Electromagnetismo – Capitulo 11 – Movimiento de las partículas cargadas en los campos eléctrico y magnético

§ III.11.1. Fuerza de Lorentz

1^o. El campo magnético actúa no solo sobre los conductores con corriente (III.10.1.4o), sino también sobre las partículas aisladas con carga que se mueven en él. La fuerza F_L que actúa sobre la carga eléctrica q que se mueve en el campo magnético con velocidad v, se llama fuerza de Lorentz;

donde q es la magnitud algebraica de la carga en movimiento; B, la inducción magnética del campo en el cual se mueve la carga (III.10.1.2o); y c, la constante electrodinámica (III.10.2.2o).

La fig. III.11.1 ilustra la disposición mutua de los vectores v, B y: F_L para una carga positiva (q > 0) y para una carga negativa (q < 0). El modulo de la fuerza de Lorente es

,

donde es el ángulo entre los vectores v y B     .

2o. La fuerza de Lorentz está siempre dirigida perpendicularmente a la velocidad de traslación de la partícula cargada y le comunica a está una aceleración normal (I.1.4.6o). Como la misma no provoca la variación del módulo de la velocidad, sino que solo cambia su dirección, la fuerza de Lorentz no realiza trabajo, y la energía cinética de la partícula cargada no varia al moverse ésta en el campo magnético.

3o. Valiéndose de la fuerza de Lorentz se puede dar la siguiente definición de la inducción magnética B (III.10.1.2o): el módulo del vector inducción magnética en un punto dado de un campo magnético, es igual a la fuerza de Lorentz máxima F_{L máx} que actúa sobre una carga unitaria positiva que se mueve con velocidad unitaria en un punto dado:

F_{L =} F_{L máx} a condición de que  (p. 2o). Véase también (III.10.1.2o) y (III.10.4.2o).

4o. La fuerza que ejerce sobre una carga móvil q₀ otra carga móvil q_1, se llama fuerza de interacción magnética entre ellas (fuerzas magnéticas). Para el caso particular de dos cargas positivas q₁ y q₂ que se mueven en el vació con velocidades v₁ = v₂ = v<< c iguales y dirigidas a lo largo del eje 0X, la fuerza   de interacción magnética entre ellas es de atracción y numéricamente constituye

siendo r la distancia entre las cargas, y , la constante magnética (III.10.2.2o).

La fuerza   de la interacción magnética se puede representar de la forma

donde

     En esta forma, la fuerza  coincide con la de Lorentz cuando (p. 1o), si se considera que B es la inducción del campo magnético (III.10.1.2o) generado por la carga móvil q_1.

 

Este campo actúa, a su vez, sobre la carga móvil q₂. La causa de aparición de fuerzas magnéticas y de campo magnético es el carácter que se deduce de las formulas de la teoría especial de la relatividad (I.5.1.1o), de la transformación de las fuerzas al pasar de un sistema inercial de referencia en reposo a un sistema en movimiento.

Comparando la fuerza  con la fuerza de repulsión estática entre dos cargas q₁ y q₂ recíprocamente en reposo, que se hallan en el vació () a la misma distancia r (III.1.2.6o),

( es la constante eléctrica en el SI), es fácil encontrar que

donde c es la constante electrodinámica (III.10.2.2o) relacionada con  y por la formula (IX). Cuando la velocidad de las cargas es pequena en comparación de la velocidad e la luz en el vacío (v << c), la interacción magnética entre las cargas en movimiento es mucho menor que su interacción electrostática. Pero en caso de que las cargas se muevan en un conductor eléctricamente neutro, y las fuerzas eléctricas estén compensadas (III.3.4.2o), quedara únicamente la interacción magentita. Esto explica la interacción magnética entre los conductores con corriente (III.10.4.1o). Aunque la fuerza de interacción magnética entre cada par de electrones es pequena, el numero de pares es tan grande, que la fuerza resultante de la interacción magnética de los conductores paralelos con corriente es bastante grande (III.10.4.1o).

5o. Si sobre una carga eléctrica móvil, además del campo magnético de inducción B, actúa un campo eléctrico de intensidad E (III.2.1.2o), la fuerza resultante Faplicada a la carga e igual a la suma vectorial de la fuerza que ejerce sobre la carga el campo eléctrico, y la fuerza Lorentz (p. 1o), será

Esta última expresión también recibe el nombre de la fuerza de Lorentz y, a veces, fuerza de Lorentz generalizada o formula de Lorentz.

6o. En un campo magnético uniforme perpendicular a la velocidad de la partícula cargada, esta, bajo la acción de la fuerza Lorentz, se desplaza por una circunferencia de radio constante r. Dicha circunferencia se encuentra en un plano perpendicular al vector B, y la fuerza de Lorentz en centrípeta (I.2.4.3o). El radio de la circunferencia es

donde  es la magnitud absoluta de la carga de la partícula, m, su masa; v, su velocidad; B, la interacción del campo magnético; y c, la constante electrodinámica (III.10.2.2o). Si la partícula se mueve en el plano del dibujo (fig. III.11.2), su desviación en el campo dirigido perpendicularmente a su velocidad desde detrás de la figura, dependerá del signo de la carga. En esto se basa la determinación del signo de la carga de las partículas que se mueven en un campo magnético.

El periodo de revolución T (I.1.5.5o) de una partícula cargada en un campo magnético uniforme (III.10.1.2o) no depende de su velocidad (para v >> c):

Esto sirve de base para crear los aceleradores cíclicos de partículas cargadas (III.11.4.6o).

7o. Si el vector velocidad v de la partícula cargada forma un ángulo con la dirección del vector B del campo magnético uniforme, la partícula se moverá siguiendo una línea helicoidal (fig. III.11.3). El radio r de la espira y el paso h de la hélice constituirán

Si el movimiento considerado tiene lugar en un campo no uniforme (III.10.1.2o) cuya inducción aumenta en dirección del movimiento de la partícula, r y hdisminuirán al crecer B.

En esto se basa el enfoque de las partículas cargadas en el campo magnético.

§ III.11.2. Efecto Hall

1o. El efecto Hall (fenómeno de Hall) consiste en que en un metal o semiconductor con corriente, situado en un campo magnético perpendicular al vector densidad de la corriente (III.7.2.3o), surge un campo eléctrico transversal y una diferencia de potencial. La causa del efecto Hall es la desviación que experimentan los electrones que se mueven en el campo magnético bajo la acción de la fuerza de Lorentz (III.11.1.1o). En la fig. III.11.4, a se indican las direcciones de la inducción magnética B, de la densidad de la corriente j, de la velocidad v de los electrones e de la fuerza de Lorentz  F_L, así como los signos de las cargas concentradas en las caras opuestas superior e inferior, en el caso de un metal o de un semiconductor por exceso (VII.2.10.2o). En un semiconductor por defecto (VII.2.10.3o), los signos de las cargas que se concentran en las superficies son opuestos a los del caso anterior (III.11.4, b). Las cargas siguen siendo desviadas por el campo magnético hasta que la acción de la fuerza en el campo eléctrico transversal equilibre la fuerza de Lorentz.

2o. La diferencia de potencial de equilibrio en el efecto Hall es

,

donde I es la intensidad de la corriente; B, la inducción campo magnético (III.10.1.2o); d, la dimensión del metal o semiconductor en el sentido del vector B; y R, la constante de Hall.

La intensidad E_H del campo eléctrico transversal en el efecto Hall es

donde j es el vector densidad de la corriente.

5o. En caso de metales y semiconductores extrínsecos (VII.2.10.5o), con un mismo tipo de conducción, la constante de Hall es:

donde c es la constante electrodinámica (III.10.2.2o); q y , respectivamente, la carga y la concentración de portadores de corriente; , un coeficiente adimensional dependiente del carácter de distribución estadística de los portadores de corriente según las velocidades. El signo de la constante de Hall coincide con el signo de la carga q de los portadores de corriente. La medición de la constante de Hall para un semiconductor permite formarse una idea acerca del carácter de su conducción eléctrica. Cuando el semiconductor es el tipo n (conducción por electrones) (VII.2.10.2o), q=-c y R<0, si el semiconductor es el tipo p (conducción por huecos) (VII.2.10.3o), q=c y R>0.

Si en un semiconductor se observan ambos tipos de conducción eléctrica, por el signo de la constante de Hall se puede determinar el tipo predominante en él. La formula para R del p, 3o no sirve en este caso y se aplican otras más complejas.

4o. La medición de la constante de Hall permite hallar la concentración de portadores de corriente si se conoce el tipo de conducción. Por ejemplo, para los metales monovalentes, la concentración de electrones de conducción es igual a la concentración de átomos. Esto significa que a cada átomo le corresponde un electrón libre en el gas electrónico de metal (III.7.3.1o). Conociendo la concentración de portadores de corriente, se puede también valorar la magnitud () del recorrido libre medio del electrón en el metal. De la formula (III.7.3.4o)

se obtiene , que supera en dos ordenes la distancia entre los nodos del metal (véase también (III.7.3.7o) y (VII.2.5.5o)).

§ III.11.3. Carga especifica de las partículas.

Espectrometría de masas

1o. La característica de una partícula es su carga especifica, es decir, la relación q/m entre la carga de la partícula y su masa. La determinación experimental de la carga específica se basa en el estudio de la desivación de las partículas bajo la acción conjunta de un campo eléctrico y un campo magnético. Conociendo la carga especifica q/m y la carga q, se determina la masa de la partícula.

2o. Se denomina espectro de masas de las partículas el conjunto de valores de sus masas. En la espectrometría de masas, valiéndose de aparatos especiales (espectrógrafos y espectrómetros de masas), se mide con gran exactitud la concentración relativa de los isótropos de los elementos químicos (VIII.1.1.3o) y sus masas.

3o. En el espectrógrafo de masas de Aston (fig. III.11.5), con el cual fue descubierta la existencia de isótopos de diversos elementos químicos, se efectúa la desviación de las partículas cargadas en el campo eléctrico uniforme del condensador C y en el campo magnético de la bobina M, ambos perpendiculares entre si. En el campo eléctrico, las partículas se desvían hacia las placas del condensador tanto mas cuanto menor es su velocidad y mayor es la carga especifica. En el campo magnético uniforme B, dirigido hacia detrás de la figura, las partículas se mueven describiendo arcos de circunferencias (III.11.1.6o) de radio tanto mayor cuanto mayor es la velocidad de las partículas y menor es su carga especifica. En el campo magnético, el haz de partículas se desdobla en varios haces, a cada uno de los cuales le corresponde un valor determinado de la carga especifica. El campo magnético enfoca las partículas que tienen distintas velocidades, pero la misma magnitud q/m. la inducción B se elige de tal modo que las partículas cargadas se enfoquen sobre la placa fotográfica AD situada perpendicularmente al plano de la figura.

La serie de rayas paralelas estrechas que se obtienen en la placa fotográfica corresponden a distintos valores de las cargas específicas de las partículas. En la fig. III.11.5, la raya ₁ corresponde alas partículas con cargas específicas mayores, y la₂, a las partículas con cargas especificas menores, y la carga especifica de las partículas en la raya₁, la distancia entre₁ y₂ y los parámetros de la instalación, se puede hallar la carga especifica de las partículas correspondiente a la raya₂.

Sustituyendo los condensadores planos por cilíndricos y utilizando electroimanes especiales, que proporcionan un haz de plano paralelo de partículas que irrumpen en el campo magnético, se efectúa el doble enfoque de éstas por energías y direcciones.

Con esto, si es suficiente la intensidad de las rayas en las placas fotográficas, se consigue una elevada exactitud en la medición de las masas. Por ejemplo, las masas de los iones de los elementos ligeros se miden con una exactitud de hasta el 10^-4 %.

4o. Para determinar la concentración relativa de isótopos de elementos químicos en sus mezclas naturales, se utilizan espectrómetros de masas, aparatos que registran eléctricamente las corrientes iónicas. En los espectrómetros de masas se emplean haces de iones con energías cinéticas semejantes según su magnitud, o sea, haces monocromáticas (monoenergéticos) generados por fuentes iónicas de estructura especial. Estos haces, incluso si son muy divergentes y contienen gran cantidad de iones, se enfocan bien en el campo magnético transversal. Con esto se logra elevar la exactitud de medición de las concentraciones de distintos isótopos.

§ III.11.4. Aceleradores de partículas cargadas

     1o. Las instalaciones especiales para obtener, en condiciones de laboratorio, haces dirigidos de partículas cargadas (electrones, protones, núcleos atómicos o iones de elementos químicos) con gran energía cinética, se llaman aceleradoras. Por la forma de la trayectoria y el mecanismo de aceleración de las partículas, los aceleradores se dividen en lineales, cíclicos y de inducción.

En los aceleradores lineales, las trayectorias de las partículas son casi líneas rectas; en los aceleradores cíclicos y de inducción, las trayectorias son circunferencias o espirales que se desencallan.

2o. El aumento de la energía de las partículas que se realiza mediante la acción del campo eléctrico del acelerador. En dependencia del tipo de este ultimo, en el campo puede ser electrostático (III.2.1.2o), inducido (III.12.1.2o) o alternativo de alta frecuencia. La estructura de un betatrón, cuya acción se basa en el campo magnético inducido, se expone en III.14.2.3o. En el acelerador electrostático lineal, la partícula cargada pasa una sola vez por el campo eléctrico acelerador de diferencia de potencial . Si q es la carga de la partícula, la energía que ésta adquiere en el acelerador (III.3.2.7o) constituirá

En este caso el campo eléctrico es engendrado, por ejemplo, por un generador electrostático de Van de Graff de alta tensión, en el que se efectúa la reiterada comunicación de cargas a un conductor hueco (III.3.4.3o), debido a lo cual su potencial crece hasta magnitudes limitadas por la fuga de cargas del conductor.

3o.en los aceleradores de resonancia lineales, el aumento de la energía de las partículas cargadas se efectúa por la acción de un campo eléctrico alternativo, de frecuencia ultraalta, que varia sincronizadamente con el moviendo de las partículas. Valiéndose de un acelerador de ese tipo, los electrones, después de recorrer varios kilómetros de distancia, se pueden acelerar hasta energías del orden de  decenas de GeV.

4o. Para acelerar protones, deuterones y otras partículas cargadas, de mayor peso, se utilizan aceleradores cíclicos de resonancia, en los cuales la partícula pasa muchas veces por un campo eléctrico sincronizado con su movimiento y cada vez aumenta su energía. El control del movimiento de las partículas y de su retorno periódico al espacio en el que actúa el campo eléctrico, se efectúa por medio de un fuerte campo magnético transversal. Las partículas pasan cada vez por puntos determinados del campo eléctrico alternativo, aproximadamente en una misma fase del campo (en *resonancia*).

5o. En el ciclotrón, que es el acelerador cíclico de resonancia mas simple, entre las dos mitades de una caja cilíndrica MN, llamadas electrodos en D o simplemente *des*, se genera un campo eléctrico alternativo acelerador (fig. III.11.6). La *des* se encuentran en una cámara cerrada, plana, situada entre los polos de un potente electroimán cuyo campo magnético es perpendicular al plano de la figura. El campo eléctrico alternativo es engendrado, en la ranura que queda entre los electrodos en D, por un generador eléctrico cuyos polos están unidos a los electrodos m y n.

6o. La aceleración de la partícula se realiza en el hueco entre las *des* M y N cada vez que ella, bajo la acción del campo magnético y describiendo en tiempos iguales (III.11.1.6o), semicircunferencias de radio cada vez mayor, vuelve a pasar por dicho hueco. Para que la partícula se acelere continuamente en el ciclotrón, es necesario que se cumpla la condición de sincronismo (condición de *resonancia*) , en la que T es el período de revolución de la partícula en el campo magnético (III.11.1.6o), y , el período de oscilación del campo eléctrico (IV.1.1.2o). Esta condición se infringe cuando la partícula se mueve con velocidades vrelativistas, conmensurables con la velocidad c de la luz en el vacío. Con estas velocidades la masa m de la partícula crece al aumentar la velocidad (I.5.6.1o), y lo mismo ocurre con el período T (III.11.1.6o).

7o. La posibilidad de acelerar las partículas cargadas que se mueven con velocidades relativistas en los aceleradores cíclicos, se deducen del principio de autoestabilizacion en fase: toda desviación del periodo T  respecto al valor de resonancia  (p. 6o) acarrea una variación tal de la energía W  de la partícula en cada aceleración, que T  oscila alrededor del valor  permaneciendo, por término medio, igual a él:

,

donde  (I.5.7.2o);  (I.5.6.1o);  es la masa en reposo de la partícula (I.5.6.1o); y c, la velocidad de la luz en el vacío. Las demás notaciones se indicaron en III.11.1.6o.

Por ejemplo, si como resultado del crecimiento de la masa m y del periodo T, la partícula se encontrara en el hueco entre las *des* (fig. III.11.6) bajo la acción de un campo eléctrico no acelerador, sino retardador, la disminución de su velocidad ocasionaría la disminución del periodo T y volvería a establecerse la igualdad T  T₀.

8o. Del principio de autoestabilizacion en fase (p. 7o) se deduce que si el aumento del periodo T₀ del campo eléctrico es bastante lento, aumentara respectivamente el periodo T de revolución de la partícula en el campo magnético del acelerador. Además crecerá la energía media (W) de todas las partículas, ya que, siendo constante la inducción del campo magnético, el aumento de T sólo será posible a expensas del aumento de la masa, que se produce al crecer la velocidad de las partículas.

Tal principio se ha realizado en el acelerador denominado fasotrón o sincrociclotrón. En este, el campo magnético es continuo y la frecuencia    (IV.1.1.2o) del campo eléctrico alternativo varia lentamente con el periodo . A medida que crece la velocidad de las partículas, aumenta el radio de sus orbitas en el fasotrón (III.11.1.6o). Esto hace que sea necesario aumentar las dimensiones del fasotrón para poder alcanzar la máxima energía de las partículas cargadas. Así, el fasotrón acelerador de protones hasta energías de 680 MeV (que funciona en la URSS), tiene un electroimán cuya masa constituye 7.10³toneladas, y el diámetro de sus polos es de 6 m.

9o. El sincrotón es un acelerador en  el cual la frecuencia del campo magnético varia con el tiempo de sincrotón (p. 6o) es

,

Donde e es la carga del electrón, y W, su energía. La condición de sincronismo (p. 6o) en el sincrotón se cumple T₀=const. y cuando la inducción del campo magnético crece proporcionalmente a la energía de la partícula:

,

donde T₀ es el periodo del campo eléctrico acelerador de alta frecuencia.

En el sincrotrón se cumple la condición

Las partículas se mueven por órbitas aproximadamente circulares (III.11.1.6o), por lo que en el sincrotrón se utilizan electroimanes anulares que generan campos magnéticos en una zona relativamente estrecha, próxima a la órbita circular.

10o. En el sincrofasotron, que es el acelerador de protones más potentes, se combinan los principios utilizados en el fasotrón (p. 8o) y en el sincrotón (p. 9o). En este acelerador, simultáneamente y en concordancia, disminuye la frecuencia v₀ del campo eléctrico del acelerador y aumenta la inducción B del campo magnético. Además, los protones que se aceleran se mueven describiendo una orbita circular de radio constante. Por esto el campo magnético es generado por un electroimán anular lo mismo que en el sincrotón.

11o. La condición para conseguir simultáneamente la estabilidad vertical (axial) y radial de la orbita circular calculada en el sincrotón y en el sincrofasotrón, es que en las proximidades de dicha órbita, la inducción magnética B varié según la ley

,

Donde r es la distancia desde el centro de la órbita, y n varia dentro de los límites de 0< n <1 (condición de enfoque débil en el acelerador). En los aceleradores con enfoque débil, para que aumente la energía máxima W_máx que adquieren las partículas, hay que aumentar la masa del electroimán de un  modo proporcional, aproximadamente en W³_máx.

12o. El aumento de energía máxima W_máz de las partículas aceleradas en los sincrotrones y sincrofasotrones también se consigue utilizando aceleradores de enfoque intenso (fuerte).

En estos aceleradores, a lo largo de la órbita casi circular que describe la partícula, se sitúan alternativamente secciones magnéticas de dos tipos. En un tipo de secciones el campo magnético varía según la ley del p. 11o, donde n es mucho menor que cero (por ejemplo, n = -100), y en el otro tipo, n>> 1. Las secciones del primer tipo aseguran el enfoque radial del haz de partículas aceleradas, y las secciones del segundo tipo, el enfoque vertical de dicho haz. El enfoque intenso permite disminuir considerablemente las dimensiones del acelerador, la masa del electroimán y el precio de toda instalación.

13o. Para aumentar la porción de energía que emplean las partículas aceleradas en las diversas reacciones nucleares (VIII.1.9.1o), el bombardeo de blancos fijos con partículas de alta energía se sustituye por instalaciones en las cuales se utiliza el método de choque de haces. De las leyes de conservación de la energía (I.3.4.3o) y el impulso (I.2.7.1o) se deduce que, cuando se bombardea un blanco fijo, la porción de energía cinética W_c de la partícula incidente, que se aprovecha en la reacción nuclear, disminuye a medida que aumenta W_c. En el método de choque de haces disminuye el impulso total de las partículas después de la colisión y aumenta la fracción útil de energía de la partícula. Por ejemplo, supongamos que en un acelerador, los protones de los haces que chocan tienen una energía de 26 GeV cada uno. El impulso total de los protones que choquen con velocidades iguales, pero de sentidos opuestos, es nulo. La energía de colisión de estos dos protones alcanza 50 GeV. Para obtener tal energía de choque bombardeando un blanco fijo de hidrógeno con un haz de protones, la energía de estos últimos debería ser del orden de 1400 GeV.

Colaboración:
Armando Javier Canchila Pérez
Angélica Patricia Cuadrado Monroy
Elvia Arangon Suárez