhmica de sus arrollamientos, tiene lugar la relación donde e son las corrientes en los arrollamientos, y y , son los números de espiras en éstos. Los arrollamientos reconsideran como bobinas de una misma sección transversal.

Solución

La tensión en los terminales de la bobina primaria , si prescindimos de su resistencia óhmica, puede representarse como la suma algebraica de la f.e.m. de autoinducción de este arrollamiento y de la f.e.m. inducida que provoca en éste una corriente que pasa por la bobina secundaria:

El signo «menos» surge como consecuencia de que las corrientes e tienen fases opuestas. Si las corrientes varían por la ley e , entonces:

Como la tensión está desfasada con relación a la corriente en un valor, entonces podemos escribir que . Dividiendo la expresión para U1 por , tendremos:

es el valor de la corriente en vacío, si no tomamos en consideración la resistencia óhmica del arrollamiento.

Prescindiendo del valor de la corriente en vacío, determinamos que . Aprovechando la expresión para los coeficientes de autoinducción o inducción mutua, obtenemos que

Sobre un solenoide largo que tiene longitud , sección y número de espiras , compactamente, en toda la longitud, se arrolla un segundo solenoide que tiene el número de espiras y la misma sección que la primera. Por el primer solenoide pasa la corriente ,por el segundo, la corriente Encontrar la energía del campo magnético de este sistema.

Solución

La inducción del campo resultante dentro de los solenoides es igual a:

,

Donde la elección del signo «más» o «menos» depende del hecho de que las corrientes en los solenoides tienen el mismo sentido o sentido opuesto. La energía W del campo resultante en todo el volumen dentro de los solenoides es:

W = SI =

Utilizando las expresiones para las inductancias y de los solenoides: , y la expresión para el coeficiente de inducción mutua: la energía magnética de los solenoides puede escribirse en la siguiente forma:

El primer término de esta fórmula da la energía propia de la corriente el segundo término determina la energía propia de la corriente . La presencia del tercer sumando demuestra que la energía de las dos corrientes en los circuitos que tienen una conexión magnética, se diferencia de la suma de las energías propias de las corrientes en el valor que se denomina energía mutua de dos corrientes.

¿Para cuáles tensiones disruptivas deben ser calculados el condensador C y el diodo L, si el rectificador (fig. 218) puede trabajar tanto con la carga como sin ella?

Solución

Las semiondas positivas de la corriente cargan el condensador hasta una amplitud de tensión igual a la amplitud de la red urbana que es . Cuando el diodo está cerrado (no pasa corriente), a él se aplica la tensión de la red (con amplitud de 180 v) más la tensión del condensador cargado. La variación del potencial a lo largo del circuito en este momento de tiempo está representada en la fig. 475. Si el rectificador trabaja sin carga, el condensador debe calcularse para una tensión disruptiva no menor que 180 V y el diodo, para una tensión no menor que 360 V.