Ejercicios – Mecánica – Hidrostática, hidrodinámica, aerodinámica, aerostática

Sobre la superficie lisa de una mesa se halla un recipiente amplio con agua. El nivel del agua en el recipiente es el peso de del recipiente con el agua es . En la pared lateral del recipiente, junto al fondo, hay un orificio de bordes redondeados de área cerrado por un tapón. ¿Para que valor del coeficiente de rozamiento entre el fondo y la superficie de la mesa, el recipiente empezara a moverse al sacar el tapón?

Solución:

La velocidad de salida del agua del orificio es El impulso de la fuerza con que el recipiente actúa sobre el agua que sale es donde es la masa del agua expulsada durante el intervalo de tiempo . Por lo tanto, La presión cerca del fondo es y por eso Con esta misma fuerza el chorro de agua actúa sobre el recipiente. De este modo, el agua actúa sobre la pared con orificio con una fuerza de un valor menor que la fuerza con que el agua actúa sobre la pared opuesta, y no decomo parece a primera vista. Esto esta relacionado con la disminución de la presión sobre la pared con orificio debido a la mayor velocidad de la corriente del agua cerca de esta pared. El recipiente comenzará el movimiento, si ó

Al salir el chorro de líquido de un recipiente a través de un orificio de área , la fuerza que actúa sobre la pared con el orificio es menor que la que actúa sobre la pared opuesta (véase el problema 285). Si en el orificio se coloca un tubo, como muestra la fig. 119, entonces la diferencia de las fuerzas que actúan sobre las paredes opuestas se hace aproximadamente igual a , puesto que, debido al tubo, junto a la pared el liquido no se mueve.

Por otra parte, la variación de la cantidad de movimiento del líquido por unidad del tiempo durante la salida del recipiente siempre es igual a donde es el área de la sección transversal del chorro. ¿Cómo relacionar entre sí estos hechos?

Solución:

De acuerdo con la segunda ley de Newton debe verificarse obligatoriamente la igualdad Por consiguiente, con la salida del líquido por el tubo, el área de la sección transversal del chorro deberá disminuirse en dos veces: Esta compresión del chorro se explica del siguiente modo. Los chorros extremos del líquido que se aproximan al tubo en la parte superior no pueden, gracias a la inercia, superar el extremo del tubo, pasando muy junto de las paredes, y tienden al centro del chorro. Bajo la presión de las partículas que se mueven cerca del centro del chorro, las líneas de la corriente del agua se enderezan y el chorro ya más estrecho del líquido corre a lo largo del tubo.

Un chorro de agua que sale por un tubo de diámetro con velocidad choca contra una pared vertical. Determinar la fuerza que actúa sobre la pared, considerando que el tubo esta dirigido perpendicularmente a la pared y el agua no se salpica.

Solución:

Menospreciando el agua salpicada, nosotros consideramos el choque del chorro en la pared como absolutamente inelástico. Según la segunda ley de Newton, la variación de la cantidad de movimiento del agua durante el intervalo de tiempo es donde , es la masa del agua que pasa durante el intervalo de tiempo a través de la sección transversal del tubo. De ahí obtenemos que

En un tubo, doblado en ángulo recto, de sección transversal pasa el gas con velocidad la densidad del gas es ¿Con que fuerza el gas actúa sobre el tubo? Prescindir de la compresión del gas y del rozamiento.

Solución:

Durante el movimiento del gas por el tubo (fig. 393), la cantidad de su movimiento no cambia en valor, pero cambia en dirección. Por unidad de tiempo a través de la sección transversal de la parte vertical del tubo pasa la masa que posee una cantidad de movimiento donde es el vector de velocidad de la corriente del gas en la parte vertical, numéricamente igual a la velocidad dada . Durante este mismo tiempo, a través de la sección II pasa la masa que posee una cantidad de movimiento donde es el vector de velocidad en la parte horizontal, que también es numéricamente igual a . La variación de la cantidad de movimiento es igual al impulso de la fuerza con que el tubo actúa sobre el gas: Por su valor la fuerza es .

Según la tercera ley de Newton el gas actúa sobre el tubo con la misma fuerza. Esta fuerza está dirigida hacia el lado opuesto a la curva del tubo.

Encontrar la fuerza que actúa sobre la paleta de una rueda (Fig.120), considerando que el chorro después de chocar con la paleta, continúa el movimiento con la velocidad de la paleta. La altura de la presión del agua es , el radio de la rueda es , la velocidad angular de rotación de la rueda es y el área de la sección transversal del chorro es .

Solución:

La velocidad inicial del agua respecto a la paleta es . Por eso, por unidad de tiempo, la paleta desplaza una masa de agua igual a . La velocidad del agua respecto a la paleta, después del choque, es igual a y por eso la variación de la cantidad de movimiento del agua, por unidad de tiempo, es igual a . De acuerdo con la segunda, ley de Newton tenemos:

Un buque sufrió una ruptura- seria en la obra viva (Fig. 121). ¿Para cuál lado se desplazará el buque como consecuencia de esta ruptura?

Solución:

En primer momento el buque se moverá hacia la derecha, porque la presión sobre el estribor disminuye en un valor , donde es la presión a una profundidad de la ruptura y , su área (véase el problema 285). Más tarde cuando el chorro de agua alcanzará la pared opuesta, sobre ésta comenzará a actuar una fuerza , donde es la velocidad del chorro respecto al buque (véase el problema 287). es un tanto mayor que , puesto que debido al hecho de que el buque se mueve al encuentro del chorro. Como consecuencia de ello el movimiento comenzará a disminuirse.

De un recipiente amplio a través de un tubo estrecho comienza a salir cierto líquido (Fig.122). ¿Cómo están distribuidas, por la vertical, la presión y la velocidad del líquido en el recipiente y en el tubo?

Solución:

La velocidad de la corriente del líquido en el tubo es constante en toda la sección debido a la pequeña compresibilidad de éste y la continuidad del chorro. Esta velocidad es La velocidad del líquido en el recipiente es muy pequeña y prácticamente igual a cero, porque el área del recipiente es mucho mayor que el de la sección del tubo. Por lo tanto, en el límite recipiente. Tubo deberá haber un salto de presión que designaremos por . El trabajo de las fuerzas de presión provoca un cambio de la velocidad desde hasta . Basándose en el principio de conservación de la energía, podemos escribir:

,

Donde es el área de la sección del tubo; la altura de un volumen pequeño del líquido y, la masa de este volumen. Por consiguiente,Debido a la constancia de velocidad de la corriente, la presión en el tubo cambia de acuerdo con la ley igualmente como en un líquido inmóvil. Es la presión atmosférica y , la distancia que se calcula del extremo superior del tubo. La variación de la presión con la altura se representa en la Fig. 394. En el eje de las ordenadas se encuentra la presión y en el de las abscisas, la distancia de la superficie del líquido en el recipiente.

Un recipiente con agua, descrito en el problema ante­rior, se cuelga en una balanza de resorte. La parte inferior del tubo está cerrada con un tapón. ¿Cómo variará la indicación de la balanza en el primer ins­tante, cuando se saque el tapón y empiece a salir el líquido?

Solución:

El agua que sale del tubo durante un pequeño intervalo de tiempo posee una cantidad de movimiento igual a = , donde es la velocidad del chorro del agua (véase el problema 291). De acuerdo con la segunda ley de Newton tenemos que F . Con la misma fuerza el chorro actuará sobre el recipiente con agua. Por lo tanto, la indicación de la balanza inicialmente disminuirá en

En uno de los platillos de la balanza se encuentra un recipiente con agua (Fig.123). La balanza está en equilibrio. ¿Perderá el equilibrio la balanza si abrimos el grifo? (El agua que sale del recipiente cae en el mismo platillo en el que se encuentra éste.)

Solución:

En el primer momento, mientras que el chorro no alcance el platillo, no habrá equilibrio. El platillo subirá porque el agua que salió del recipiente deja de ejercer presión sobre el fondo de éste. No obstante, después de alcanzar el chorro el platillo, el equilibrio se restablece. Analicemos una sección (o un volumen pequeño) del chorro de masa .Cayendo sobre el platillo esta sección transmite al chorro en dirección vertical un impulsodonde es la altura del grifo sobre el platillo. Por otro lado, esta sección, abandonando el recipiente, deja de presionar sobre su fondo y sobre el platillo, en el transcurso de tiempo de caída Esto equivale al surgimiento del impulso de la fuerza que actúa sobre el recipiente verticalmente hacia arriba durante el período de caída de la sección del líquido. El valor medio de este impulso, durante el tiempo de caída, será igual a

De este modo, con cada volumen del líquido m está relacionado, por término medio, el surgimiento de dos impulsos de fuerza iguales y de sentidos opuestos. Como el chorro corre ininterrumpidamente, la balanza se encontrará en equilibrio. En el momento cuando cesa el chorro, el platillo bajara, por que los últimos volúmenes del líquido, cayendo en el platillo, actúan sobre este con una fuerza que supera su peso y la disminución de la presión sobre el fondo del recipiente cesará.

En la (Fig. 124) está representado el ariete hidráulico (una construcción de auto elevación del agua). El principio de su funcionamiento se basa en el fenómeno del golpe de ariete, o sea, el crecimiento brusco de la presión en el líquido que corre por un tubo, al parar bruscamente; por ejemplo, al cerrar la válvula que deja pasar el agua del tubo. Un tubo de longitud y de diámetro fue colocado en un arroyo, cuya velocidad es . Supongamos que al principio la vál­vula está abierta y la válvula cerrada. El aumento brusco de la presión obliga abrirse a la válvula (en este caso la válvula se cierra) y el agua se dirige hacia arriba, en dirección al re­cipiente . La presión disminuye, la válvula se cierra y la válvula se abre. El agua en el tubo empieza a moverse, y todo se repite en la misma consecuencia anteriormente descrita. Determinar la cantidad del agua elevada por el ariete durante 1 hora a una altura , sabiendo que cada válvu­la se abre 30 veces por minuto.

Solución:

Basándose en el principio de conservación de la energía, podemos escribir quedonde es la masa de agua que queda en el tubo al cerrarse la válvula ; es la masa de agua que sube a una altura . De ahí recibimos: , donde es el volumen de la masa m. En 2s Se sube como término medio un volumen de agua En una hora de trabajo del ariete se subirá un volumen

Durante las tempestades, cuando la velocidad del viento alcanza un valor considerable, el viento arran­ca los tejados de las construcciones. Se observan dos tipos de caída de los techos: 1) si el techo está mejor sujeto en los puntos A y B que en el punto C (el remate), entonces la corriente de aire parece abrir el techo por la línea que pasa por el punto C (Fig.125, a); 2) si el techo está bien fijo en el punto C y menos fijo en los puntos A y B, entonces el flujo de aire primero eleva el techo hacia arriba y después lo lleva al lado (Fig.125, b). ¿Cómo pueden explicarse estos fenómenos?

Solución:

La presión en el flujo de aire que contornea el techo es menor que la presión del aire en reposo. Esta presión excesiva de aire inmóvil por debajo del techo, provoca los fenómenos descritos.

¿Por qué una bola ligera de celuloide puesta en un chorro de aire o de agua que sale con gran velocidad por un tubo de orificio estrecho, planea libremente en este chorro (Fig. 126)?

Solución:

Gracias a la gran velocidad de la corriente del gas dentro del chorro, la presión interior en el chorro es menor que la de la atmósfera. Por debajo la bola se mantendrá por la presión del chorro y por los lados, por la presión estática de la atmósfera.

Un aparato de demostraciones representado en la Fig. 127, consta de dos discos A y B. En el centro del disco A hay un orificio unido por un tubo a un balón de aire comprimido. El disco B está colgado en tres barras pequeñas, a lo largo de las cuales él puede desplazarse libremente por la vertical. Si hacemos pasar un chorro de aire comprimido por el tubo, el disco inferior empezará a tocar el superior. Explicar el principio de este fenómeno.

Solución:

Cuando la corriente del aire pasa entre los discos su velocidad disminuye, a medida que se aproxima a los bordes de los discos. Cerca de los bordes la velocidad es mínima. La presión en el chorro del gas es tanto menor cuanto mayor sea su velocidad. Por eso la presión entre los discos es menor que la de la atmósfera. La presión atmosférica aprieta el disco inferior contra el superior y por eso la corriente del gas cesa. Luego, la presión estática del gas desplaza nuevamente el disco y el proceso vuelve a repetirse.

En el fondo de un recipiente amplio hay un tubo fino por el cual el agua que llena el recipiente puede salir de éste (Fig. 128). Entre el recipiente y el tubo se pone una red. Si una bola ligera se coloca en el fondo del recipiente en el momento, cuando el agua comienza a salir del recipiente, entonces la bola no subirá a la superficie. Si dejamos parar el agua, en­tonces la bola inmediatamente sube a la superficie.

¿Por qué? (Este experimento puede comprobarse fácilmente en una jofaina, utilizando una bola para tenis de mesa.)

Solución:

En el flujo de agua que corre la presión disminuye a medida que aumenta la velocidad de la corriente. La velocidad de la corriente de agua en el recipiente es esencialmente menor que la velocidad de la corriente en el tubo y, por lo tanto, la presión del agua en el recipiente es mayor que en el tubo. En el límite recipiente—tubo la velocidad de la corriente aumenta y la presión disminuye; como consecuencia de esto la bola puesta en la red resulta ser apretada contra ésta y no emergerá.

Una bomba consta de un cilindro, situado horizontalmente, con un pistón de área y un orificio de salida de área que se encuentra cerca del eje del cilindro.
Determinar la velocidad de la salida del chorro de
la bomba si, bajo la acción de la fuerza , el pistón se desplaza con una velocidad constante. La den­sidad del líquido es.

Solución:

En un intervalo de tiempo el pistón se desplaza a una distancia (Fig. 395). En este caso la fuerza F realizará un trabajo. La masa del líquido derramado en el tiempoes . La velocidad de la corriente del líquido se determina según la relación: La variación de la energía cinética del líquido durante el tiempo es igual a:

Esta variación de la energía debe ser igual al trabajo de la fuerza F:

Excluyendo u hallamos que Si entonces

En el problema 299 para , la velocidad se vuelve indefinidamente mayor, incluso para una pequeña fuerza . Explicar por qué surge este resul­tado paradójico.

Solución:

Al resolver el problema 299, tenemos en consideración que la velocidad de cualquier volumen del líquido que se encuentra en la bomba es constante. La variación de la velocidad desde hasta tiene lugar en la salida del líquido de la bomba. No obstante, esto no pasa inmediatamente después de que la fuerza comienza a actuar sobre el pistón. Hace falta que pase cierto tiempo durante el cual el proceso se establezca, o sea, las partículas del líquido en el cilindro adquieran una velocidad constante. Para el intervalo de tiempo tiende al infinito y por eso la velocidad adquirida por el líquido bajo la acción de una fuerza constante se hace infinitamente grande.

Los relojes de agua (clepsidra) de la Grecia antigua representan un recipiente con un orificio pequeño (Fig. 129). El tiempo se marca por el nivel de agua en el recipiente. ¿Qué forma debe tener el recipiente para que la escala del tiempo sea uniforme?

Solución:

Introduzcamos el sistema de coordenadas, representado en la Fig. 396. La velocidad de la corriente del líquido por la fórmula de Torricelli es: donde y es el espesor de la capa de agua en el recipiente superior.

Como consecuencia de la incompresibilidad del agua, tenemos , donde es la velocidad de descenso de nivel superior del agua; su área y s, el área del orificio. Si consideramos que el recipiente tiene una simetría axial, entonces , donde x es la coordenada horizontal de la pared del recipiente. Por consiguiente, puesto que por la condición del problema el nivel el agua deberá bajar con velocidad constante. De ahí determinamos que la forma del recipiente se da por la ecuación donde

Un vaso cilíndrico de líquido gira con una velocidad angular en torno de un eje vertical (Fig. 130). De­terminar la variación de la presión en la sección transversal del recipiente en función de la distancia hasta el eje de rotación. (Utilizar el método expuesto en la resolución del problema 211.)

Solución:

En la sección horizontal la presión en dependencia de la distancia r hasta el eje cambia según la ley donde es la presión en el eje del vaso y , la densidad del líquido. La deformación de la compresión del líquido será máxima cerca de las paredes del vaso, al mismo tiempo que la deformación de tracción de la barra en rotación (problema 211) será máxima en la proximidad del eje.

Encontrar la forma de la superficie de un líquido en un recipiente cilíndrico que gira con velocidad angular en torno del eje vertical (o sea, hallar la altura del nivel del líquido en función de la distancia hasta el eje de rotación).

Solución:

A una distancia r del eje de rotación la presión excesiva es (véase la solución del problema 302). Por otro lado, esta presión se determina por la diferencia entre el nivel del líquido en el sector dado y el nivel en el eje: (Fig. 397). Igualando estas expresiones, recibimos: . Esta es la ecuación de una parábola. Por consiguiente, la superficie del líquido en el recipiente en rotación tiene la forma de un paraboloide de rotación.

¿Por qué después de revolver el té con una cucharilla, los trocitos de las hojas de té se juntan en el medio del vaso?

Solución:

Al revolver el agua, comunicamos a las partículas de ésta en el vaso cierta velocidad angular . La distribución de la presión en el líquido será aproximadamente la misma que fue obtenida en la solución del problema 302. La presión excesiva dentro del líquido equilibra la presión provocada por la diferencia de niveles en los bordes del vaso y en el eje (véase el problema 303). Después de parar de revolver, como resultado de fricción en el fondo, la velocidad de rotación del líquido en el fondo comienza a disminuir tanto más sensiblemente cuanto más lejos el líquido se encuentra del eje. Ahora, la presión excesiva provocada por la rotación no equilibrará el peso de la columna de líquido cerca de los bordes del recipiente. Como consecuencia de esto surge una circulación del líquido que se ve esquemáticamente en la Fig. 398. Por eso los trocitos de las hojas de té se juntan en el medio del fondo del vaso.